Standardisierung Statistik Dieser Artikel behandelt die Standardisierung einer Zufallsvariablen Zur Standardisierung ein

Standardisierung (Statistik)

Unter Standardisierung (in einführenden Statistikkursen gelegentlich als z-Transformation bezeichnet) versteht man in der mathematischen Statistik eine Transformation einer Zufallsvariablen, so dass die resultierende standardisierte Zufallsvariable den Erwartungswert null und die Varianz eins besitzt. Die Standardabweichung entspricht der Wurzel der Varianz und ist somit auch gleich eins. Die Werte einer standardisierten Zufallsvariable werden häufig z-Werte, z-Scores oder z-Statistiken genannt.

Dichten einer standardisierten (blau) und zweier nicht standardisierter Normalverteilungen (rot und violett)

Die Standardisierung ist eine wesentliche Voraussetzung für die Konstruktion einiger statistischer Tests.

Einsatzzweck Bearbeiten

Standardisierung ist z. B. notwendig, um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu können. Außerdem sind für einige statistische Verfahren, wie beispielsweise die Faktorenanalyse, standardisierte Zufallsvariablen notwendig.

Herleitung der Standardisierungsformel Bearbeiten

Sei eine Zufallsvariable mit Erwartungswert und positiver Varianz (und dementsprechend Standardabweichung ), so erhält man die zugehörige standardisierte Zufallsvariable durch Zentrierung und anschließende Division durch die Standardabweichung:

Für die so erhaltene Zufallsvariable gilt:

Ist normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz , so ist standardnormalverteilt, d. h. .

Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen Bearbeiten

Allgemein Bearbeiten

Zwischen der Verteilungsfunktion der standardisierten Zufallsvariablen und der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen besteht der Zusammenhang

denn es gilt

Umgekehrt kann die Verteilungsfunktion durch die Verteilungsfunktion der standardisierten Zufallsvariablen ausgedrückt werden:

Normalverteilungen Bearbeiten

Gilt speziell , so ist standardnormalverteilt mit der Verteilungsfunktion , so dass die Verteilungsfunktion

hat. Somit lassen sich alle Verteilungsfunktionen von Normalverteilungen durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrücken. Wahrscheinlichkeitssagen über eine normalverteilte Zufallsvariable können auf die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zurückgeführt werden. Beispielsweise gilt

Für ein beliebiges Ereignis gilt

mit dem transformierten Integrationsbereich

Abgrenzung zur Studentisierung Bearbeiten

In vielen Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica ist die Möglichkeit einer Standardisierung der Messergebnisse bereits eingebaut. Genau genommen sollte hier aber von einer Studentisierung gesprochen werden, da die genaue Verteilung der zugrundeliegenden Zufallsvariablen nicht bekannt ist und somit statt des Erwartungswerts das arithmetische Mittel und statt der Varianz die empirische Varianz verwendet werden muss. Oftmals werden allerdings die Begriffe des Studentisierens und des Standardisierens fälschlich synonym verwendet.

Literatur Bearbeiten

Bortz, Schuster: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 7. Auflage. Springer, 2001.
Falk u. a.: Foundations of statistical analyses and applications with SAS. Birkhäuser, 2002.

Einzelnachweise Bearbeiten

Jeffrey Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage, South-Western Cengage Learning, Mason (Ohio) 2013, ISBN 978-1-111-53104-1, S. 736.
Zur näheren Herleitung nachfolgender Eigenschaften vgl. Jeffrey Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage, Mason (Ohio) 2013, S. 736.

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Veröffentlichungsdatum: September 28, 2023, 21:58 pm

Dieser Artikel behandelt die Standardisierung einer Zufallsvariablen Zur Standardisierung einer statistischen Variablen einer Stichprobe siehe Studentisierung Fur die Methode der Systemanalyse im Falle von zeitdiskreten Signalen siehe z Transformation Unter Standardisierung in einfuhrenden Statistikkursen gelegentlich als z Transformation bezeichnet versteht man in der mathematischen Statistik eine Transformation einer Zufallsvariablen so dass die resultierende standardisierte Zufallsvariable den Erwartungswert null und die Varianz eins besitzt Die Standardabweichung entspricht der Wurzel der Varianz und ist somit auch gleich eins Die Werte einer standardisierten Zufallsvariable werden haufig z Werte z Scores oder z Statistiken genannt Dichten einer standardisierten blau und zweier nicht standardisierter Normalverteilungen rot und violett Die Standardisierung ist eine wesentliche Voraussetzung fur die Konstruktion einiger statistischer Tests Inhaltsverzeichnis 1 Einsatzzweck 2 Herleitung der Standardisierungsformel 3 Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen 3 1 Allgemein 3 2 Normalverteilungen 4 Abgrenzung zur Studentisierung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseEinsatzzweck BearbeitenStandardisierung ist z B notwendig um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu konnen Ausserdem sind fur einige statistische Verfahren wie beispielsweise die Faktorenanalyse standardisierte Zufallsvariablen notwendig Herleitung der Standardisierungsformel BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E X m displaystyle operatorname E X mu nbsp und positiver Varianz Var X s 2 displaystyle operatorname Var X sigma 2 nbsp und dementsprechend Standardabweichung s Var X displaystyle sigma sqrt operatorname Var X nbsp so erhalt man die zugehorige standardisierte Zufallsvariable Z displaystyle Z nbsp durch Zentrierung und anschliessende Division durch die Standardabweichung 1 Z X m s displaystyle Z frac X mu sigma nbsp Fur die 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F t m s fur alle t R displaystyle F X t Phi left frac t mu sigma right quad text fur alle t in mathbb R nbsp hat Somit lassen sich alle Verteilungsfunktionen von Normalverteilungen durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrucken Wahrscheinlichkeitssagen uber eine normalverteilte Zufallsvariable konnen auf die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zuruckgefuhrt werden Beispielsweise gilt P a lt X b F X b F X a F b m s F a m s displaystyle P a lt X leq b F X b F X a Phi left frac b mu sigma right Phi left frac a mu sigma right nbsp Fur ein beliebiges Ereignis B displaystyle B nbsp gilt P X B B d F X t B d F t m s B m s d F u displaystyle P X in B int limits B mathrm d F X t int limits B mathrm d Phi left frac t mu sigma right int limits B mu sigma mathrm d Phi u nbsp mit dem transformierten Integrationsbereich B m s t m s t B displaystyle B mu sigma left left frac t mu sigma right t in B right nbsp Abgrenzung zur Studentisierung BearbeitenIn vielen Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica ist die Moglichkeit einer Standardisierung der Messergebnisse bereits eingebaut Genau genommen sollte hier aber von einer Studentisierung gesprochen werden da die genaue Verteilung der zugrundeliegenden Zufallsvariablen nicht bekannt ist und somit statt des Erwartungswerts das arithmetische Mittel und statt der Varianz die empirische Varianz verwendet werden muss Oftmals werden allerdings die Begriffe des Studentisierens und des Standardisierens falschlich synonym verwendet Literatur BearbeitenBortz Schuster Statistik fur Human und Sozialwissenschaftler 7 Auflage Springer 2001 Falk u a Foundations of statistical analyses and applications with SAS Birkhauser 2002 Einzelnachweise Bearbeiten Jeffrey Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage South Western Cengage Learning Mason Ohio 2013 ISBN 978 1 111 53104 1 S 736 Zur naheren Herleitung nachfolgender Eigenschaften vgl Jeffrey Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage Mason Ohio 2013 S 736 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Standardisierung Statistik amp oldid 235806257