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Kritischer Wert (Statistik)

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Ein kritischer Wert ist in der Testtheorie derjenige Schwellenwert, der den Ablehnbereich (synonym: kritischer Bereich) vom Nicht-Ablehnungsbereich trennt. Weitere Details sind im Artikel Statistischer Test benannt.

Beispiel: einseitiger t-Test Bearbeiten

Da die Teststatistik eine Zufallsvariable ist, kann ihre Realisierung (die Prüfgröße) unter- oder oberhalb des kritischen Werts liegen. Liegt sie oberhalb des kritischen Werts, so wird die Nullhypothese verworfen.

Bei einem einseitigen Einstichproben-t-Test mit dem Ablehnbereich

ist der kritische Wert das -Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Der kritische Wert ist der Berührungspunkt zwischen dem Ablehnbereich und dem Annahmebereich . Liegt die Prüfgröße t, das ist eine Realisierung einer Teststatistik T, im Ablehnbereich, ist t also größer als der kritische Wert, so wird die Nullhypothese dieses Tests abgelehnt, anderenfalls nicht abgelehnt. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht dies.

Bei einer Testdurchführung, die auf dem p-Wert basiert, ist der p-Wert genau dann kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau , wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, das bedeutet hier, dass t größer als der kritische Wert ist.

Beispiel: zweiseitiger t-Test Bearbeiten

Darstellung der Trennschärfe und der Fehlerwahrscheinlichkeit erste Art eines statistischen Tests bei gegebener Nullhypothese (sampling distribution 1) und Alternativhypothese (sampling distribution 2).

Bei einem zweiseitigen Einstichproben-t-Test setzt sich der Ablehnbereich

aus zwei Teilintervallen zusammen. Dabei bezeichnet das -Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Es gibt in diesem Fall die zwei kritischen Werte und , die den Ablehnbereich vom Annahmebereich trennen. Die Nullhypothese dieses Tests wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, wenn also entweder oder gilt.

In der zweiten Abbildung ist, zusammengesetzt aus zwei blauen Teilflächen, die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, d. h. die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Richtigkeit der Nullhypothese, für den Fall einer zweiseitigen Alternativhypothese dargestellt. Die rot schraffierte Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem Ablehnbereich verdeutlicht eine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art und damit einen Wert der Trennschärfe (Power) des Tests. Ein zweiter, in diesem Fall sehr kleiner, Teil der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art wird durch die Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem linken Teil des Ablehnbereichs beigetragen, ist aber in dieser Graphik nicht sichtbar. Häufig, wie auch in den beiden angegebenen Beispielen von Ablehnbereichen, kann im Fall einer einfachen Nullhypothese der Ablehnbereich so gewählt werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art und das vorgegebene Signifikanzvniveau übereinstimmen.

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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Ein kritischer Wert ist in der Testtheorie derjenige Schwellenwert der den Ablehnbereich synonym kritischer Bereich vom Nicht Ablehnungsbereich trennt Weitere Details sind im Artikel Statistischer Test benannt Beispiel einseitiger t Test Bearbeiten nbsp Da die Teststatistik eine Zufallsvariable ist kann ihre Realisierung die Prufgrosse unter oder oberhalb des kritischen Werts liegen Liegt sie oberhalb des kritischen Werts so wird die Nullhypothese verworfen Bei einem einseitigen Einstichproben t Test mit dem Ablehnbereich A t 1 a n 1 displaystyle A left t 1 alpha n 1 infty right nbsp ist der kritische Wert t 1 a n 1 displaystyle t 1 alpha n 1 nbsp das 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Quantil der t Verteilung mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Der kritische Wert ist der Beruhrungspunkt zwischen dem Ablehnbereich t 1 a n 1 displaystyle t 1 alpha n 1 infty nbsp und dem Annahmebereich t 1 a n 1 displaystyle infty t 1 alpha n 1 nbsp Liegt die Prufgrosse t das ist eine Realisierung einer Teststatistik T im Ablehnbereich ist t also grosser als der kritische Wert so wird die Nullhypothese dieses Tests abgelehnt anderenfalls nicht abgelehnt Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht dies Bei einer Testdurchfuhrung die auf dem p Wert basiert ist der p Wert genau dann kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp wenn die Prufgrosse t im Ablehnbereich liegt das bedeutet hier dass t grosser als der kritische Wert ist Beispiel zweiseitiger t Test Bearbeiten nbsp Darstellung der Trennscharfe und der Fehlerwahrscheinlichkeit erste Art eines statistischen Tests bei gegebener Nullhypothese sampling distribution 1 und Alternativhypothese sampling distribution 2 Bei einem zweiseitigen Einstichproben t Test setzt sich der Ablehnbereich A t 1 a 2 n 1 t 1 a 2 n 1 displaystyle A left infty t 1 alpha 2 n 1 right cup left t 1 alpha 2 n 1 infty right nbsp aus zwei Teilintervallen zusammen Dabei bezeichnet t 1 a 2 n 1 displaystyle t 1 alpha 2 n 1 nbsp das 1 a 2 displaystyle 1 alpha 2 nbsp Quantil der t Verteilung mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Es gibt in diesem Fall die zwei kritischen Werte k 1 t 1 a 2 n 1 displaystyle k 1 t 1 alpha 2 n 1 nbsp und k 1 t 1 a 2 n 1 displaystyle k 1 t 1 alpha 2 n 1 nbsp die den Ablehnbereich vom Annahmebereich k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp trennen Die Nullhypothese dieses Tests wird abgelehnt wenn die Prufgrosse t im Ablehnbereich liegt wenn also entweder t lt k 1 displaystyle t lt k 1 nbsp oder t gt k 2 displaystyle t gt k 2 nbsp gilt In der zweiten Abbildung ist zusammengesetzt aus zwei blauen Teilflachen die Fehlerwahrscheinlichkeit 1 Art d h die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Richtigkeit der Nullhypothese fur den Fall einer zweiseitigen Alternativhypothese dargestellt Die rot schraffierte Flache unter der roten Dichtefunktion uber dem Ablehnbereich verdeutlicht eine Fehlerwahrscheinlichkeit 2 Art und damit einen Wert der Trennscharfe Power des Tests Ein zweiter in diesem Fall sehr kleiner Teil der Fehlerwahrscheinlichkeit 2 Art wird durch die Flache unter der roten Dichtefunktion uber dem linken Teil des Ablehnbereichs beigetragen ist aber in dieser Graphik nicht sichtbar Haufig wie auch in den beiden angegebenen Beispielen von Ablehnbereichen kann im Fall einer einfachen Nullhypothese der Ablehnbereich so gewahlt werden dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1 Art und das vorgegebene Signifikanzvniveau ubereinstimmen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kritischer Wert Statistik amp oldid 218746911