www.wikidata.de-de.nina.az

Einstichproben t Test Der englisch one sample t test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik Er prüft a

Einstichproben-t-Test

Der Einstichproben-t-Test (englisch one sample t-test) ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. Er prüft anhand des Mittelwertes einer Stichprobe, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit gleich einem vorgegebenen Wert ist (bzw. kleiner oder größer).

Eine entsprechende Erweiterung eines Mittelwertvergleiches für zwei (abhängige oder unabhängige) Stichproben ist der Zweistichproben-t-Test.

Testidee Bearbeiten

Der Einstichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe des Mittelwertes einer Stichprobe, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit verschieden von einem vorgegebenen Wert ist.

Die untenstehende Grafik zeigt eine Grundgesamtheit (schwarze Punkte) und eine Stichprobe (rote Punkte), die zufällig aus der Grundgesamtheit gezogen wurde. Der Mittelwert der Stichprobe kann aus der Stichprobe berechnet werden, der Mittelwert der Grundgesamtheit ist jedoch unbekannt. Man vermutet, z. B. wegen historischer Ergebnisse oder theoretischer Überlegungen, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit verschieden von einem vorgegebenen Wert ist.

Im einfachsten Fall prüft der Test

  • die Nullhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit gleich dem vorgegebenen Wert ist ()
  • gegen die Alternativhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit ungleich dem vorgegebenen Wert ist ().

Wenn die Stichprobe geeignet gezogen wird, z. B. als einfache Zufallsstichprobe, wird der Mittelwert der Stichprobe mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei dem Mittelwert der Grundgesamtheit liegen. D. h. der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

  • Liegt nun der vorgegebene Wert nahe dem Mittelwert der Stichprobe , d. h. die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen kleinen Abstand, dann liegt der vorgegebene Wert auch nahe dem Mittelwert der Grundgesamtheit . Wir können dann die Nullhypothese nicht ablehnen.
  • Liegt jedoch der vorgegebene Wert weit entfernt von dem Mittelwert der Stichprobe , d. h. die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen großen Abstand, dann liegt der vorgegebene Wert auch weit entfernt von dem Mittelwert der Grundgesamtheit . Dann können wir die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

Hypothesen Bearbeiten

Für den Einstichproben-t-Test können drei verschiedene Hypothesenpaare (Nullhypothese vs. Alternativhypothese ) formuliert werden:

  1. vs. (zweiseitiger Test),
  2. vs. (rechtsseitiger Test) und
  3. vs. (linksseitiger Test)

Für alle drei Hypothesenpaare wird die gleiche Teststatistik benutzt, lediglich die Bereiche für die Ablehnung bzw. Annahme der Nullhypothese unterscheiden sich.

Mathematische Herleitung der Teststatistik Bearbeiten

Für eine normalverteilte Grundgesamtheit Bearbeiten

Sind unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Standardabweichung , und möchte man die Nullhypothese testen, dann liegt es nahe, ihr arithmetisches Mittel

als Teststatistik zu benutzen. Sie ist namentlich ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert , hat aber die Standardabweichung . Bei bekanntem könnte die Hypothese mit einem Gauß-Test getestet werden. Dazu berechnet man

welche unter der Nullhypothese standardnormalverteilt ist.

Normalerweise ist jedoch die Standardabweichung unbekannt und tritt (da man hier keine Inferenz über betreibt) hier als sogenannter Störparameter auf. In diesem Fall liegt es nahe, sie durch die empirische Standardabweichung

zu schätzen und als Teststatistik die t-Statistik

zu verwenden. Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt mit Freiheitsgraden. Ist der Wert der Teststatistik für eine konkrete Stichprobe so groß (oder so klein), dass dieser oder ein noch signifikanterer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Für eine beliebig verteilte Grundgesamtheit Bearbeiten

Sind () unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Standardabweichung , dann liegt es wie im obigen Fall nahe, ihr arithmetisches Mittel

als Teststatistik zu benutzen. Obwohl die Verteilung von unbekannt ist, gilt aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes, dass es approximativ normalverteilt ist mit Erwartungswert und Standardabweichung .

Weil normalerweise die Standardabweichung unbekannt ist, liegt es auch in diesem Fall nahe, sie durch die empirische Standardabweichung

zu schätzen und wieder als Teststatistik die t-Statistik

zu verwenden. Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nur annähernd t-verteilt mit Freiheitsgraden. Ist der Wert der Teststatistik für eine konkrete Stichprobe so groß (oder so klein), dass dieser oder ein noch extremerer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Beispiel Bearbeiten

Zweiseitiger Test Bearbeiten

Es soll getestet werden, ob die durchschnittliche Laufzeit von Notebook-Akkus möglicherweise von den vom Hersteller angegebenen 3,5 Stunden abweicht. Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter kontrollierten gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen. Da wir nur wenige Beobachtungen haben, kann der zentrale Grenzwertsatz nicht angewendet werden; siehe Abschnitt Mathematische Herleitung der Teststatistik für eine beliebig verteilte Grundgesamtheit. Wir müssen daher davon ausgehen, dass die Laufzeit der Notebook-Akkus in der Grundgesamtheit normalverteilt ist.

Folgende Hypothesen sollen geprüft werden:

Allgemein Beispiel
vs. Stunden vs. Stunden

Bei der Durchführung des Tests ergebe sich beispielsweise der Stichprobenmittelwert Stunden und die Stichprobenstandardabweichung Stunden. Daraus lässt sich nun der Prüfwert folgendermaßen berechnen:

Allgemein Beispiel
mit Stunden
und Stunden

Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau abgelehnt, falls . Darin entspricht dem -Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Für das Beispiel heißt das, dass die Nullhypothese abgelehnt wird bei einem Signifikanzniveau , wenn t kleiner ist als das 2,5 %-Quantil oder größer als das 97,5 %-Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Man findet mit Hilfe einer t-Tabelle oder eines Computerprogramms den Wert . Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung ist . Wegen kann die Nullhypothese, dass der Erwartungswert der Laufzeit gleich 3,5 Stunden ist, zum Signifikanzniveau abgelehnt werden. Die Akkus laufen im Mittel nicht 3,5 Stunden, also mehr oder weniger.

Einseitiger Test Bearbeiten

In der Praxis hätte man einen einseitigen Test durchgeführt, denn nur wenn die Akkus mehr als 3,5 Stunden laufen, dann ist man als Kunde zufrieden. Die Hypothesen zum Prüfen, ob die Akkus mindestens 3,5 Stunden durchhalten, lauten dann

Allgemein Beispiel
vs. Stunden vs. Stunden

Der Prüfwert ergibt sich wieder zu und kann auch zum Testen der einseitigen Hypothese zum Signifikanzniveau verwendet werden. Die Nullhypothese wird nun abgelehnt, wenn ist.

Für ergibt sich . Und da gilt, können wir diese Nullhypothese ebenfalls ablehnen, d. h., wir konnten zeigen, dass die durchschnittliche Akkulaufzeit kleiner als 3,5 Stunden ist.

Alternative Tests Bearbeiten

  • Im Fall,

Kompaktdarstellung Bearbeiten

Einstichproben-t-Test
Voraussetzungen
  • unabhängig voneinander
  • oder und hinreichend großes (siehe ZGS)
Hypothesen

(rechtsseitig)

(zweiseitig)

(linksseitig)
Teststatistik
Prüfwert mit und
Ablehnungsbereich

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Bortz, Christof Schuster: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 7. Auflage. Springer, Berlin 2010, ISBN 978-3-642-12769-4.
  • Jürgen Bortz, Gustav A. Lienert, Klaus Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. 3. Auflage. Springer Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-74706-2.
  • Christel Weiß: Basiswissen Medizinische Statistik. 5. Auflage. Springer, Berlin 2010, ISBN 978-3-642-11336-9.

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Einstichproben t Test englisch one sample t test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik Er pruft anhand des Mittelwertes einer Stichprobe ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit gleich einem vorgegebenen Wert ist bzw kleiner oder grosser Eine entsprechende Erweiterung eines Mittelwertvergleiches fur zwei abhangige oder unabhangige Stichproben ist der Zweistichproben t Test Inhaltsverzeichnis 1 Testidee 2 Hypothesen 3 Mathematische Herleitung der Teststatistik 3 1 Fur eine normalverteilte Grundgesamtheit 3 2 Fur eine beliebig verteilte Grundgesamtheit 4 Beispiel 4 1 Zweiseitiger Test 4 2 Einseitiger Test 5 Alternative Tests 6 Kompaktdarstellung 7 Literatur 8 WeblinksTestidee BearbeitenDer Einstichproben t Test pruft im einfachsten Fall mit Hilfe des Mittelwertes x displaystyle bar x nbsp einer Stichprobe ob der Mittelwert der Grundgesamtheit m displaystyle mu nbsp verschieden von einem vorgegebenen Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp ist Die untenstehende Grafik zeigt eine Grundgesamtheit schwarze Punkte und eine Stichprobe rote Punkte die zufallig aus der Grundgesamtheit gezogen wurde Der Mittelwert x displaystyle bar x nbsp der Stichprobe kann aus der Stichprobe berechnet werden der Mittelwert m displaystyle mu nbsp der Grundgesamtheit ist jedoch unbekannt Man vermutet z B wegen historischer Ergebnisse oder theoretischer Uberlegungen dass der Mittelwert m displaystyle mu nbsp der Grundgesamtheit verschieden von einem vorgegebenen Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp ist Im einfachsten Fall pruft der Test die Nullhypothese dass der Mittelwert der Grundgesamtheit gleich dem vorgegebenen Wert ist H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu mu 0 nbsp gegen die Alternativhypothese dass der Mittelwert der Grundgesamtheit ungleich dem vorgegebenen Wert ist H 1 m m 0 displaystyle H 1 mu neq mu 0 nbsp nbsp Wenn die Stichprobe geeignet gezogen wird z B als einfache Zufallsstichprobe wird der Mittelwert der Stichprobe x displaystyle bar x nbsp mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei dem Mittelwert der Grundgesamtheit m displaystyle mu nbsp liegen D h der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein Liegt nun der vorgegebene Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp nahe dem Mittelwert der Stichprobe x displaystyle bar x nbsp d h die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen kleinen Abstand dann liegt der vorgegebene Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp auch nahe dem Mittelwert der Grundgesamtheit m displaystyle mu nbsp Wir konnen dann die Nullhypothese nicht ablehnen Liegt jedoch der vorgegebene Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp weit entfernt von dem Mittelwert der Stichprobe x displaystyle bar x nbsp d h die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen grossen Abstand dann liegt der vorgegebene Wert m 0 displaystyle mu 0 nbsp auch weit entfernt von dem Mittelwert der Grundgesamtheit m displaystyle mu nbsp Dann konnen wir die Nullhypothese ablehnen Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten Hypothesen BearbeitenFur den Einstichproben t Test konnen drei verschiedene Hypothesenpaare Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp vs Alternativhypothese H 1 displaystyle H 1 nbsp formuliert werden H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu mu 0 nbsp vs H 1 m m 0 displaystyle H 1 mu neq mu 0 nbsp zweiseitiger Test H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu leq mu 0 nbsp vs H 1 m gt m 0 displaystyle H 1 mu gt mu 0 nbsp rechtsseitiger Test und H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu geq mu 0 nbsp vs H 1 m lt m 0 displaystyle H 1 mu lt mu 0 nbsp linksseitiger Test Fur alle drei Hypothesenpaare wird die gleiche Teststatistik benutzt lediglich die Bereiche fur die Ablehnung bzw Annahme der Nullhypothese unterscheiden sich Mathematische Herleitung der Teststatistik BearbeitenFur eine normalverteilte Grundgesamtheit Bearbeiten Sind X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n nbsp unabhangige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert m R displaystyle mu in mathbb R nbsp und Standardabweichung s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp und mochte man die Nullhypothese m m 0 displaystyle mu mu 0 nbsp testen dann liegt es nahe ihr arithmetisches Mittel X 1 n i 1 n X i displaystyle bar X frac 1 n sum i 1 n X i nbsp als Teststatistik zu benutzen Sie ist namentlich ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp hat aber die Standardabweichung s n displaystyle tfrac sigma sqrt n nbsp Bei bekanntem s displaystyle sigma nbsp konnte die Hypothese mit einem Gauss Test getestet werden Dazu berechnet man Z n X m 0 s displaystyle Z sqrt n frac bar X mu 0 sigma nbsp welche unter der Nullhypothese standardnormalverteilt ist Normalerweise ist jedoch die Standardabweichung unbekannt und tritt da man hier keine Inferenz uber s displaystyle sigma nbsp betreibt hier als sogenannter Storparameter auf In diesem Fall liegt es nahe sie durch die empirische Standardabweichung S i 1 n X i X 2 n 1 displaystyle S sqrt frac sum i 1 n X i bar X 2 n 1 nbsp zu schatzen und als Teststatistik die t Statistik T n X m 0 S displaystyle T sqrt n frac bar X mu 0 S nbsp zu verwenden Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nicht mehr normalverteilt sondern t verteilt mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Ist der Wert der Teststatistik fur eine konkrete Stichprobe so gross oder so klein dass dieser oder ein noch signifikanterer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist wird die Nullhypothese abgelehnt Fur eine beliebig verteilte Grundgesamtheit Bearbeiten Sind X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n nbsp n gt 30 displaystyle n gt 30 nbsp unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert m R displaystyle mu in mathbb R nbsp und Standardabweichung s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp dann liegt es wie im obigen Fall nahe ihr arithmetisches Mittel X 1 n i 1 n X i displaystyle bar X frac 1 n sum i 1 n X i nbsp als Teststatistik zu benutzen Obwohl die Verteilung von X displaystyle bar X nbsp unbekannt ist gilt aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes dass es approximativ normalverteilt ist mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Standardabweichung s n displaystyle tfrac sigma sqrt n nbsp Weil normalerweise die Standardabweichung unbekannt ist liegt es auch in diesem Fall nahe sie durch die empirische Standardabweichung S i 1 n X i X 2 n 1 displaystyle S sqrt frac sum i 1 n X i bar X 2 n 1 nbsp zu schatzen und wieder als Teststatistik die t Statistik T n X m 0 S displaystyle T sqrt n frac bar X mu 0 S nbsp zu verwenden Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nur annahernd t verteilt mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Ist der Wert der Teststatistik fur eine konkrete Stichprobe so gross oder so klein dass dieser oder ein noch extremerer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist wird die Nullhypothese abgelehnt Beispiel BearbeitenZweiseitiger Test Bearbeiten Es soll getestet werden ob die durchschnittliche Laufzeit m displaystyle mu nbsp von Notebook Akkus moglicherweise von den vom Hersteller angegebenen 3 5 Stunden abweicht Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter kontrollierten gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen Da wir nur wenige Beobachtungen haben kann der zentrale Grenzwertsatz nicht angewendet werden siehe Abschnitt Mathematische Herleitung der Teststatistik fur eine beliebig verteilte Grundgesamtheit Wir mussen daher davon ausgehen dass die Laufzeit der Notebook Akkus in der Grundgesamtheit normalverteilt ist Folgende Hypothesen sollen gepruft werden Allgemein BeispielH 0 m m 0 displaystyle H 0 mu mu 0 nbsp vs H 1 m m 0 displaystyle H 1 mu neq mu 0 nbsp H 0 m 3 5 displaystyle H 0 mu 3 5 nbsp Stunden vs H 1 m 3 5 displaystyle H 1 mu neq 3 5 nbsp StundenBei der Durchfuhrung des Tests ergebe sich beispielsweise der Stichprobenmittelwert x 3 25 displaystyle bar x 3 25 nbsp Stunden und die Stichprobenstandardabweichung s 0 31 displaystyle s 0 31 nbsp Stunden Daraus lasst sich nun der Prufwert t displaystyle t nbsp folgendermassen berechnen Allgemein Beispielt n x m 0 s displaystyle t sqrt n frac bar x mu 0 s nbsp t 10 3 25 3 5 0 31 2 55 displaystyle t sqrt 10 frac 3 25 3 5 0 31 approx 2 55 nbsp mit x 1 n i 1 n x i displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp x 3 25 displaystyle bar x 3 25 nbsp Stundenund s i 1 n x i x 2 n 1 displaystyle s sqrt frac sum i 1 n x i bar x 2 n 1 nbsp s 0 31 displaystyle s 0 31 nbsp StundenDie Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp abgelehnt falls t gt t 1 a 2 n 1 displaystyle t gt t 1 tfrac alpha 2 n 1 nbsp Darin entspricht t 1 a 2 n 1 displaystyle t 1 tfrac alpha 2 n 1 nbsp dem 1 a 2 displaystyle 1 tfrac alpha 2 nbsp Quantil der t Verteilung mit n 1 displaystyle n 1 nbsp Freiheitsgraden Fur das Beispiel heisst das dass die Nullhypothese abgelehnt wird bei einem Signifikanzniveau a 5 displaystyle alpha 5 nbsp wenn t kleiner ist als das 2 5 Quantil oder grosser als das 97 5 Quantil der t Verteilung mit 10 1 9 displaystyle 10 1 9 nbsp Freiheitsgraden Man findet mit Hilfe einer t Tabelle oder eines Computerprogramms den Wert t 0 975 9 2 262 displaystyle t 0 975 9 2 262 nbsp Aufgrund der Symmetrie der t Verteilung ist t 0 025 9 2 262 displaystyle t 0 025 9 2 262 nbsp Wegen t 2 55 lt 2 262 displaystyle t 2 55 lt 2 262 nbsp kann die Nullhypothese dass der Erwartungswert der Laufzeit gleich 3 5 Stunden ist zum Signifikanzniveau a 5 displaystyle alpha 5 nbsp abgelehnt werden Die Akkus laufen im Mittel nicht 3 5 Stunden also mehr oder weniger Einseitiger Test Bearbeiten In der Praxis hatte man einen einseitigen Test durchgefuhrt denn nur wenn die Akkus mehr als 3 5 Stunden laufen dann ist man als Kunde zufrieden Die Hypothesen zum Prufen ob die Akkus mindestens 3 5 Stunden durchhalten lauten dann Allgemein BeispielH 0 m m 0 displaystyle H 0 mu geq mu 0 nbsp vs H 1 m lt m 0 displaystyle H 1 mu lt mu 0 nbsp H 0 m 3 5 displaystyle H 0 mu geq 3 5 nbsp Stunden vs H 1 m lt 3 5 displaystyle H 1 mu lt 3 5 nbsp StundenDer Prufwert ergibt sich wieder zu t 2 55 displaystyle t approx 2 55 nbsp und kann auch zum Testen der einseitigen Hypothese zum Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp verwendet werden Die Nullhypothese m m 0 displaystyle mu geq mu 0 nbsp wird nun abgelehnt wenn t lt t 1 a n 1 displaystyle t lt t 1 alpha n 1 nbsp ist Fur a 0 05 displaystyle alpha 0 05 nbsp ergibt sich t 1 a n 1 1 833 displaystyle t 1 alpha n 1 1 833 nbsp Und da 2 55 lt 1 833 displaystyle 2 55 lt 1 833 nbsp gilt konnen wir diese Nullhypothese ebenfalls ablehnen d h wir konnten zeigen dass die durchschnittliche Akkulaufzeit kleiner als 3 5 Stunden ist Alternative Tests BearbeitenIm Fall wenn der zentrale Grenzwertsatz fur die Stichprobenvariablen X i displaystyle X i nbsp nicht erfullt ist oder wenn der zentrale Grenzwertsatz fur die Stichprobenvariablen X i displaystyle X i nbsp erfullt ist und der Stichprobenumfang kleiner gleich 30 ist kann als Alternative der nichtparametrische Einstichproben Median Test eingesetzt werden Dieser testet allerdings ob der Median der Grundgesamtheit einem vorgegebenen Wert entspricht Ist die Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp bekannt dann sollte der Einstichproben Gauss Test verwendet werden Permutationstest falls keine t Verteilung vorliegt Kompaktdarstellung BearbeitenEinstichproben t TestVoraussetzungen X i displaystyle X i nbsp unabhangig voneinander X i N m s displaystyle X i sim mathcal N mu sigma nbsp oder X i m s displaystyle X i sim mu sigma nbsp und hinreichend grosses n displaystyle n nbsp siehe ZGS Hypothesen H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu leq mu 0 nbsp H 1 m gt m 0 displaystyle H 1 mu gt mu 0 nbsp rechtsseitig H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu mu 0 nbsp H 1 m m 0 displaystyle H 1 mu neq mu 0 nbsp zweiseitig H 0 m m 0 displaystyle H 0 mu geq mu 0 nbsp H 1 m lt m 0 displaystyle H 1 mu lt mu 0 nbsp linksseitig Teststatistik T n X m 0 S es gilt T t n 1 falls m m 0 displaystyle T sqrt n frac bar X mu 0 S quad text es gilt T sim t n 1 text falls mu mu 0 nbsp Prufwert t n x m 0 s displaystyle t sqrt n frac bar x mu 0 s nbsp mit x 1 n i 1 n x i displaystyle bar x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp und s 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle s sqrt frac 1 n 1 sum i 1 n x i bar x 2 nbsp Ablehnungsbereich H 0 displaystyle H 0 nbsp t 1 a n 1 displaystyle t 1 alpha n 1 infty nbsp t 1 a 2 n 1 t 1 a 2 n 1 displaystyle infty t 1 frac alpha 2 n 1 cup t 1 frac alpha 2 n 1 infty nbsp t 1 a n 1 displaystyle infty t 1 alpha n 1 nbsp Literatur BearbeitenJurgen Bortz Christof Schuster Statistik fur Human und Sozialwissenschaftler 7 Auflage Springer Berlin 2010 ISBN 978 3 642 12769 4 Jurgen Bortz Gustav A Lienert Klaus Boehnke Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik 3 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 74706 2 Christel Weiss Basiswissen Medizinische Statistik 5 Auflage Springer Berlin 2010 ISBN 978 3 642 11336 9 Weblinks BearbeitenRechner fur alle Varianten des t Tests Berechnet t Wert P Wert und kritische Werte Internet Rechner T Verteilung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einstichproben t Test amp oldid 227700641