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Teststatistik Eine auch Prüfgröße 1 Testgröße 2 Testprüfgröße oder Prüffunktion genannt ist eine spezielle reellwertige

Teststatistik

Eine Teststatistik, auch Prüfgröße, Testgröße, Testprüfgröße oder Prüffunktion genannt, ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Teststatistiken werden als Hilfsfunktionen bei der Definition von statistischen Tests verwendet. So wird beispielsweise bei einem Hypothesentest die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Teststatistik über oder unter einem vorher festgelegten Zahlenwert liegt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Funktion

die auf dem Stichprobenraum , der Menge aller möglichen Stichprobenwerte einer Stichprobenvariablen , definiert ist, sowie ein statistischer Test

der durch

definiert ist.

Hierbei ist eine feste Zahl, die auch der kritische Wert genannt wird. Dann wird die Zufallsvariable eine Teststatistik genannt.

Die Definition gilt ebenso für randomisierte Tests sowie Varianten der obigen Definition des Tests. Dazu gehört unter anderem das Vertauschen oder Abändern von Ungleichheitszeichen und Vertauschen von null und eins.

Beispiele Bearbeiten

z-Statistik Bearbeiten

Unter Verwendung der Abkürzung

für das Stichprobenmittel ist eine typische Teststatistik auf gegeben durch die z-Statistik

Hierbei ist eine positive Zahl und eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet beispielsweise bei den Gauß-Tests Anwendung. Dabei wird ausgenutzt, dass die Teststatistik standardnormalverteilt ist, d. h. , wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Erwartungswert und Varianz .

t-Statistik Bearbeiten

Bezeichnet man mit

die korrigierte Stichprobenvarianz, so ist eine weitere wichtige Teststatistik auf gegeben durch

Hierbei ist wieder eine beliebige reelle Zahl. Diese Teststatistik findet bei dem Einstichproben-t-Test Anwendung. Dabei wird ähnlich zum obigen Beispiel ausgenutzt, dass wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Varianz und Mittelwert , die Teststatistik t-verteilt ist mit Freiheitsgraden. Es gilt dann .

Chi-Quadrat-Summe Bearbeiten

Eine dritte wichtige Teststatistik ist

Dabei ist und . Sie wird beispielsweise beim Chi-Quadrat-Test für die Varianz verwendet. Dabei wird genutzt, dass Chi-Quadrat-verteilt ist, wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Erwartungswert und Varianz .

Vorteile Bearbeiten

Betrachtet man einen Test und bezeichnet mit die Bildung des Erwartungswertes bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsverteilung , so treten in der Testtheorie häufig Ausdrücke der Form

auf. Dabei entspricht der erste Ausdruck dem Fehler 1. Art und der zweite dem Fehler 2. Art, wenn in der Nullhypothese ist und in der Alternative. Im Allgemeinen sind solche Ausdrücke schwer zu berechnen, da der Test selbst wenig Struktur besitzt.

Geht man nun von einem nichtrandomisierten Test aus (der randomisierte Fall folgt mit leichten Anpassungen), so lässt sich der Test schreiben als

Hierbei ist der Ablehnbereich des Tests und die Indikatorfunktion auf der Menge . Mit dieser Schreibweise folgt dann insbesondere

(siehe auch Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Kovarianz).

Ist der Test nun durch eine Teststatistik definiert, also beispielsweise durch

so ist der Ablehnbereich von der Form

Damit reduziert sich aber die Bestimmung des Erwartungswertes des Tests zu

Damit lässt sich der Erwartungswert des Tests direkt bestimmen, wenn die Verteilung der Teststatistik bekannt ist. Wie die drei obigen Beispiele zeigen ist dies bei vielen wichtigen Tests der Fall.

Die einfachere Berechnung des Erwartungswertes über die Verteilung der Teststatistik wird auf verschiedene Weisen verwendet. Einerseits bei Hypothesentests vor der Datenauswertung, um den kritischen Wert so anzupassen, dass der Test den gewünschten Fehler erster Art einhält. Andererseits bei Signifikanztests nach der Datenauswertung zur Bestimmung des p-Wertes. Somit erleichtern Teststatistiken den Umgang und die Konstruktion von Tests.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Tschirk: Statistik: Klassisch oder Bayes. Zwei Wege im Vergleich. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-54384-5, S. 67, doi:10.1007/978-3-642-54385-2.
  2. Karl Bosch: Elementare Einführung in die angewandte Statistik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 178.
  3. Testtheorie. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  4. ↑ Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 195, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  5. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 282, doi:10.1515/9783110215274.
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Eine Teststatistik auch Prufgrosse 1 Testgrosse 2 Testprufgrosse oder Pruffunktion genannt ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Teststatistiken werden als Hilfsfunktionen bei der Definition von statistischen Tests verwendet So wird beispielsweise bei einem Hypothesentest die Nullhypothese abgelehnt wenn die Teststatistik uber oder unter einem vorher festgelegten Zahlenwert liegt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 z Statistik 2 2 t Statistik 2 3 Chi Quadrat Summe 3 Vorteile 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine Funktion T X R displaystyle T colon mathcal X to mathbb R nbsp die auf dem Stichprobenraum X displaystyle mathcal X nbsp der Menge aller moglichen Stichprobenwerte einer Stichprobenvariablen X displaystyle X nbsp definiert ist sowie ein statistischer Test f X 0 1 displaystyle varphi colon mathcal X to 0 1 nbsp der durch f X 1 falls T X gt k 0 falls T X k displaystyle varphi X begin cases 1 amp text falls quad T X gt k 0 amp text falls quad T X leq k end cases nbsp definiert ist Hierbei ist k displaystyle k nbsp eine feste Zahl die auch der kritische Wert genannt wird Dann wird die Zufallsvariable T displaystyle T nbsp eine Teststatistik genannt 3 Die Definition gilt ebenso fur randomisierte Tests sowie Varianten der obigen Definition des Tests Dazu gehort unter anderem das Vertauschen oder Abandern von Ungleichheitszeichen und Vertauschen von null und eins Beispiele Bearbeitenz Statistik Bearbeiten Hauptartikel Standardisierung Statistik Unter Verwendung der Abkurzung X 1 n X 1 X 2 X n displaystyle overline X frac 1 n left X 1 X 2 ldots X n right nbsp fur das Stichprobenmittel ist eine typische Teststatistik auf X R n displaystyle mathcal X mathbb R n nbsp gegeben durch die z Statistik T X n X m s displaystyle T X sqrt n cdot frac overline X mu sigma nbsp Hierbei ist s displaystyle sigma nbsp eine positive Zahl und m displaystyle mu nbsp eine beliebige reelle Zahl Diese Teststatistik findet beispielsweise bei den Gauss Tests Anwendung Dabei wird ausgenutzt dass die Teststatistik standardnormalverteilt ist d h T N 0 1 displaystyle T sim mathcal N 0 1 nbsp wenn die Stichprobenvariablen X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n nbsp normalverteilt sind mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp 4 t Statistik Bearbeiten Hauptartikel t Statistik Bezeichnet man mit V X 1 n 1 i 1 n X i X 2 displaystyle V X frac 1 n 1 sum i 1 n X i overline X 2 nbsp die korrigierte Stichprobenvarianz so ist eine weitere wichtige Teststatistik auf X R n displaystyle mathcal X mathbb R n nbsp gegeben durch T X n X m V X displaystyle T X sqrt n cdot frac overline X mu sqrt V X nbsp Hierbei ist wieder m displaystyle mu nbsp eine beliebige reelle Zahl Diese Teststatistik findet bei dem Einstichproben t Test Anwendung Dabei wird ahnlich zum obigen Beispiel ausgenutzt dass wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp und Mittelwert m displaystyle mu nbsp die Teststatistik t verteilt ist mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Es gilt dann T t n 1 displaystyle T sim mathbf t n 1 nbsp 5 Chi Quadrat Summe Bearbeiten Eine dritte wichtige Teststatistik ist T X i 1 n X i m s 2 displaystyle T X sum i 1 n left frac X i mu sigma right 2 nbsp Dabei ist m R displaystyle mu in mathbb R nbsp und s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp Sie wird beispielsweise beim Chi Quadrat Test fur die Varianz verwendet Dabei wird genutzt dass T displaystyle T nbsp Chi Quadrat verteilt ist wenn die Stichprobenvariablen normalverteilt sind mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp 4 Vorteile BearbeitenBetrachtet man einen Test f displaystyle varphi nbsp und bezeichnet mit E ϑ displaystyle operatorname E vartheta nbsp die Bildung des Erwartungswertes bezuglich einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P ϑ displaystyle P vartheta nbsp so treten in der Testtheorie haufig Ausdrucke der Form E ϑ 0 f displaystyle operatorname E vartheta 0 varphi nbsp oder 1 E ϑ 1 f displaystyle 1 operatorname E vartheta 1 varphi nbsp auf Dabei entspricht der erste Ausdruck dem Fehler 1 Art und der zweite dem Fehler 2 Art wenn ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp in der Nullhypothese ist und ϑ 1 displaystyle vartheta 1 nbsp in der Alternative Im Allgemeinen sind solche Ausdrucke schwer zu berechnen da der Test f displaystyle varphi nbsp selbst wenig Struktur besitzt Geht man nun von einem nichtrandomisierten Test f displaystyle varphi nbsp aus der randomisierte Fall folgt mit leichten Anpassungen so lasst sich der Test schreiben als f X 1 A X displaystyle varphi X mathbf 1 A X nbsp Hierbei ist A displaystyle A nbsp der Ablehnbereich des Tests und 1 A X displaystyle mathbf 1 A X nbsp die Indikatorfunktion auf der Menge A displaystyle A nbsp Mit dieser Schreibweise folgt dann insbesondere E ϑ f P ϑ A displaystyle operatorname E vartheta varphi P vartheta A nbsp siehe auch Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert Varianz und Kovarianz Ist der Test nun durch eine Teststatistik T displaystyle T nbsp definiert also beispielsweise durch f X 1 falls T X gt k 0 falls T X k displaystyle varphi X begin cases 1 amp text falls quad T X gt k 0 amp text falls quad T X leq k end cases nbsp so ist der Ablehnbereich von der Form A X X T X gt k displaystyle A X in mathcal X mid T X gt k nbsp Damit reduziert sich aber die Bestimmung des Erwartungswertes des Tests zu E ϑ f P ϑ A P ϑ X X T X gt k displaystyle operatorname E vartheta varphi P vartheta A P vartheta X in mathcal X mid T X gt k nbsp Damit lasst sich der Erwartungswert des Tests direkt bestimmen wenn die Verteilung der Teststatistik bekannt ist Wie die drei obigen Beispiele zeigen ist dies bei vielen wichtigen Tests der Fall Die einfachere Berechnung des Erwartungswertes uber die Verteilung der Teststatistik wird auf verschiedene Weisen verwendet Einerseits bei Hypothesentests vor der Datenauswertung um den kritischen Wert k displaystyle k nbsp so anzupassen dass der Test den gewunschten Fehler erster Art einhalt Andererseits bei Signifikanztests nach der Datenauswertung zur Bestimmung des p Wertes Somit erleichtern Teststatistiken den Umgang und die Konstruktion von Tests Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Tschirk Statistik Klassisch oder Bayes Zwei Wege im Vergleich 1 Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 54384 5 S 67 doi 10 1007 978 3 642 54385 2 Karl Bosch Elementare Einfuhrung in die angewandte Statistik 8 Auflage Vieweg Wiesbaden 2005 S 178 Testtheorie In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 a b Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 195 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 282 doi 10 1515 9783110215274 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Teststatistik amp oldid 235363215