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Globaler F Test Der globale F Test englisch Overall F Test auch Globaltest Gesamttest Test auf Gesamtsignifikanz eines M

Globaler F-Test

Der globale F-Test (englisch Overall-F-Test), auch Globaltest, Gesamttest, Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells, F-Test der Gesamtsignifikanz, Test auf den Gesamtzusammenhang eines Modells stellt eine globale Prüfung der Regressionsfunktion dar. Es wird geprüft, ob mindestens eine Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert und das Modell somit als Gesamtes signifikant ist. Falls diese Hypothese verworfen wird, ist das Modell nutzlos. Diese Variante des F-Tests ist die gebräuchlichste Anwendung des F-Tests.

Zugrundeliegendes Modell Bearbeiten

Das zugrundeliegende Modell ist das der linearen Mehrfachregression, also

Hierbei wird angenommen, dass die Störgrößen unabhängig und homoskedastisch sind und für sie gilt, dass sie einer Normalverteilung folgen, d. h.

Null- und Alternativhypothese Bearbeiten

Die Nullhypothese des globalen F-Tests sagt aus, dass alle erklärenden Variablen keinen Einfluss auf die abhängige Variable haben. Sowohl die abhängige Variable, als auch die unabhängigen Variablen können binär (kategorial) oder metrisch sein. Der Wald-Test kann dann die globale Nullhypothese (ohne Einbezug des Absolutglieds) testen:

Dieser Test lässt sich so interpretieren, als würde man die gesamte Güte der Regression, also das Populationsbestimmtheitsmaß der Regression, testen. Aus diesem Grund wird der globale F-Test auch als Anpassungsgüte-Test bezeichnet. Die Bezeichnung Anpassungsgüte-Test ist allerdings etwas irreführend, da streng genommen nicht die Anpassung der Regressionsgerade an die Daten überprüft wird, sondern ob wenigstens einer der erklärenden Variablen einen signifikanten Erklärungsbeitrag liefert. Bei Zutreffen der Nullhypothese ergibt sich das sogenannte Nullmodell. Das Nullmodell ist ein Modell, das nur aus einem Absolutglied besteht.

Teststatistik Bearbeiten

Die Teststatistik dieses Tests bekommt man, wenn man zunächst die R-Quadrat-Schreibweise der F-Statistik betrachtet. Die allgemeine Form der F-Statistik ist gegeben durch

wobei die Anzahl der zu testenden Restriktionen und Residuenquadratsumme des eingeschränkten und die Residuenquadratsumme des uneingeschränkten Modells darstellt. Vorliegend werden, da die Nullhypothese lautet, Restriktionen getestet. Dadurch kann man die Teststatistik auch schreiben als und unter der Nullhypothese gilt

wobei das multiple Bestimmtheitsmaß darstellt. Die Teststatistik eines globalen F-Tests ist also gegeben durch den Quotienten aus dem „mittleren Quadrat der erklärten Abweichungen“ und dem „mittleren Residuenquadrat“. Sie ist unter der Nullhypothese F-verteilt mit und Freiheitsgraden. Die Berechnung der F-Teststatistik lässt sich in folgender Tafel der Varianzanalyse zusammenfassen:

Vorgehen und Interpretation Bearbeiten

Überschreitet der empirische F-Wert bei einem a priori festgelegten Signifikanzniveau den kritischen F-Wert (das -Quantil der F-Verteilung mit und Freiheitsgraden) so verwirft man die Nullhypothese:

Das ist dann ausreichend groß und mindestens eine erklärende Variable trägt vermutlich genügend Information zur Erklärung von bei. Es ist naheliegend, bei hohen F-Werten die Nullhypothese zu verwerfen, da ein hohes Bestimmtheitsmaß zu einem hohen F-Wert führt. Wenn der Wald-Test für eine oder mehrere unabhängige Variablen die Nullhypothese ablehnt, dann kann man davon ausgehen, dass die zugehörigen Regressionsparameter ungleich Null sind, so dass die Variablen in das Modell mit einbezogen werden sollten. Wenn es nur um eine unabhängige Variable geht (  vs.  ), dann wird ein t-Test benutzt, um zu überprüfen, ob der Parameter signifikant ist. Für einen einzelnen Parameter stimmt das Ergebnis der Wald-Statistik mit dem Ergebnis des Quadrates der t-Statistik überein.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 310.
  2. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.
  3. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 146.
  4. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 458.
  5. William H. Greene: Econometric Analysis. 5. Auflage. Prentice Hall International, 2002, ISBN 0-13-110849-2, S. 33.
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Veröffentlichungsdatum:
Der globale F Test englisch Overall F Test auch Globaltest Gesamttest Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells F Test der Gesamtsignifikanz Test auf den Gesamtzusammenhang eines Modells 1 stellt eine globale Prufung der Regressionsfunktion dar Es wird gepruft ob mindestens eine Variable einen Erklarungsgehalt fur das Modell liefert und das Modell somit als Gesamtes signifikant ist Falls diese Hypothese verworfen wird ist das Modell nutzlos Diese Variante des F Tests ist die gebrauchlichste Anwendung des F Tests Inhaltsverzeichnis 1 Zugrundeliegendes Modell 2 Null und Alternativhypothese 3 Teststatistik 4 Vorgehen und Interpretation 5 EinzelnachweiseZugrundeliegendes Modell BearbeitenDas zugrundeliegende Modell ist das der linearen Mehrfachregression also y i b 0 x i 1 b 1 x i 2 b 2 x i k b k e i x i b e i displaystyle y i beta 0 x i1 beta 1 x i2 beta 2 dotsc x ik beta k varepsilon i mathbf x i top boldsymbol beta varepsilon i nbsp Hierbei wird angenommen dass die Storgrossen unabhangig und homoskedastisch sind und fur sie gilt dass sie einer Normalverteilung folgen d h e i N 0 s 2 i 1 n displaystyle varepsilon i sim mathcal N 0 sigma 2 quad i 1 ldots n nbsp 1 Null und Alternativhypothese BearbeitenDie Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp des globalen F Tests sagt aus dass alle erklarenden Variablen keinen Einfluss auf die abhangige Variable haben Sowohl die abhangige Variable als auch die unabhangigen Variablen konnen binar kategorial oder metrisch sein Der Wald Test kann dann die globale Nullhypothese ohne Einbezug des Absolutglieds testen H 0 b 1 b 2 b k 0 r 2 0 displaystyle H 0 colon beta 1 beta 2 ldots beta k 0 Rightarrow rho 2 0 nbsp gegen H 1 b j 0 f u r m i n d e s t e n s e i n j 1 k r 2 gt 0 displaystyle H 1 beta j neq 0 mathrm f ddot u r mindestens ein j in 1 ldots k Rightarrow rho 2 gt 0 nbsp Dieser Test lasst sich so interpretieren als wurde man die gesamte Gute der Regression also das Populationsbestimmtheitsmass r 2 displaystyle rho 2 nbsp der Regression testen Aus diesem Grund wird der globale F Test auch als Anpassungsgute Test bezeichnet Die Bezeichnung Anpassungsgute Test ist allerdings etwas irrefuhrend da streng genommen nicht die Anpassung der Regressionsgerade an die Daten uberpruft wird sondern ob wenigstens einer der erklarenden Variablen einen signifikanten Erklarungsbeitrag liefert 2 Bei Zutreffen der Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp ergibt sich das sogenannte Nullmodell Das Nullmodell ist ein Modell das nur aus einem Absolutglied b 0 displaystyle beta 0 nbsp besteht Teststatistik BearbeitenDie Teststatistik dieses Tests bekommt man wenn man zunachst die R Quadrat Schreibweise der F Statistik betrachtet Die allgemeine Form der F Statistik ist gegeben durch 3 F S Q R H 0 S Q R q S Q R n k 1 displaystyle F equiv frac left SQR H 0 SQR right q SQR n k 1 nbsp wobei q displaystyle q nbsp die Anzahl der zu testenden Restriktionen und S Q R H 0 displaystyle SQR H 0 nbsp Residuenquadratsumme des eingeschrankten und S Q R displaystyle SQR nbsp die Residuenquadratsumme des uneingeschrankten Modells darstellt Vorliegend werden da die Nullhypothese H 0 b 1 b 2 b k 0 displaystyle H 0 colon beta 1 beta 2 ldots beta k 0 nbsp lautet q k displaystyle q k nbsp Restriktionen getestet Dadurch kann man die Teststatistik auch schreiben als F R 2 R H 0 2 k 1 R 2 n p displaystyle F frac left mathit R 2 mathit R H 0 2 right k left 1 mathit R 2 right n p nbsp und unter der Nullhypothese gilt 4 F M Q E M Q R S Q E S Q R n p k R 2 1 R 2 n p k H 0 F k n p displaystyle begin aligned F frac MQE MQR frac SQE SQR frac n p k frac mathit R 2 1 mathit R 2 frac n p k stackrel H 0 sim F left k n p right end aligned nbsp wobei R 2 displaystyle mathit R 2 nbsp das multiple Bestimmtheitsmass darstellt Die Teststatistik eines globalen F Tests ist also gegeben durch den Quotienten aus dem mittleren Quadrat der erklarten Abweichungen und dem mittleren Residuenquadrat Sie ist unter der Nullhypothese F verteilt mit k displaystyle k nbsp und n p displaystyle n p nbsp Freiheitsgraden Die Berechnung der F Teststatistik lasst sich in folgender Tafel der Varianzanalyse zusammenfassen 5 Variationsquelle Abweichungsquadratsumme Anzahl der Freiheitsgrade Mittleres Abweichungsquadrat F TeststatistikRegression erklart S Q E i 1 n y i y 2 displaystyle SQE sum nolimits i 1 n hat y i overline hat y 2 nbsp erklarte Quadratsumme k displaystyle k nbsp M Q E S Q E k displaystyle MQE frac SQE k nbsp F M Q E M Q R displaystyle F frac MQE MQR nbsp Residuen unerklart S Q R i 1 n y i y i 2 displaystyle SQR sum i 1 n y i hat y i 2 nbsp Residuenquadratsumme n p displaystyle n p nbsp M Q R S Q R n p displaystyle MQR frac SQR n p nbsp Gesamt S Q T i 1 n y i y 2 displaystyle SQT sum i 1 n left y i bar y right 2 nbsp totale Quadratsumme Vorgehen und Interpretation BearbeitenUberschreitet der empirische F Wert bei einem a priori festgelegten Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp den kritischen F Wert F 1 a k n p displaystyle F 1 alpha k n p nbsp das 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Quantil der F Verteilung mit k displaystyle k nbsp und n p displaystyle n p nbsp Freiheitsgraden so verwirft man die Nullhypothese F gt F 1 a k n p H 0 verwerfen displaystyle F gt F 1 alpha k n p Rightarrow H 0 text verwerfen nbsp Das R 2 displaystyle mathit R 2 nbsp ist dann ausreichend gross und mindestens eine erklarende Variable tragt vermutlich genugend Information zur Erklarung von y displaystyle y nbsp bei Es ist naheliegend bei hohen F Werten die Nullhypothese zu verwerfen da ein hohes Bestimmtheitsmass zu einem hohen F Wert fuhrt Wenn der Wald Test fur eine oder mehrere unabhangige Variablen die Nullhypothese ablehnt dann kann man davon ausgehen dass die zugehorigen Regressionsparameter ungleich Null sind so dass die Variablen in das Modell mit einbezogen werden sollten Wenn es nur um eine unabhangige Variable geht H 0 b i 0 displaystyle H 0 colon beta i 0 nbsp vs H 1 b i 0 displaystyle H 1 colon beta i neq 0 nbsp dann wird ein t Test benutzt um zu uberprufen ob der Parameter signifikant ist Fur einen einzelnen Parameter stimmt das Ergebnis der Wald Statistik mit dem Ergebnis des Quadrates der t Statistik uberein Einzelnachweise Bearbeiten a b Karl Mosler und Friedrich Schmid Wahrscheinlichkeitsrechnung und schliessende Statistik Springer Verlag 2011 S 310 Ludwig Fahrmeir Rita Kunstler Iris Pigeot Gerhard Tutz Statistik Der Weg zur Datenanalyse 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50371 3 S 458 Jeffrey Marc Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage Nelson Education 2015 S 146 Ludwig Fahrmeir Rita Kunstler Iris Pigeot Gerhard Tutz Statistik Der Weg zur Datenanalyse 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50371 3 S 458 William H Greene Econometric Analysis 5 Auflage Prentice Hall International 2002 ISBN 0 13 110849 2 S 33 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Globaler F Test amp oldid 190078400