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Zweistichproben t Test Der ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik In der üblichen Form prüft er anhand

Zweistichproben-t-Test

Der Zweistichproben-t-Test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. In der üblichen Form prüft er anhand der Mittelwerte zweier Stichproben, ob die Mittelwerte zweier normalverteilter Grundgesamtheiten gleich oder verschieden voneinander sind.

Es gibt zwei Varianten des Zweistichproben-t-Tests:

  • den für zwei unabhängige Stichproben mit gleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten und
  • den für zwei abhängige Stichproben.

Liegen zwei unabhängige Stichproben mit ungleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten vor, so muss der Welch-Test (s. u.) eingesetzt werden.

Grundidee Bearbeiten

Der Zweistichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe der Mittelwerte und zweier Stichproben, ob die Erwartungswerte und der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die untenstehende Grafik zeigt zwei Grundgesamtheiten (schwarze Punkte) und zwei Stichproben (blaue und rote Punkte), die zufällig aus den Grundgesamtheiten gezogen wurden. Die Mittelwerte der Stichproben und können aus den Stichproben berechnet werden, die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und sind jedoch unbekannt. In der Grafik sind die Grundgesamtheiten so konstruiert, dass die beiden Erwartungswerte gleich sind, also .

Wir vermuten nun, z. B. aufgrund historischer Ergebnisse oder theoretischer Überlegungen, dass die Erwartungswerte und der Grundgesamtheiten verschieden sind, und möchten dies prüfen.

Im einfachsten Fall prüft der Zweistichproben-t-Test

  • die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten gleich sind ()
  • gegen die Alternativhypothese, dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten ungleich sind ().

Wenn die Stichproben geeignet gezogen wurden, zum Beispiel als einfache Zufallsstichproben, wird der Mittelwert der Stichprobe 1 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert der Grundgesamtheit 1 liegen und der Mittelwert der Stichprobe 2 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert der Grundgesamtheit 2 liegen. Das heißt, der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie bzw. der gestrichelten blauen und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

  • Wenn der Abstand zwischen und (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) klein ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und nahe beieinander. Wir können die Nullhypothese nicht ablehnen.
  • Wenn der Abstand zwischen und (gestrichelte blaue bzw. rote Linie) groß ist, dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten und weit voneinander entfernt. Wir können die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

Zweistichproben-t-Test für unabhängige Stichproben Bearbeiten

Um Erwartungswertunterschiede zwischen zwei Grundgesamtheiten mit der gleichen unbekannten Standardabweichung zu untersuchen, wendet man den Zweistichproben-t-Test an. Dafür muss jede der Grundgesamtheiten normalverteilt sein oder die Stichprobenumfänge müssen so groß sein, dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar ist. Für den Test zieht man eine Stichprobe vom Umfang aus der 1. Grundgesamtheit und unabhängig davon eine Stichprobe vom Umfang aus der 2. Grundgesamtheit. Für die zugehörigen unabhängigen Stichprobenvariablen und gilt dann und mit den Erwartungswerten und der beiden Grundgesamtheiten. Wird eine Zahl für die Differenz der Erwartungswerte vorgegeben, so lautet die Nullhypothese

und die Alternativhypothese

Häufig liegt der Fall vor, in welchem die Nullhypothese die Gleichheit der Erwartungswerte und die Alternativhypothese die Ungleichheit der Erwartungswerte postuliert.

Die Teststatistik ergibt sich zu

Darin sind und die respektiven Stichprobenmittelwerte und

die gewichtete Varianz, berechnet als gewichtetes Mittel der respektiven korrigierten Stichprobenvarianzen und .

Die Teststatistik ist unter der Nullhypothese t-verteilt mit Freiheitsgraden. Der Prüfwert, also die Realisierung der Teststatistik anhand der Stichprobe, berechnet sich dann als

Dabei sind und die aus der Stichprobe berechneten Mittelwerte und

die Realisierung der gewichteten Varianz, berechnet aus den Stichprobenvarianzen und . Sie wird auch als gepoolte Stichprobenvarianz bezeichnet.

Zum Signifikanzniveau wird die Nullhypothese abgelehnt zugunsten der Alternative, wenn

Dabei bezeichnet das -Quantil einer t-Verteilung mit Freiheitsgraden. Im weiteren Verlauf des Artikels werden dafür auch die Notationen und verwendet. Im Artikel t-Verteilung wird dagegen die Notation für das -Quantil einer t-Verteilung mit Freiheitsgraden verwendet.

Alternativ können folgende Hypothesen mit der gleichen Teststatistik getestet werden:

  • vs. und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn bzw.
  • vs. und die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn .

Bemerkung Bearbeiten

Sind die Varianzen in den Grundgesamtheiten ungleich, dann muss der Welch-Test durchgeführt werden.

Beispiel 1 Bearbeiten

Zwei Düngemittelsorten sollen verglichen werden. Dazu werden 25 Parzellen gleicher Größe gedüngt, und zwar  Parzellen mit Sorte A und  Parzellen mit Sorte B. Angenommen wird, dass die Ernteerträge normalverteilt seien mit gleichen Varianzen. Bei Ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag mit Stichprobenvarianz und bei den anderen Parzellen das Mittel mit Varianz . Für die gewichtete Varianz berechnet man damit

Daraus erhält man die Prüfgröße

Das vorgegebene Signifikanzniveau sei 5 %. Es wird ein zweiseitiger Test durchgeführt. Der Wert der Prüfgröße ist größer als das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit Freiheitsgraden . Es kann also mit einer Konfidenz von behauptet werden, dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Düngemittel besteht.

Kompaktdarstellung Bearbeiten

Zweistichproben-t-Test für zwei unabhängige Stichproben
Voraussetzungen
  • und unabhängig voneinander
  • oder mit
  • oder mit
  • unbekannt
Hypothesen

(rechtsseitig)

(zweiseitig)

(linksseitig)
Teststatistik

Im Fall gilt für die Teststatistik .

Prüfwert
mit , ,
,


und

Ablehnungsbereich
oder

Zweistichproben-t-Test für abhängige Stichproben Bearbeiten

Fehler 1. Art von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der Korrelation. Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.
Güte von verbundenem und unverbundenem t-Test in Abhängigkeit von der Korrelation. Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1 und einer Differenz der Erwartungswerte von 0,4. Das Signifikanzniveau beträgt 5 % und die Fallzahl 60.

Hier sind und zwei paarweise verbundene Stichproben, die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden (Messwiederholung). Die Stichproben können auch aus anderen Gründen paarweise abhängig sein, beispielsweise wenn die - und -Werte Messergebnisse von Frauen bzw. Männern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren.

Soll die Nullhypothese getestet werden, dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind, so können mit dem Einstichproben-t-Test die Differenzen auf Null getestet werden. In der Praxis muss bei kleineren Stichprobenumfängen () die Voraussetzung erfüllt sein, dass die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Bei hinreichend großen Stichproben verteilen sich die Differenzen der Paare annähernd normal um das arithmetische Mittel der Differenz der Grundgesamtheit. Insgesamt reagiert der t-Test auf Annahmeverletzung eher robust.

Beispiel 2 Bearbeiten

Um eine neue Therapie zur Senkung des Cholesterinspiegels zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:

Vor der Behandlung: 223 259 248 220 287 191 229 270 245 201
Nach der Behandlung: 220 244 243 211 299 170 210 276 252 189
Differenz: 3 15 5 9 −12 21 19 −6 −7 12

Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetische Mittel und die Stichprobenstandardabweichung . Das ergibt als Prüfgrößenwert

Es ist , also gilt . Somit kann die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind, die Therapie also keine Wirkung hat, zum Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden. Wegen ist auch die einseitige Alternative, dass die Therapie den Cholesterinspiegel senkt, nicht signifikant. Wenn die Behandlung überhaupt einen Effekt hat, so ist dieser nicht groß genug, um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken.

Kompaktdarstellung Bearbeiten

Zweistichproben-t-Test für zwei gepaarte Stichproben
Voraussetzungen
  • unabhängig voneinander
  • (zumindest approximativ)
Hypothesen

(rechtsseitig)

(zweiseitig)

(linksseitig)
Teststatistik

Im Fall gilt für die Teststatistik .

Prüfwert
mit , ,
und
Ablehnungsbereich

Welch-Test Bearbeiten

Beim Welch-Test, der manchmal auch Satterthwaite-Test genannt wird, wird wie beim Zweistichprobentest-t-Test für unabhängige Stichproben unterstellt, dass die beiden Stichproben normalverteilt und unabhängig voneinander sind. Jedoch wird nicht mehr gefordert, dass die Varianzen in beiden Stichproben identisch sind. Die Teststatistik wird gegenüber dem Zweistichproben-t-Test entsprechend modifiziert:

Diese Teststatistik ist unter der Nullhypothese gleicher Mittelwerte nicht -verteilt. Die wahre Verteilung kann aber (auch für endliche Stichproben!) durch eine t-Verteilung mit einer modifizierten Anzahl von Freiheitsgraden approximiert werden (siehe auch Behrens-Fisher-Problem):

Dabei sind und die aus der Stichprobe geschätzten Standardabweichungen der Grundgesamtheiten sowie und die Stichprobenumfänge.

Obwohl der Welch-Test speziell für den Fall entwickelt wurde, funktioniert der Test nicht gut, wenn mindestens eine der Verteilungen nicht-normal ist, die Fallzahlen klein und stark unterschiedlich () sind.

Kompaktdarstellung Bearbeiten

Welch-Test
Voraussetzungen
  • und unabhängig voneinander
  • oder mit
  • oder mit
  • unbekannt
Hypothesen

(rechtsseitig)

(zweiseitig)

(linksseitig)
Teststatistik

Im Fall gilt .

Prüfwert

mit , ,
,
,
und
.

Ablehnungsbereich
oder

Alternative Tests Bearbeiten

Der t-Test wird, wie oben ausgeführt, zum Testen von Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet.

  • Permutationstest, beruht nicht auf der Annahme, dass jede der beiden Gruppen für sich normalverteilt sind
  • Die Annahme, dass jede der beiden Gruppen für sich normalverteilt ist, kann mit dem Shapiro-Wilk-Test oder dem Kolmogorow-Smirnow-Test geprüft werden. Liegt keine Normalverteilung vor, können als Ersatz für den t-Test nichtparametrische Tests angewendet werden, etwa ein Wilcoxon-Mann-Whitney-Test (auch: Wilcoxon-Rangsummentest) für unabhängige Stichproben oder ein Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test für gepaarte Stichproben. Ein einfach durchführbares alternatives Verfahren zur schnellen Abschätzung ist der Schnelltest nach Tukey.
  • Sollen mehr als zwei normalverteilte Stichproben auf Gleichheit der Erwartungswerte getestet werden, kann eine Varianzanalyse angewendet werden.
  • Bei Mittelwertvergleichen normalverteilter Stichproben mit bekannter Standardabweichung können Gauß-Tests verwendet werden.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X, S. 142.
  2. ↑ B. L. Welch: The significance of the difference between two means when the population variances are unequal. In: Biometrika. Band 29, 1938, S. 350–362.
  3. Franklin J. Satterthwaite: Synthesis of Variance. In: Psychometrika. Band 6, Heft 5, 1941, S. 309–316.
  4. B. L. Welch: The generalization of ‘Student's’ problem when several different population variances are involved. In: Biometrika. Band 34, Nr. 1-2, 1947, ISSN 0006-3444, S. 28–35, doi:10.1093/biomet/34.1-2.28 (oup.com [abgerufen am 7. November 2021]).
  5. R.R. Wilcox: Statistics for the Social Sciences. Academic Press Inc, 1996, ISBN 0-12-751540-2.
  6. D.G. Bonnet, R.M. Price: Statistical inference for a linear function of medians: Confidence intervals, hypothesis testing, and sample size requirements. In: Psychological Methods. Band 7, Nr. 3, 2002, doi:10.1037/1082-989X.7.3.370.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Zweistichproben t Test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik In der ublichen Form pruft er anhand der Mittelwerte zweier Stichproben ob die Mittelwerte zweier normalverteilter Grundgesamtheiten gleich oder verschieden voneinander sind Es gibt zwei Varianten des Zweistichproben t Tests den fur zwei unabhangige Stichproben mit gleichen Standardabweichungen s displaystyle sigma in beiden Grundgesamtheiten und den fur zwei abhangige Stichproben Liegen zwei unabhangige Stichproben mit ungleichen Standardabweichungen in beiden Grundgesamtheiten vor so muss der Welch Test s u eingesetzt werden Inhaltsverzeichnis 1 Grundidee 2 Zweistichproben t Test fur unabhangige Stichproben 2 1 Bemerkung 2 2 Beispiel 1 2 3 Kompaktdarstellung 3 Zweistichproben t Test fur abhangige Stichproben 3 1 Beispiel 2 3 2 Kompaktdarstellung 4 Welch Test 4 1 Kompaktdarstellung 5 Alternative Tests 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseGrundidee BearbeitenDer Zweistichproben t Test pruft im einfachsten Fall mit Hilfe der Mittelwerte x 1 displaystyle overline x 1 nbsp und x 2 displaystyle overline x 2 nbsp zweier Stichproben ob die Erwartungswerte m 1 displaystyle mu 1 nbsp und m 2 displaystyle mu 2 nbsp der zugehorigen Grundgesamtheiten verschieden sind Die untenstehende Grafik zeigt zwei Grundgesamtheiten schwarze Punkte und zwei Stichproben blaue und rote Punkte die zufallig aus den Grundgesamtheiten gezogen wurden Die Mittelwerte der Stichproben x 1 displaystyle overline x 1 nbsp und x 2 displaystyle overline x 2 nbsp konnen aus den Stichproben berechnet werden die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten m 1 displaystyle mu 1 nbsp und m 2 displaystyle mu 2 nbsp sind jedoch unbekannt In der Grafik sind die Grundgesamtheiten so konstruiert dass die beiden Erwartungswerte gleich sind also m 1 m 2 displaystyle mu 1 mu 2 nbsp nbsp Wir vermuten nun z B aufgrund historischer Ergebnisse oder theoretischer Uberlegungen dass die Erwartungswerte m 1 displaystyle mu 1 nbsp und m 2 displaystyle mu 2 nbsp der Grundgesamtheiten verschieden sind und mochten dies prufen Im einfachsten Fall pruft der Zweistichproben t Test die Nullhypothese dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten gleich sind H 0 m 1 m 2 displaystyle H 0 mu 1 mu 2 nbsp gegen die Alternativhypothese dass die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten ungleich sind H 1 m 1 m 2 displaystyle H 1 mu 1 neq mu 2 nbsp Wenn die Stichproben geeignet gezogen wurden zum Beispiel als einfache Zufallsstichproben wird der Mittelwert x 1 displaystyle overline x 1 nbsp der Stichprobe 1 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert m 1 displaystyle mu 1 nbsp der Grundgesamtheit 1 liegen und der Mittelwert x 2 displaystyle overline x 2 nbsp der Stichprobe 2 mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe dem Erwartungswert m 2 displaystyle mu 2 nbsp der Grundgesamtheit 2 liegen Das heisst der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie bzw der gestrichelten blauen und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein Wenn der Abstand zwischen x 1 displaystyle overline x 1 nbsp und x 2 displaystyle overline x 2 nbsp gestrichelte blaue bzw rote Linie klein ist dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten m 1 displaystyle mu 1 nbsp und m 2 displaystyle mu 2 nbsp nahe beieinander Wir konnen die Nullhypothese nicht ablehnen Wenn der Abstand zwischen x 1 displaystyle overline x 1 nbsp und x 2 displaystyle overline x 2 nbsp gestrichelte blaue bzw rote Linie gross ist dann liegen auch die Erwartungswerte der Grundgesamtheiten m 1 displaystyle mu 1 nbsp und m 2 displaystyle mu 2 nbsp weit voneinander entfernt Wir konnen die Nullhypothese ablehnen Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten Zweistichproben t Test fur unabhangige Stichproben BearbeitenUm Erwartungswertunterschiede zwischen zwei Grundgesamtheiten mit der gleichen unbekannten Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp zu untersuchen wendet man den Zweistichproben t Test an Dafur muss jede der Grundgesamtheiten normalverteilt sein oder die Stichprobenumfange mussen so gross sein dass der zentrale Grenzwertsatz anwendbar ist Fur den Test zieht man eine Stichprobe x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp vom Umfang n displaystyle n nbsp aus der 1 Grundgesamtheit und unabhangig davon eine Stichprobe y 1 y m displaystyle y 1 ldots y m nbsp vom Umfang m displaystyle m nbsp aus der 2 Grundgesamtheit Fur die zugehorigen unabhangigen Stichprobenvariablen X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp und Y 1 Y m displaystyle Y 1 ldots Y m nbsp gilt dann E X i m X displaystyle operatorname E X i mu X nbsp und E Y j m Y displaystyle operatorname E Y j mu Y nbsp mit den Erwartungswerten m X displaystyle mu X nbsp und m Y displaystyle mu Y nbsp der beiden Grundgesamtheiten Wird eine Zahl w 0 displaystyle omega 0 nbsp fur die Differenz der Erwartungswerte vorgegeben so lautet die Nullhypothese H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y omega 0 nbsp und die Alternativhypothese H 1 m X m Y w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y neq omega 0 nbsp Haufig liegt der Fall w 0 0 displaystyle omega 0 0 nbsp vor in welchem die Nullhypothese die Gleichheit der Erwartungswerte und die Alternativhypothese die Ungleichheit der Erwartungswerte postuliert Die Teststatistik ergibt sich zu T X Y w 0 S 1 n 1 m n m n m X Y w 0 S displaystyle T frac overline X overline Y omega 0 S sqrt frac 1 n frac 1 m sqrt frac nm n m frac overline X overline Y omega 0 S nbsp Darin sind X displaystyle overline X nbsp und Y displaystyle overline Y nbsp die respektiven Stichprobenmittelwerte und S 2 n 1 S X 2 m 1 S Y 2 n m 2 displaystyle S 2 frac n 1 S X 2 m 1 S Y 2 n m 2 nbsp die gewichtete Varianz berechnet als gewichtetes Mittel der respektiven korrigierten Stichprobenvarianzen S X 2 displaystyle S X 2 nbsp und S Y 2 displaystyle S Y 2 nbsp Die Teststatistik T displaystyle T nbsp ist unter der Nullhypothese t verteilt mit m n 2 displaystyle m n 2 nbsp Freiheitsgraden Der Prufwert also die Realisierung der Teststatistik anhand der Stichprobe berechnet sich dann als t n m n m x y w 0 s displaystyle t sqrt frac nm n m frac overline x overline y omega 0 s nbsp Dabei sind x displaystyle overline x nbsp und y displaystyle overline y nbsp die aus der Stichprobe berechneten Mittelwerte und s 2 n 1 s x 2 m 1 s y 2 n m 2 displaystyle s 2 frac n 1 s x 2 m 1 s y 2 n m 2 nbsp die Realisierung der gewichteten Varianz berechnet aus den Stichprobenvarianzen s x 2 displaystyle s x 2 nbsp und s y 2 displaystyle s y 2 nbsp Sie wird auch als gepoolte Stichprobenvarianz bezeichnet Zum Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp wird die Nullhypothese abgelehnt zugunsten der Alternative wenn t gt t 1 1 2 a n m 2 displaystyle t gt t 1 tfrac 1 2 alpha n m 2 nbsp Dabei bezeichnet t p n displaystyle t p nu nbsp das p displaystyle p nbsp Quantil einer t Verteilung mit n displaystyle nu nbsp Freiheitsgraden Im weiteren Verlauf des Artikels werden dafur auch die Notationen t p n displaystyle t p nu nbsp und t p n displaystyle t p nu nbsp verwendet Im Artikel t Verteilung wird dagegen die Notation t n p displaystyle t nu p nbsp fur das 1 p displaystyle 1 p nbsp Quantil einer t Verteilung mit n displaystyle nu nbsp Freiheitsgraden verwendet Alternativ konnen folgende Hypothesen mit der gleichen Teststatistik T displaystyle T nbsp getestet werden H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y leq omega 0 nbsp vs H 1 m X m Y gt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y gt omega 0 nbsp und die Nullhypothese wird abgelehnt wenn t gt t 1 a m n 2 displaystyle t gt t 1 alpha m n 2 nbsp bzw H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y geq omega 0 nbsp vs H 1 m X m Y lt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y lt omega 0 nbsp und die Nullhypothese wird abgelehnt wenn t lt t 1 a m n 2 displaystyle t lt t 1 alpha m n 2 nbsp Bemerkung Bearbeiten Sind die Varianzen in den Grundgesamtheiten ungleich dann muss der Welch Test durchgefuhrt werden Beispiel 1 Bearbeiten Zwei Dungemittelsorten sollen verglichen werden Dazu werden 25 Parzellen gleicher Grosse gedungt und zwar n 10 displaystyle n 10 nbsp Parzellen mit Sorte A und m 15 displaystyle m 15 nbsp Parzellen mit Sorte B Angenommen wird dass die Ernteertrage normalverteilt seien mit gleichen Varianzen Bei Ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag x 23 6 displaystyle overline x 23 6 nbsp mit Stichprobenvarianz s x 2 9 5 displaystyle s x 2 9 5 nbsp und bei den anderen Parzellen das Mittel y 20 1 displaystyle overline y 20 1 nbsp mit Varianz s y 2 8 9 displaystyle s y 2 8 9 nbsp Fur die gewichtete Varianz berechnet man damit s 2 9 9 5 14 8 9 10 15 2 9 135 displaystyle s 2 frac 9 cdot 9 5 14 cdot 8 9 10 15 2 9 135 nbsp Daraus erhalt man die Prufgrosse t 10 15 10 15 23 6 20 1 9 135 2 837 displaystyle t sqrt frac 10 cdot 15 10 15 cdot frac 23 6 20 1 sqrt 9 135 2 837 nbsp Das vorgegebene Signifikanzniveau sei 5 Es wird ein zweiseitiger Test durchgefuhrt Der Wert der Prufgrosse ist grosser als das 0 975 Quantil der t Verteilung mit 10 15 2 23 displaystyle 10 15 2 23 nbsp Freiheitsgraden t 0 975 23 2 069 displaystyle t 0 975 23 2 069 nbsp Es kann also mit einer Konfidenz von 95 displaystyle 95 nbsp behauptet werden dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Dungemittel besteht Kompaktdarstellung Bearbeiten Zweistichproben t Test fur zwei unabhangige StichprobenVoraussetzungen X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp und Y 1 Y m displaystyle Y 1 ldots Y m nbsp unabhangig voneinander X i N m X s displaystyle X i sim mathcal N mu X sigma nbsp oder X i m X s displaystyle X i sim mu X sigma nbsp mit n gt 30 displaystyle n gt 30 nbsp Y j N m Y s displaystyle Y j sim mathcal N mu Y sigma nbsp oder Y j m Y s displaystyle Y j sim mu Y sigma nbsp mit m gt 30 displaystyle m gt 30 nbsp s displaystyle sigma nbsp unbekanntHypothesen H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y leq omega 0 nbsp H 1 m X m Y gt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y gt omega 0 nbsp rechtsseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y omega 0 nbsp H 1 m X m Y w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y neq omega 0 nbsp zweiseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y geq omega 0 nbsp H 1 m X m Y lt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y lt omega 0 nbsp linksseitig Teststatistik T n m n m X Y w 0 S displaystyle T sqrt frac nm n m frac overline X overline Y omega 0 S nbsp Im Fall m X m Y w 0 displaystyle mu X mu Y omega 0 nbsp gilt fur die Teststatistik T t n m 2 displaystyle T sim t n m 2 nbsp Prufwert t n m n m x y w 0 s displaystyle t sqrt frac nm n m frac overline x overline y omega 0 s nbsp mit x 1 n i 1 n x i displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp y 1 m i 1 m y i displaystyle overline y frac 1 m sum i 1 m y i nbsp s x 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle s x sqrt frac 1 n 1 sum i 1 n x i overline x 2 nbsp s y 1 m 1 j 1 m y j y 2 displaystyle s y sqrt frac 1 m 1 sum j 1 m y j overline y 2 nbsp und s n 1 s x 2 m 1 s y 2 n m 2 displaystyle s sqrt frac n 1 s x 2 m 1 s y 2 n m 2 nbsp Ablehnungsbereich H 0 displaystyle H 0 nbsp t t gt t 1 a n m 2 displaystyle t t gt t 1 alpha n m 2 nbsp t t lt t 1 a 2 n m 2 displaystyle t t lt t 1 alpha 2 n m 2 nbsp oder t t gt t 1 a 2 n m 2 displaystyle t t gt t 1 alpha 2 n m 2 nbsp t t lt t 1 a n m 2 displaystyle t t lt t 1 alpha n m 2 nbsp Zweistichproben t Test fur abhangige Stichproben BearbeitenSiehe auch gepaarte Stichprobe nbsp Fehler 1 Art von verbundenem und unverbundenem t Test in Abhangigkeit von der Korrelation Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1 Das Signifikanzniveau betragt 5 und die Fallzahl 60 nbsp Gute von verbundenem und unverbundenem t Test in Abhangigkeit von der Korrelation Die simulierten Zufallszahlen entstammen einer bivariaten Normalverteilung mit einer Varianz von 1 und einer Differenz der Erwartungswerte von 0 4 Das Signifikanzniveau betragt 5 und die Fallzahl 60 Hier sind x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp und y 1 y 2 y n displaystyle y 1 y 2 dots y n nbsp zwei paarweise verbundene Stichproben die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden Messwiederholung Die Stichproben konnen auch aus anderen Grunden paarweise abhangig sein beispielsweise wenn die x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Werte Messergebnisse von Frauen bzw Mannern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren Soll die Nullhypothese getestet werden dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind so konnen mit dem Einstichproben t Test die Differenzen d i x i y i displaystyle d i x i y i nbsp auf Null getestet werden In der Praxis muss bei kleineren Stichprobenumfangen n 30 displaystyle n leq 30 nbsp die Voraussetzung erfullt sein dass die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind Bei hinreichend grossen Stichproben verteilen sich die Differenzen der Paare annahernd normal um das arithmetische Mittel der Differenz der Grundgesamtheit Insgesamt reagiert der t Test auf Annahmeverletzung eher robust 1 Beispiel 2 Bearbeiten Um eine neue Therapie zur Senkung des Cholesterinspiegels zu testen werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse Vor der Behandlung 223 259 248 220 287 191 229 270 245 201Nach der Behandlung 220 244 243 211 299 170 210 276 252 189Differenz 3 15 5 9 12 21 19 6 7 12Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetische Mittel d 5 9 displaystyle overline d 5 9 nbsp und die Stichprobenstandardabweichung s d 11 386 6 displaystyle s d 11 3866 nbsp Das ergibt als Prufgrossenwert t 10 5 9 11 386 6 1 638 5 displaystyle t sqrt 10 frac 5 9 11 3866 1 6385 nbsp Es ist t 0 975 9 2 262 2 displaystyle t 0 975 9 2 2622 nbsp also gilt t t 0 975 9 displaystyle t leq t 0 975 9 nbsp Somit kann die Nullhypothese dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind die Therapie also keine Wirkung hat zum Signifikanzniveau a 5 displaystyle alpha 5 nbsp nicht abgelehnt werden Wegen t lt t 0 95 9 1 833 1 displaystyle t lt t 0 95 9 1 8331 nbsp ist auch die einseitige Alternative dass die Therapie den Cholesterinspiegel senkt nicht signifikant Wenn die Behandlung uberhaupt einen Effekt hat so ist dieser nicht gross genug um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken Kompaktdarstellung Bearbeiten Zweistichproben t Test fur zwei gepaarte StichprobenVoraussetzungen D i X i Y i displaystyle D i X i Y i nbsp unabhangig voneinander D 1 n i 1 n D i N m D s D n displaystyle overline D frac 1 n sum i 1 n D i sim mathcal N mu D sigma D sqrt n nbsp zumindest approximativ Hypothesen H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y leq omega 0 nbsp H 1 m X m Y gt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y gt omega 0 nbsp rechtsseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y omega 0 nbsp H 1 m X m Y w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y neq omega 0 nbsp zweiseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y geq omega 0 nbsp H 1 m X m Y lt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y lt omega 0 nbsp linksseitig Teststatistik T n D w 0 S D displaystyle T sqrt n frac overline D omega 0 S D nbsp Im Fall m X m Y w 0 displaystyle mu X mu Y omega 0 nbsp gilt fur die Teststatistik T t n 1 displaystyle T sim t n 1 nbsp Prufwert t n d w 0 s d displaystyle t sqrt n frac overline d omega 0 s d nbsp mit d i x i y i displaystyle d i x i y i nbsp d 1 n i 1 n d i displaystyle overline d frac 1 n sum i 1 n d i nbsp und s d 1 n 1 i 1 n d i d 2 displaystyle s d sqrt frac 1 n 1 sum i 1 n d i overline d 2 nbsp Ablehnungsbereich H 0 displaystyle H 0 nbsp t 1 a n 1 displaystyle t 1 alpha n 1 infty nbsp t 1 a 2 n 1 t 1 a 2 n 1 displaystyle infty t 1 frac alpha 2 n 1 cup t 1 frac alpha 2 n 1 infty nbsp t 1 a n 1 displaystyle infty t 1 alpha n 1 nbsp Welch Test BearbeitenBeim Welch Test 2 der manchmal auch Satterthwaite Test 3 genannt wird wird wie beim Zweistichprobentest t Test fur unabhangige Stichproben unterstellt dass die beiden Stichproben normalverteilt und unabhangig voneinander sind Jedoch wird nicht mehr gefordert dass die Varianzen in beiden Stichproben identisch sind Die Teststatistik wird gegenuber dem Zweistichproben t Test entsprechend modifiziert T X Y w 0 S X 2 n S Y 2 m t n displaystyle T frac overline X overline Y omega 0 sqrt frac S X 2 n frac S Y 2 m approx t nu nbsp Diese Teststatistik ist unter der Nullhypothese gleicher Mittelwerte nicht t displaystyle t nbsp verteilt Die wahre Verteilung kann aber auch fur endliche Stichproben durch eine t Verteilung mit einer modifizierten Anzahl von Freiheitsgraden approximiert werden 2 4 siehe auch Behrens Fisher Problem n s x 2 n s y 2 m 2 1 n 1 s x 2 n 2 1 m 1 s y 2 m 2 displaystyle nu left frac s x 2 n frac s y 2 m right 2 over frac 1 n 1 left frac s x 2 n right 2 frac 1 m 1 left frac s y 2 m right 2 nbsp Dabei sind s x displaystyle s x nbsp und s y displaystyle s y nbsp die aus der Stichprobe geschatzten Standardabweichungen der Grundgesamtheiten sowie n displaystyle n nbsp und m displaystyle m nbsp die Stichprobenumfange Obwohl der Welch Test speziell fur den Fall s X s Y displaystyle sigma X neq sigma Y nbsp entwickelt wurde funktioniert der Test nicht gut wenn mindestens eine der Verteilungen nicht normal ist die Fallzahlen klein und stark unterschiedlich n m displaystyle n neq m nbsp sind 5 6 Kompaktdarstellung Bearbeiten Welch TestVoraussetzungen X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp und Y 1 Y m displaystyle Y 1 ldots Y m nbsp unabhangig voneinander X i N m X s X displaystyle X i sim mathcal N mu X sigma X nbsp oder X i m X s X displaystyle X i sim mu X sigma X nbsp mit n gt 30 displaystyle n gt 30 nbsp Y j N m Y s Y displaystyle Y j sim mathcal N mu Y sigma Y nbsp oder Y j m Y s Y displaystyle Y j sim mu Y sigma Y nbsp mit m gt 30 displaystyle m gt 30 nbsp s X s Y displaystyle sigma X neq sigma Y nbsp unbekanntHypothesen H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y leq omega 0 nbsp H 1 m X m Y gt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y gt omega 0 nbsp rechtsseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y omega 0 nbsp H 1 m X m Y w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y neq omega 0 nbsp zweiseitig H 0 m X m Y w 0 displaystyle H 0 mu X mu Y geq omega 0 nbsp H 1 m X m Y lt w 0 displaystyle H 1 mu X mu Y lt omega 0 nbsp linksseitig Teststatistik T X Y w 0 S t n displaystyle T frac overline X overline Y omega 0 S approx t nu nbsp Im Fall m X m Y w 0 displaystyle mu X mu Y omega 0 nbsp gilt T t n displaystyle T approx t nu nbsp Prufwert t x y w 0 s displaystyle t frac overline x overline y omega 0 s nbsp mit x 1 n i 1 n x i displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp y 1 m i 1 m y i displaystyle overline y frac 1 m sum i 1 m y i nbsp s x 2 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle s x 2 frac 1 n 1 sum i 1 n x i overline x 2 nbsp s y 2 1 m 1 j 1 m y j y 2 displaystyle s y 2 frac 1 m 1 sum j 1 m y j overline y 2 nbsp s s x 2 n s y 2 m displaystyle s sqrt frac s x 2 n frac s y 2 m nbsp undn s x 2 n s y 2 m 2 s x 2 n 2 n 1 s y 2 m 2 m 1 displaystyle nu frac left frac s x 2 n frac s y 2 m right 2 frac left frac s x 2 n right 2 n 1 frac left frac s y 2 m right 2 m 1 nbsp Ablehnungsbereich H 0 displaystyle H 0 nbsp t t gt t 1 a n displaystyle t t gt t 1 alpha nu nbsp t t lt t 1 a 2 n displaystyle t t lt t 1 alpha 2 nu nbsp oder t t gt t 1 a 2 n displaystyle t t gt t 1 alpha 2 nu nbsp t t lt t 1 a n displaystyle t t lt t 1 alpha nu nbsp Alternative Tests BearbeitenDer t Test wird wie oben ausgefuhrt zum Testen von Hypothesen uber Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet Permutationstest beruht nicht auf der Annahme dass jede der beiden Gruppen fur sich normalverteilt sind Die Annahme dass jede der beiden Gruppen fur sich normalverteilt ist kann mit dem Shapiro Wilk Test oder dem Kolmogorow Smirnow Test gepruft werden Liegt keine Normalverteilung vor konnen als Ersatz fur den t Test nichtparametrische Tests angewendet werden etwa ein Wilcoxon Mann Whitney Test auch Wilcoxon Rangsummentest fur unabhangige Stichproben oder ein Wilcoxon Vorzeichen Rang Test fur gepaarte Stichproben Ein einfach durchfuhrbares alternatives Verfahren zur schnellen Abschatzung ist der Schnelltest nach Tukey Sollen mehr als zwei normalverteilte Stichproben auf Gleichheit der Erwartungswerte getestet werden kann eine Varianzanalyse angewendet werden Bei Mittelwertvergleichen normalverteilter Stichproben mit bekannter Standardabweichung konnen Gauss Tests verwendet werden Weblinks BearbeitenRechner fur alle Varianten des t Tests Berechnet t Wert P Wert und kritische Werte Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Bortz Statistik fur Human und Sozialwissenschaftler 6 Auflage Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 21271 X S 142 a b B L Welch The significance of the difference between two means when the population variances are unequal In Biometrika Band 29 1938 S 350 362 Franklin J Satterthwaite Synthesis of Variance In Psychometrika Band 6 Heft 5 1941 S 309 316 B L Welch The generalization of Student s problem when several different population variances are involved In Biometrika Band 34 Nr 1 2 1947 ISSN 0006 3444 S 28 35 doi 10 1093 biomet 34 1 2 28 oup com abgerufen am 7 November 2021 R R Wilcox Statistics for the Social Sciences Academic Press Inc 1996 ISBN 0 12 751540 2 D G Bonnet R M Price Statistical inference for a linear function of medians Confidence intervals hypothesis testing and sample size requirements In Psychological Methods Band 7 Nr 3 2002 doi 10 1037 1082 989X 7 3 370 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zweistichproben t Test amp oldid 232506786