Die Beta Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen uber dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 parametrisiert durch zwei Parameter die haufig als p und q oder auch als a und b bezeichnet werden In der bayesschen Statistik ist die Beta Verteilung die konjugierte a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung fur die Bernoulli Binomial der negativen Binomial und der geometrischen Verteilung Beta Verteilung fur verschiedene ParameterwerteKumulative Verteilungsfunktion fur verschiedene Parameterwerte Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert 2 2 Modus 2 3 Varianz 2 4 Standardabweichung 2 5 Variationskoeffizient 2 6 Schiefe 2 7 Hohere Momente 2 8 Symmetrie 2 9 Momenterzeugende Funktion 2 10 Charakteristische Funktion 3 Beziehungen zu anderen Verteilungen 3 1 Spezialfalle 3 2 Grenzfalle 3 3 Beziehung zur Gammaverteilung 3 4 Beziehung zur stetigen Gleichverteilung 3 5 Mischverteilungen 4 Beispiel 5 Verallgemeinerung Beta Verteilung auf a b 5 1 Definition 5 2 Eigenschaften 5 3 Beispiel 6 Einzelnachweise 7 WeblinksDefinition BearbeitenDie Beta Verteilung Beta p q displaystyle operatorname Beta p q nbsp ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f x 1 B p q x p 1 1 x q 1 displaystyle f x frac 1 mathrm B p q x p 1 1 x q 1 nbsp Ausserhalb des Intervalls 0 1 displaystyle 0 1 nbsp wird sie durch f x 0 displaystyle f x 0 nbsp fortgesetzt Fur p q 1 displaystyle p q geq 1 nbsp lasst sich 0 1 displaystyle 0 1 nbsp durch 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ersetzen Die Beta Verteilung besitzt die reellen Parameter p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp in den nebenstehenden Grafiken a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp Um ihre Normierbarkeit zu garantieren wird p q gt 0 displaystyle p q gt 0 nbsp bzw a b gt 0 displaystyle alpha beta gt 0 nbsp gefordert Der Vorfaktor 1 B p q displaystyle 1 mathrm B p q nbsp dient der korrekten Normierung Der Ausdruck B p q G p G q G p q 0 1 u p 1 1 u q 1 d u displaystyle mathrm B p q frac Gamma p Gamma q Gamma p q int 0 1 u p 1 1 u q 1 mathrm d u nbsp steht fur die Betafunktion nach der die Verteilung benannt ist Dabei bezeichnet G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion Die Verteilungsfunktion ist entsprechend F x 0 fur x 0 I x p q fur 0 lt x 1 1 fur x gt 1 displaystyle F x begin cases 0 amp text fur x leq 0 I x p q amp text fur 0 lt x leq 1 1 amp text fur x gt 1 end cases nbsp mit I x p q 1 B p q 0 x u p 1 1 u q 1 d u displaystyle I x p q frac 1 mathrm B p q int 0 x u p 1 1 u q 1 mathrm d u nbsp Die Funktion I x p q displaystyle I x p q nbsp heisst auch regularisierte unvollstandige Betafunktion Eigenschaften BearbeitenErwartungswert Bearbeiten Der Erwartungswert berechnet sich zu E X p p q displaystyle operatorname E X frac p p q nbsp Modus Bearbeiten Der Modus also die Maximalstelle der Dichtefunktion f displaystyle f nbsp ist fur p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp q gt 1 displaystyle q gt 1 nbsp 1 q 1 p 1 1 p 1 p q 2 displaystyle left 1 frac q 1 p 1 right 1 frac p 1 p q 2 nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz ergibt sich zu Var X p q p q 1 p q 2 displaystyle operatorname Var X frac pq p q 1 p q 2 nbsp Standardabweichung Bearbeiten Fur die Standardabweichung ergibt sich s p q p q 1 p q 2 displaystyle sigma sqrt frac pq p q 1 p q 2 nbsp Variationskoeffizient Bearbeiten Aus Erwartungswert und Varianz erhalt man unmittelbar den Variationskoeffizienten VarK X q p p q 1 displaystyle operatorname VarK X sqrt frac q p p q 1 nbsp Schiefe Bearbeiten Die Schiefe ergibt sich zu v X 2 q p p q 1 p q 2 p q displaystyle operatorname v X frac 2 q p sqrt p q 1 p q 2 sqrt pq nbsp Hohere Momente Bearbeiten Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich fur die k ten Momente E X k r 0 k 1 p r p q r displaystyle operatorname E X k prod r 0 k 1 frac p r p q r nbsp Symmetrie Bearbeiten Die Beta Verteilung ist fur p q displaystyle p q nbsp symmetrisch um x 1 2 displaystyle x frac 1 2 nbsp mit der Schiefe v X 0 displaystyle operatorname v X 0 nbsp Momenterzeugende Funktion Bearbeiten Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgrosse lautet M X t 1 n 1 k 0 n 1 p k p q k t n n displaystyle M X t 1 sum n 1 infty left prod k 0 n 1 frac p k p q k right frac t n n nbsp Mit der hypergeometrischen Funktion 1 F 1 displaystyle 1 F 1 nbsp erhalt man die Darstellung M X t 1 F 1 p q t displaystyle M X t 1 F 1 p q t nbsp Charakteristische Funktion Bearbeiten Analog zur momenterzeugenden Funktion erhalt man die charakteristische Funktion f X t 1 F 1 p q i t displaystyle varphi X t 1 F 1 p q it nbsp Beziehungen zu anderen Verteilungen BearbeitenSpezialfalle Bearbeiten Fur p q 1 displaystyle p q 1 nbsp ergibt sich als Spezialfall die stetige Gleichverteilung Fur p q 1 2 displaystyle p q frac 1 2 nbsp ergibt sich als Spezialfall die Arcsin Verteilung Grenzfalle Bearbeiten Fur p 0 displaystyle p rightarrow 0 nbsp und konstantes q displaystyle q nbsp geht die Beta Verteilung in eine Bernoulli Verteilung Ber 0 displaystyle operatorname Ber left 0 right nbsp uber eine entsprechende Zufallsgrosse hat dann fast sicher den Wert null Dasselbe gilt fur q displaystyle q rightarrow infty nbsp bei konstantem p displaystyle p nbsp Fur q 0 displaystyle q rightarrow 0 nbsp und konstantes p displaystyle p nbsp geht die Beta Verteilung in eine Bernoulli Verteilung Ber 1 displaystyle operatorname Ber left 1 right nbsp uber eine entsprechende Zufallsgrosse hat dann fast sicher den Wert eins Dasselbe gilt fur p displaystyle p rightarrow infty nbsp bei konstantem q displaystyle q nbsp Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln fur Erwartungswert und Varianz Der Erwartungswert geht gegen null bzw eins die Varianz beide Male gegen null Beziehung zur Gammaverteilung Bearbeiten Wenn X g p 1 b displaystyle X sim gamma p 1 b nbsp und Y g p 2 b displaystyle Y sim gamma p 2 b nbsp unabhangige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern p 1 b displaystyle p 1 b nbsp bzw p 2 b displaystyle p 2 b nbsp dann ist die Grosse X X Y displaystyle tfrac X X Y nbsp betaverteilt mit Parametern p 1 displaystyle p 1 nbsp und p 2 displaystyle p 2 nbsp kurz Beta p 1 p 2 g p 1 b g p 1 b g p 2 b displaystyle operatorname Beta p 1 p 2 sim frac gamma p 1 b gamma p 1 b gamma p 2 b nbsp Beziehung zur stetigen Gleichverteilung Bearbeiten Sind X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsc X n nbsp unabhangige auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp stetig gleich verteilte Zufallsvariable dann sind die Ordnungsstatistiken X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsc X n nbsp betaverteilt Genauer gilt X k Beta k n k 1 displaystyle X k sim operatorname Beta k n k 1 nbsp fur k 1 n displaystyle k 1 dotsc n nbsp Mischverteilungen Bearbeiten Eine Binomialverteilung deren Parameter p displaystyle p nbsp betaverteilt ist nennt man Beta Binomialverteilung Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung Beispiel Bearbeiten Hauptartikel Bestimmtheitsmass Die Beta Verteilung kann aus zwei Gammaverteilungen bestimmt werden Der Quotient X U U V displaystyle X U U V nbsp aus den stochastisch unabhangigen Zufallsvariablen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b displaystyle b nbsp und p u displaystyle p u nbsp bzw p v displaystyle p v nbsp ist betaverteilt mit den Parametern p u displaystyle p u nbsp und p v displaystyle p v nbsp U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp lassen sich als Chi Quadrat Verteilungen mit 2 p u displaystyle 2p u nbsp bzw 2 p v displaystyle 2p v nbsp Freiheitsgraden interpretieren Mit Hilfe der linearen Regression wird eine geschatzte Regressionsgerade y b 0 b 1 x i displaystyle hat y hat beta 0 hat beta 1 x i nbsp durch eine Punktwolke mit n displaystyle n nbsp Wertepaaren x i y i i 1 n displaystyle x i y i i 1 dots n nbsp zweier statistischer Merkmale X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp gelegt und zwar so dass die Quadratsumme der senkrechten Abstande der y i displaystyle y i nbsp Werte von der Geraden y i displaystyle hat y i nbsp minimiert wird Die Streuung der Schatzwerte y i displaystyle hat y i nbsp um ihren Mittelwert y y displaystyle overline hat y overline y nbsp kann durch SSE i 1 n y i y 2 displaystyle textstyle text SSE equiv sum nolimits i 1 n hat y i overline y 2 nbsp gemessen werden und die Streuung der Messwerte y i displaystyle y i nbsp um ihren Mittelwert kann durch SST i 1 n y i y 2 displaystyle textstyle text SST equiv sum nolimits i 1 n y i overline y 2 nbsp gemessen werden Erstere stellt die durch die Regression erklarte Quadratsumme sum of squares explained kurz SSE und letztere stellt die totale Quadratsumme sum of squares total kurz SST dar Der Quotient dieser beiden Grossen ist das Bestimmtheitsmass R 2 SSE SST displaystyle mathit R 2 equiv frac text SSE text SST nbsp Die durch die Regression nicht erklarte Quadratsumme bzw die Residuenquadratsumme residual sum of squares kurz SSR ist durch SSR i 1 n y i y i 2 displaystyle textstyle text SSR equiv sum nolimits i 1 n y i hat y i 2 nbsp gegeben Durch die Quadratsummenzerlegung TSS ESS RSS displaystyle text TSS text ESS text RSS nbsp lasst sich das Bestimmtheitsmass auch darstellen als R 2 SSE SSE SSR displaystyle mathit R 2 frac text SSE text SSE text SSR nbsp Es ist also betaverteilt Da das Bestimmtheitsmass das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp darstellt R 2 r 2 displaystyle R 2 r 2 nbsp ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmasses beim globalen F Test durch die F Verteilung angegeben werden die tabelliert vorliegt Verallgemeinerung Beta Verteilung auf a b BearbeitenDefinition Bearbeiten Die allgemeine Beta Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f x 1 B a b p q x a p 1 b x q 1 displaystyle f x frac 1 B a b p q x a p 1 b x q 1 nbsp wobei a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die obere und untere Grenze des Intervalls sind Entsprechend ergibt sich die Berechnung von B displaystyle B nbsp zu B a b p q a b u a p 1 b u q 1 d u G p G q G p q b a p q 1 displaystyle B a b p q int a b u a p 1 b u q 1 mathrm d u frac Gamma p Gamma q Gamma p q b a p q 1 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Ist X displaystyle X nbsp betaverteilt auf dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp mit Parametern p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp dann ist Y b a X a displaystyle Y b a X a nbsp betaverteilt auf dem Intervall a b displaystyle a b nbsp mit den gleichen Parametern p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp Ist umgekehrt Y displaystyle Y nbsp betaverteilt auf a b displaystyle a b nbsp dann ist X Y a b a displaystyle X frac Y a b a nbsp betaverteilt auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Beispiel Bearbeiten Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt Zwei der drei Proben gehoren zum Produkt A und eine Probe gehort zum Produkt B oder umgekehrt Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin dasjenige Produkt zu finden das nur einmal vorkommt Die Wahrscheinlichkeit durch blosses Raten die richtige Antwort zu geben betragt 1 3 displaystyle tfrac 1 3 nbsp nbsp Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeiten einer Stichprobe im Dreieckstest schwarze Linie bei einer Rate Erfolgswahrscheinlichkeit von 1 3 displaystyle 1 3 nbsp blaue Linie Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fahigkeiten Unter der Annahme dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter 1 3 displaystyle tfrac 1 3 nbsp Bei Feinschmeckern oder grossen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 ansteigen Im Folgenden wird fur beliebige Rate Erfolgswahrscheinlichkeiten c displaystyle c nbsp mit 0 lt c lt 1 displaystyle 0 lt c lt 1 nbsp die Beta Verteilung auf c 1 displaystyle c 1 nbsp hergeleitet 1 Aus den eben genannten Grunden modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta Verteilung auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Die Erfolgswahrscheinlichkeiten p i displaystyle pi i nbsp der einzelnen Probanden i 1 n displaystyle i 1 dots n nbsp seien zunachst betaverteilt auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp mit Parametern a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf c 1 displaystyle c 1 nbsp ergeben sich aus p i c 1 c p i displaystyle p i c 1 c pi i nbsp Die Wahrscheinlichkeitsdichte von p i displaystyle p i nbsp lasst sich uber den Transformationssatz fur Dichten bestimmen Die Beta Verteilung von p i displaystyle pi i nbsp hat eine positive Dichte im Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Die Transformation u 0 1 c 1 displaystyle u colon 0 1 rightarrow c 1 nbsp mit u p c 1 c p p displaystyle u pi c 1 c pi p nbsp ist ein Diffeomorphismus Daraus erhalt man die Umkehrfunktion u 1 p p c 1 c displaystyle u 1 p frac p c 1 c nbsp Fur die gesuchte Dichtefunktion von p displaystyle p nbsp erhalt man f p p f p u 1 p p u 1 p f p p c 1 c 1 1 c 1 1 c f p p c 1 c a b displaystyle f p p f pi u 1 p left frac partial partial p u 1 p right f pi left frac p c 1 c right left frac 1 1 c right frac 1 1 c f pi left frac p c 1 c alpha beta right nbsp Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von p displaystyle p nbsp auf c 1 displaystyle c 1 nbsp wird in Abhangigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von p displaystyle pi nbsp auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp dargestellt In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta Verteilung auf 1 3 1 displaystyle tfrac 1 3 1 nbsp mit Parametern a 0 5 displaystyle alpha 0 5 nbsp und b 4 displaystyle beta 4 nbsp eingezeichnet Der Erwartungswert betragt 40 7 displaystyle 40 7 nbsp Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit 7 4 displaystyle 7 4 nbsp uber der Rate Erfolgswahrscheinlichkeit von 33 3 displaystyle 33 3 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Brockhoff Per Bruun The statistical power of replications in difference tests Food Quality and Preference 14 5 2003 405 417 Weblinks BearbeitenSigrid Markstein Mathematische und rechentechnische Aufbereitung der Beta Verteilung 1 Art fur technologische Untersuchungen Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Beta Verteilung amp oldid 227848620
