Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Uberblick uber die bekanntesten univariaten eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die moglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen die auf einer endlichen oder abzahlbaren Menge definiert sind und stetigen kontinuierlichen Verteilungen die meist auf Intervallen definiert sind Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zahldichte beschreiben Diese gibt fur jeden der maximal abzahlbar vielen Werte x displaystyle x einer Zufallsvariablen X displaystyle X die Wahrscheinlichkeit an dass man genau diesen Wert erhalt Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben da diese stets die Wahrscheinlichkeit 0 displaystyle 0 besitzen Es ist jedoch oft moglich die Wahrscheinlichkeit dass eine Zufallsvariable X displaystyle X einen Wert in einem Intervall a b displaystyle a b annimmt als Integral uber eine Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte f x displaystyle f x darzustellen P a X b a b f x d x displaystyle P a leq X leq b int a b f x dx dd Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung uber eine Dichtefunktion moglich Inhaltsverzeichnis 1 Diskrete Verteilungen 1 1 Diskrete Gleichverteilung 1 2 Bernoulli Verteilung Null Eins Verteilung 1 3 Binomialverteilung 1 4 Negative Binomialverteilung Pascal Verteilung 1 5 Geometrische Verteilung 1 5 1 Variante A 1 5 2 Variante B 1 6 Hypergeometrische Verteilung 1 7 Poisson Verteilung 1 8 Logarithmische Verteilung 2 Stetige Verteilungen 2 1 Stetige Gleichverteilung Rechteckverteilung Uniformverteilung 2 2 Dreiecksverteilung 2 3 Normalverteilung Gauss Verteilung 2 4 Logarithmische Normalverteilung Log Normalverteilung 2 5 Exponentialverteilung 2 6 Chi Quadrat Verteilung 2 7 Studentsche t Verteilung 2 8 F Verteilung Fisher Verteilung 2 9 Gammaverteilung 2 10 Beta Verteilung 2 11 Logistische Verteilung 2 12 Weibull Verteilung 2 13 Cauchy Verteilung Cauchy Lorentz Verteilung Lorentz Verteilung 2 14 Pareto Verteilung 3 Siehe auch 4 WeblinksDiskrete Verteilungen BearbeitenDie unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrossen Trager Wahrscheinlichkeitsfunktion Verteilungsfunktion Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen Diskrete Gleichverteilung Bernoulli Verteilung Null Eins Verteilung Binomialverteilung Negative Binomialverteilung Pascal Verteilung Geometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson Verteilung Logarithmische VerteilungEs bezeichne displaystyle lceil rceil nbsp die Aufrundungsfunktion displaystyle lfloor rfloor nbsp die Abrundungsfunktion und X displaystyle X nbsp jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable Diskrete Gleichverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter n N displaystyle n in mathbb N nbsp k i R i 1 n displaystyle k i in mathbb R i 1 dots n nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion Auf 0 1 20 displaystyle 0 1 dots 20 nbsp d h n 21 displaystyle n 21 nbsp Trager k i i 1 n displaystyle k i i 1 dots n nbsp nbsp Zahldichte f k i 1 n displaystyle f k i frac 1 n nbsp Verteilungsfunktion P X x i k i x n displaystyle P X leq x frac i k i leq x n nbsp P X lt x i k i lt x n displaystyle P X lt x frac i k i lt x n nbsp Erwartungswert 1 n i 1 n k i displaystyle frac 1 n sum i 1 n k i nbsp Varianz 1 n i 1 n k i 2 1 n i 1 n k i 2 displaystyle frac 1 n left sum i 1 n k i 2 frac 1 n left sum i 1 n k i right 2 right nbsp Bernoulli Verteilung Null Eins Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion p 0 2 displaystyle p 0 2 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager 0 1 displaystyle 0 1 nbsp nbsp Zahldichte f k p fur k 1 1 p fur k 0 displaystyle f k begin cases p amp text fur k 1 1 p amp text fur k 0 end cases nbsp Verteilungsfunktion P X x 0 fur x lt 0 1 p fur 0 x lt 1 1 fur x 1 displaystyle P X leq x begin cases 0 amp text fur x lt 0 1 p amp text fur 0 leq x lt 1 1 amp text fur x geq 1 end cases nbsp P X lt x 0 fur x 0 1 p fur 0 lt x 1 1 fur x gt 1 displaystyle P X lt x begin cases 0 amp text fur x leq 0 1 p amp text fur 0 lt x leq 1 1 amp text fur x gt 1 end cases nbsp Erwartungswert p displaystyle p nbsp Varianz p 1 p displaystyle p 1 p nbsp Binomialverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter n N displaystyle n in mathbb N nbsp p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion n 20 displaystyle n 20 nbsp p 0 1 displaystyle p 0 1 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager 0 1 n displaystyle 0 1 dots n nbsp nbsp Zahldichte f k n k p k 1 p n k displaystyle f k n choose k p k 1 p n k nbsp Verteilungsfunktion P X x i 0 x n i p i 1 p n i displaystyle P X leq x sum i 0 lfloor x rfloor binom n i p i 1 p n i nbsp P X lt x i 0 x 1 n i p i 1 p n i displaystyle P X lt x sum i 0 lceil x 1 rceil n choose i p i 1 p n i nbsp Erwartungswert n p displaystyle np nbsp Varianz n p 1 p displaystyle np 1 p nbsp Negative Binomialverteilung Pascal Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter r N displaystyle r in mathbb N nbsp p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion r 10 displaystyle r 10 nbsp p 0 2 displaystyle p 0 2 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager x N x r displaystyle x in mathbb N colon x geq r nbsp nbsp Zahldichte P X k k 1 r 1 p r 1 p k r displaystyle P X k k 1 choose r 1 p r 1 p k r nbsp Verteilungsfunktion P X x i r x i 1 r 1 p r 1 p i r displaystyle P X leq x sum i r lfloor x rfloor i 1 choose r 1 p r 1 p i r nbsp P X lt x i r x 1 i 1 r 1 p r 1 p i r displaystyle P X lt x sum i r lceil x 1 rceil i 1 choose r 1 p r 1 p i r nbsp Erwartungswert r p displaystyle frac r p nbsp Varianz r 1 p p 2 displaystyle frac r 1 p p 2 nbsp Geometrische Verteilung Bearbeiten Variante A Bearbeiten Wertebereich der Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion p 0 2 displaystyle p 0 2 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager N displaystyle mathbb N nbsp nbsp Zahldichte f k p 1 p k 1 displaystyle f k p 1 p k 1 nbsp Verteilungsfunktion P X x 1 1 p x displaystyle P X leq x 1 1 p lfloor x rfloor nbsp P X lt x 1 1 p x 1 displaystyle P X lt x 1 1 p lceil x 1 rceil nbsp Erwartungswert 1 p displaystyle frac 1 p nbsp Varianz 1 p 2 1 p displaystyle frac 1 p 2 frac 1 p nbsp Variante B Bearbeiten Wertebereich der Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion p 0 2 displaystyle p 0 2 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp nbsp Zahldichte f k p 1 p k displaystyle f k p 1 p k nbsp Verteilungsfunktion P X x 1 1 p x 1 displaystyle P X leq x 1 1 p lfloor x 1 rfloor nbsp P X lt x 1 1 p x displaystyle P X lt x 1 1 p lceil x rceil nbsp Erwartungswert 1 p 1 displaystyle frac 1 p 1 nbsp Varianz 1 p 2 1 p displaystyle frac 1 p 2 frac 1 p nbsp Hypergeometrische Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter N N displaystyle N in mathbb N nbsp M N displaystyle M in mathbb N nbsp mit M N displaystyle M leq N nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit n N displaystyle n leq N nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion n 20 displaystyle n 20 nbsp M 20 N 30 displaystyle M 20 N 30 nbsp blau M 50 N 60 displaystyle M 50 N 60 nbsp grun und M 20 N 60 displaystyle M 20 N 60 nbsp rot Trager max 0 n M N min n M displaystyle max 0 n M N dotsc min n M nbsp nbsp Zahldichte f k M k N M n k N n displaystyle f k frac displaystyle M choose k N M choose n k displaystyle N choose n nbsp Verteilungsfunktion P X x i max 0 n N x M i N n i M N n displaystyle P X leq x sum i max 0 n N lfloor x rfloor frac M choose i N choose n i M N choose n nbsp P X lt x i max 0 n N x 1 M i N n i M N n displaystyle P X lt x sum i max 0 n N lceil x 1 rceil frac M choose i N choose n i M N choose n nbsp Erwartungswert n M N displaystyle n frac M N nbsp Varianz n M N 1 M N N n N 1 displaystyle n frac M N left 1 frac M N right frac N n N 1 nbsp Poisson Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter l R displaystyle lambda in mathbb R nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion l 1 displaystyle lambda 1 nbsp blau l 5 displaystyle lambda 5 nbsp grun und l 10 displaystyle lambda 10 nbsp rot Trager N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp nbsp Zahldichte f k l k k e l displaystyle f k frac lambda k k cdot mathrm e lambda nbsp Verteilungsfunktion P X x i 0 x l i i e l displaystyle P X leq x sum i 0 lfloor x rfloor frac lambda i i mathrm e lambda nbsp P X lt x i 0 x 1 l i i e l displaystyle P X lt x sum i 0 lceil x 1 rceil frac lambda i i mathrm e lambda nbsp Erwartungswert l displaystyle lambda nbsp Varianz l displaystyle lambda nbsp Logarithmische Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion p 0 2 displaystyle p 0 2 nbsp blau p 0 5 displaystyle p 0 5 nbsp grun und p 0 8 displaystyle p 0 8 nbsp rot Trager N displaystyle mathbb N nbsp nbsp Zahldichte f k p k k 1 ln 1 p displaystyle f k frac p k k cdot frac 1 ln 1 p nbsp Verteilungsfunktion P X x i 0 x p i i 1 ln 1 p displaystyle P X leq x sum i 0 lfloor x rfloor frac p i i cdot frac 1 ln 1 p nbsp P X lt x i 0 x 1 p i i 1 ln 1 p displaystyle P X lt x sum i 0 lceil x 1 rceil frac p i i cdot frac 1 ln 1 p nbsp Erwartungswert p 1 p ln 1 p displaystyle frac p 1 p ln 1 p nbsp Varianz p ln 1 p p 1 p 2 ln 2 1 p displaystyle frac p ln 1 p p 1 p 2 ln 2 1 p nbsp Stetige Verteilungen BearbeitenDie unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrossen Trager Dichtefunktion Verteilungsfunktion Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen Stetige Gleichverteilung Rechteckverteilung Uniformverteilung Dreiecksverteilung Simpson Verteilung Normalverteilung Gauss Verteilung Logarithmische Normalverteilung Exponentialverteilung Chi Quadrat Verteilung Studentsche t Verteilung F Verteilung Fisher Verteilung Gammaverteilung Beta Verteilung Logistische Verteilung Weibull Verteilung Cauchy Verteilung Cauchy Lorentz Verteilung Lorentz Verteilung Pareto VerteilungDabei bezeichnen G r displaystyle Gamma r nbsp die Gammafunktion B p q displaystyle B p q nbsp die Betafunktion und X displaystyle X nbsp jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte f x displaystyle f x nbsp und Verteilungsfunktion F x displaystyle F x nbsp Stetige Gleichverteilung Rechteckverteilung Uniformverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp mit a lt b displaystyle a lt b nbsp Bild der Dichtefunktion a 4 b 8 displaystyle a 4 b 8 nbsp blau a 1 b 18 displaystyle a 1 b 18 nbsp grun und a 1 b 11 displaystyle a 1 b 11 nbsp rot Trager a b displaystyle a b nbsp nbsp Dichtefunktion f x 1 b a fur a lt x b 0 sonst displaystyle f x begin cases frac 1 b a amp text fur a lt x leq b 0 amp text sonst end cases nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x a x a b a fur a lt x b 1 fur x gt b displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x leq a frac x a b a amp text fur a lt x leq b 1 amp text fur x gt b end cases nbsp Erwartungswert a b 2 displaystyle frac a b 2 nbsp Varianz b a 2 12 displaystyle frac b a 2 12 nbsp Dreiecksverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter a b c R displaystyle a b c in mathbb R nbsp mit a c b displaystyle a leq c leq b nbsp und a lt b displaystyle a lt b nbsp Bild der Dichtefunktion Trager a b displaystyle a b nbsp nbsp Dichtefunktion f x 2 x a b a c a wenn a x lt c 2 b a wenn x c 2 b x b a b c wenn c lt x b displaystyle f x begin cases frac 2 x a b a c a amp text wenn a leq x lt c frac 2 b a amp text wenn x c frac 2 b x b a b c amp text wenn c lt x leq b end cases nbsp Verteilungsfunktion F x x a 2 b a c a wenn a x lt c c a b a wenn x c 1 b x 2 b a b c wenn c lt x b displaystyle F x begin cases frac x a 2 b a c a amp text wenn a leq x lt c frac c a b a amp text wenn x c 1 frac b x 2 b a b c amp text wenn c lt x leq b end cases nbsp Erwartungswert E X a b c 3 displaystyle operatorname E X frac a b c 3 nbsp Varianz Var X a b 2 b c 2 a c 2 36 displaystyle operatorname Var X frac a b 2 b c 2 a c 2 36 nbsp Normalverteilung Gauss Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter m R displaystyle mu in mathbb R nbsp und s R displaystyle sigma in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion m 0 s 1 displaystyle mu 0 sigma 1 nbsp blau m 0 s 2 displaystyle mu 0 sigma 2 nbsp grun und m 1 s 2 displaystyle mu 1 sigma 2 nbsp rot Trager R displaystyle mathbb R nbsp nbsp Dichtefunktion f x 1 s 2 p e 1 2 x m s 2 displaystyle f x frac 1 sigma sqrt 2 pi mathrm e frac 1 2 left frac x mu sigma right 2 nbsp Verteilungsfunktion F x 1 s 2 p x e 1 2 t m s 2 d t displaystyle F x frac 1 sigma sqrt 2 pi cdot int infty x mathrm e frac 1 2 cdot left frac t mu sigma right 2 mathrm d t nbsp Erwartungswert m displaystyle mu nbsp Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Logarithmische Normalverteilung Log Normalverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter m R displaystyle mu in mathbb R nbsp und s R displaystyle sigma in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion m 0 s 1 displaystyle mu 0 sigma 1 nbsp blau m 0 s 2 displaystyle mu 0 sigma 2 nbsp grun und m 1 s 2 displaystyle mu 1 sigma 2 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f x 1 s 2 p 1 x e 1 2 ln x m s 2 displaystyle f x frac 1 sigma sqrt 2 pi frac 1 x mathrm e frac 1 2 left frac operatorname ln x mu sigma right 2 nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x 0 1 s 2 p 0 x 1 t e 1 2 ln t m s 2 d t fur x gt 0 displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x leq 0 frac 1 sigma cdot sqrt 2 pi cdot int 0 x frac 1 t mathrm e frac 1 2 cdot left frac operatorname ln t mu sigma right 2 mathrm d t amp text fur x gt 0 end cases nbsp Erwartungswert exp m s 2 2 displaystyle exp mu sigma 2 2 nbsp Varianz exp 2 m s 2 exp s 2 1 displaystyle exp 2 mu sigma 2 cdot exp sigma 2 1 nbsp Exponentialverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion a 1 displaystyle alpha 1 nbsp blau a 5 displaystyle alpha 5 nbsp grun und a 10 displaystyle alpha 10 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f x a e a x displaystyle f x alpha cdot mathrm e alpha x nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x 0 1 e a x fur x gt 0 displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x leq 0 1 mathrm e alpha x amp text fur x gt 0 end cases nbsp Erwartungswert 1 a displaystyle frac 1 alpha nbsp Varianz 1 a 2 displaystyle frac 1 alpha 2 nbsp Chi Quadrat Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter n N displaystyle n in mathbb N nbsp Bild der Dichtefunktion n 2 displaystyle n 2 nbsp blau n 5 displaystyle n 5 nbsp grun und n 10 displaystyle n 10 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f n x 1 2 n 2 G n 2 x n 2 1 exp x 2 displaystyle f n x frac 1 2 frac n 2 Gamma tfrac n 2 x frac n 2 1 operatorname exp left frac x 2 right nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x 0 1 G n 2 x 2 G n 2 fur x gt 0 displaystyle F x begin cases displaystyle 0 amp text fur x leq 0 1 frac Gamma left frac n 2 frac x 2 right Gamma left frac n 2 right amp text fur x gt 0 end cases nbsp Erwartungswert n displaystyle n nbsp Varianz 2 n displaystyle 2n nbsp Studentsche t Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter k N displaystyle k in mathbb N nbsp Bild der Dichtefunktion k 2 displaystyle k 2 nbsp blau k 5 displaystyle k 5 nbsp grun und k 10 displaystyle k 10 nbsp rot Trager R displaystyle mathbb R nbsp nbsp Dichtefunktion f x G k 1 2 G k 2 k p 1 x 2 k k 1 2 displaystyle f x frac Gamma frac k 1 2 Gamma frac k 2 sqrt k pi cdot left 1 frac x 2 k right frac k 1 2 nbsp Verteilungsfunktion F x G k 1 2 G k 2 k p x 1 t 2 k k 1 2 d t displaystyle F x frac Gamma frac k 1 2 Gamma frac k 2 sqrt k pi cdot int infty x left 1 frac t 2 k right frac k 1 2 mathrm d t nbsp Erwartungswert 0 displaystyle 0 nbsp Varianz k k 2 displaystyle frac k k 2 nbsp F Verteilung Fisher Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter m N displaystyle m in mathbb N nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp Bild der Dichtefunktion m 2 n 10 displaystyle m 2 n 10 nbsp blau m 10 n 10 displaystyle m 10 n 10 nbsp grun und m 10 n 2 displaystyle m 10 n 2 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f x G m n 2 m n m 2 G m 2 G n 2 x m 2 1 1 m n x m n 2 displaystyle f x frac Gamma frac m n 2 left frac m n right frac m 2 Gamma frac m 2 Gamma frac n 2 x frac m 2 1 left 1 frac m n x right frac m n 2 nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x 0 G m n 2 m n m 2 G m 2 G n 2 0 x t m 2 1 1 m n t m n 2 d t fur x gt 0 displaystyle F x begin cases 0 quad text fur x leq 0 frac Gamma frac m n 2 left frac m n right frac m 2 Gamma frac m 2 Gamma frac n 2 int 0 x t frac m 2 1 left 1 frac m n t right frac m n 2 mathrm d t quad text fur x gt 0 end cases nbsp Erwartungswert n n 2 displaystyle frac n n 2 nbsp nur definiert fur n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp Varianz 2 n 2 m n 2 m n 2 2 n 4 displaystyle frac 2n 2 m n 2 m n 2 2 n 4 nbsp nur definiert fur n gt 4 displaystyle n gt 4 nbsp Gammaverteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter p R displaystyle p in mathbb R nbsp und b R displaystyle b in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion p 0 5 b 2 displaystyle p 0 5 b 2 nbsp blau p 1 b 1 displaystyle p 1 b 1 nbsp grun und p 2 b 1 displaystyle p 2 b 1 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f x b p G p x p 1 e b x displaystyle f x b p over Gamma p x p 1 mathrm e bx nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x 0 b p G p 0 x t p 1 e b t d t fur x gt 0 displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x leq 0 b p over Gamma p cdot int 0 x t p 1 mathrm e bt mathrm d t amp text fur x gt 0 end cases nbsp Erwartungswert p b displaystyle frac p b nbsp Varianz p b 2 displaystyle frac p b 2 nbsp Beta Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter p R displaystyle p in mathbb R nbsp und q R displaystyle q in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion p 0 5 q 2 displaystyle p 0 5 q 2 nbsp blau p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 nbsp grun und p 2 q 5 displaystyle p 2 q 5 nbsp rot Trager 0 1 displaystyle 0 1 nbsp nbsp Dichtefunktion f x 1 B p q x p 1 1 x q 1 displaystyle f x frac 1 B p q x p 1 1 x q 1 nbsp Verteilungsfunktion F x 0 fur x lt 0 1 B p q 0 x u p 1 1 u q 1 d u fur 0 x 1 1 fur x gt 1 displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x lt 0 1 over B p q int 0 x u p 1 1 u q 1 mathrm d u amp text fur 0 leq x leq 1 1 amp text fur x gt 1 end cases nbsp Erwartungswert p p q displaystyle frac p p q nbsp Varianz p q p q 1 p q 2 displaystyle frac pq p q 1 p q 2 nbsp Logistische Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp und b R displaystyle beta in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion a 0 b 1 displaystyle alpha 0 beta 1 nbsp blau a 0 b 2 displaystyle alpha 0 beta 2 nbsp grun und a 1 b 1 displaystyle alpha 1 beta 1 nbsp rot Trager R displaystyle mathbb R nbsp nbsp Dichtefunktion f x e x a b b 1 e x a b 2 displaystyle f x frac mathrm e frac x alpha beta beta left 1 mathrm e frac x alpha beta right 2 nbsp Verteilungsfunktion F x 1 1 e x a b displaystyle F x frac 1 1 mathrm e frac x alpha beta nbsp Erwartungswert a displaystyle alpha nbsp Varianz b 2 p 2 3 displaystyle frac beta 2 pi 2 3 nbsp Weibull Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp und b R displaystyle beta in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion a 1 b 1 displaystyle alpha 1 beta 1 nbsp blau a 1 b 2 displaystyle alpha 1 beta 2 nbsp grun und a 5 b 3 displaystyle alpha 5 beta 3 nbsp rot Trager R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp nbsp Dichtefunktion f x a b x b 1 e a x b displaystyle f x alpha beta x beta 1 mathrm e alpha x beta nbsp Verteilungsfunktion F x 1 e a x b fur x gt 0 0 fur x 0 displaystyle F x begin cases 1 mathrm e alpha x beta amp text fur x gt 0 0 amp text fur x leq 0 end cases nbsp Erwartungswert a 1 b G 1 b 1 displaystyle alpha 1 beta cdot Gamma left frac 1 beta 1 right nbsp Varianz a 2 b G 2 b 1 G 1 b 1 2 displaystyle alpha 2 beta cdot left Gamma left frac 2 beta 1 right Gamma left frac 1 beta 1 right 2 right nbsp Cauchy Verteilung Cauchy Lorentz Verteilung Lorentz Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter s R displaystyle s in mathbb R nbsp und t R displaystyle t in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion s 1 t 0 displaystyle s 1 t 0 nbsp blau s 2 t 0 displaystyle s 2 t 0 nbsp grun und s 2 t 1 displaystyle s 2 t 1 nbsp rot Trager R displaystyle mathbb R nbsp nbsp Dichtefunktion f x 1 p s s 2 x t 2 displaystyle f x frac 1 pi cdot frac s s 2 x t 2 nbsp Verteilungsfunktion F x 1 2 1 p arctan x t s displaystyle F x frac 1 2 frac 1 pi cdot arctan left frac x t s right nbsp Erwartungswert nicht definiertVarianz nicht definiertPareto Verteilung Bearbeiten Wertebereich der Parameter x min R displaystyle x min in mathbb R nbsp und k R displaystyle k in mathbb R nbsp Bild der Dichtefunktion x min 1 k 1 displaystyle x min 1 k 1 nbsp blau x min 1 k 2 displaystyle x min 1 k 2 nbsp grun und x min 2 k 1 displaystyle x min 2 k 1 nbsp rot Trager x min displaystyle x min infty nbsp nbsp Dichtefunktion f x k x min x min x k 1 displaystyle f x frac k x min left frac x min x right k 1 nbsp Verteilungsfunktion F x 1 x min x k displaystyle F x 1 left frac x min x right k nbsp Erwartungswert x min k k 1 fur k gt 1 fur k 1 displaystyle begin cases displaystyle x min frac k k 1 amp text fur k gt 1 infty amp text fur k leq 1 end cases nbsp Varianz x min 2 k k 2 k 1 2 fur k gt 2 fur k 2 displaystyle begin cases displaystyle x min 2 frac k k 2 k 1 2 amp text fur k gt 2 infty amp text fur k leq 2 end cases nbsp Siehe auch BearbeitenListe von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Liste multivariater und matrixvariater WahrscheinlichkeitsverteilungenWeblinks BearbeitenInteraktive Veranschaulichungen von VerteilungenDiskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart nbsp Diese Seite wurde am 12 Dezember 2009 in dieser Version in die Auswahl der informativen Listen und Portale aufgenommen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen amp oldid 238120430
