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Zentraler Grenzwertsatz Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Begriffsklärung aufgefüh

Zentraler Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz (von Lindeberg-Lévy) (auch CLT von englisch central limit theorem), genauer zentraler Grenzverteilungssatz, ist ein bedeutendes Resultat der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Annäherung von symmetrischen (oben) und schiefen (unten) standardisierten Binomialverteilungen mit den Parametern und (rot) an die Standardnormalverteilung (grün)

Der zentrale Grenzwertsatz liefert die Begründung für das Phänomen, dass der Stichprobenmittelwert als Zufallsvariable (unter gewissen Bedingungen) näherungsweise normalverteilt ist. Insbesondere wegen der additiven Überlagerung vieler unabhängiger Zufallseinflüsse, wenn die Varianz dieser Zufallseinflüsse endlich ist.

Für andere zentrale Grenzwertsätze, siehe zentrale Grenzwertsätze, welche unter anderem beschreiben, dass neben der Normalverteilung auch andere α-stabile Verteilungen als Grenzverteilungen auftreten, falls Verteilungen berücksichtigt werden, die keine endliche Varianz besitzen.

Der Satz ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg (1876–1932) und dem französischen Statistiker Paul Lévy (1886–1971). Die Bezeichnung geht auf G. Pólyas Arbeit Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem von 1920 zurück.

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, für die eine identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist. Stattdessen wird dann eine andere Voraussetzung gefordert, die sicherstellt, dass keine der Variablen zu großen Einfluss auf das Ergebnis erhält. Beispiele sind die Lindeberg-Bedingung und die Ljapunow-Bedingung. Darüber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar „schwache“ Abhängigkeit der Zufallsvariablen. Die Klasse der Verallgemeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes wird zentrale Grenzwertsätze genannt.

Zentraler Grenzwertsatz bei identischer Verteilung Bearbeiten

Sei eine Folge von Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen und unabhängig sind (unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen). Sei weiter angenommen, dass sowohl der Erwartungswert als auch die Standardabweichung existieren und endlich sind.

Betrachten wir nun die -te Teilsumme dieser Zufallsvariablen .

Der Erwartungswert von ist und die Varianz ist (siehe Gleichung von Bienaymé).

Bildet man daraus die standardisierte Zufallsvariable

dann besagt der Zentrale Grenzwertsatz, dass die Verteilungsfunktion von für punktweise gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung konvergiert. Dies entspricht genau dem Begriff der Konvergenz in Verteilung in der Stochastik. Ist die Verteilungsfunktion von , dann bedeutet dies, dass für jedes reelle

In etwas anderer Schreibweise erhält man

wobei

der Mittelwert der ersten Summanden der Zufallsvariablen ist.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Der Zentrale Grenzwertsatz kann aber auch elementar, das heißt ohne das tiefliegende Hilfsmittel der charakteristischen Funktion, bewiesen werden. Dazu werden Erwartungswerte der Form untersucht, die einerseits im Fall einer Indikatorfunktion eines abgeschlossenen Intervalls der Wahrscheinlichkeit entsprechen und andererseits in Fällen einer genügend glatten Funktion gut approximiert werden können. Dieses Verfahren eines elementaren Beweises stammt von Jarl Waldemar Lindeberg.
  • Endliche Stichprobenumfänge lassen die Frage nach der Konvergenzgüte aufsteigen. Unter bestimmten Bedingungen liefert der Satz von Berry-Esseen eine Antwort: Existiert das dritte zentrierte Moment und ist es endlich, dann ist die Konvergenz zur Normalverteilung gleichmäßig und die Konvergenzgeschwindigkeit wenigstens von der Ordnung .
  • Da für stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen die Summe wieder normalverteilt ist (da die Normalverteilung eine alpha-stabile Verteilung ist), gilt für diese der zentrale Grenzwertsatz im Endlichen, genauer ist für jedes bereits standardnormalverteilt.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes ist der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz. Er liefert Aussagen über die Konvergenz der Verteilungen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Standardnormalverteilung.

Eine weitere Verallgemeinerung ist der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller. Er lässt auch gewisse Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen zu, indem er sie zu Gruppen zusammenfasst und die Unabhängigkeit nur innerhalb dieser Gruppen fordert. Die Folge dieser Gruppen wird ein Schema von Zufallsvariablen genannt. Die Lindeberg-Bedingung und die Ljapunow-Bedingung lassen sich auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren und liefern damit Kriterien für die Konvergenz bei Verwendung von Schemata.

Beweis-Techniken für zentrale Grenzwertsätze Bearbeiten

Um zentrale Grenzwertsätze zu beweisen gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel die Methode von Stein oder Techniken aus der Fourier-Analysis.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Fischer, A History of the Central Limit Theorem. From Classical to Modern Probability Theory, New York 2011, ISBN 978-0-387-87856-0, doi:10.1007/978-0-387-87857-7.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Zentraler Grenzwertsatz. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.
    George Pólya: Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem, Mathematische Zeitschrift, 8, 1920, S. 171–181 (online)
  3. Jarl Waldemar Lindeberg: Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift, Band 15, 1922, S. 211–225 (Online-Version).
    Siehe auch Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg+Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3-8348-1753-2, doi:10.1007/978-3-8348-8264-6, S. 139–146.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Zentraler Grenzwertsatz Begriffsklarung aufgefuhrt Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Levy auch CLT von englisch central limit theorem genauer zentraler Grenzverteilungssatz ist ein bedeutendes Resultat der Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Annaherung von symmetrischen oben und schiefen unten standardisierten Binomialverteilungen mit den Parametern n displaystyle n und p displaystyle p rot an die Standardnormalverteilung grun Der zentrale Grenzwertsatz liefert die Begrundung fur das Phanomen dass der Stichprobenmittelwert als Zufallsvariable unter gewissen Bedingungen naherungsweise normalverteilt ist Insbesondere wegen der additiven Uberlagerung vieler unabhangiger Zufallseinflusse wenn die Varianz dieser Zufallseinflusse endlich ist 1 Fur andere zentrale Grenzwertsatze siehe zentrale Grenzwertsatze welche unter anderem beschreiben dass neben der Normalverteilung auch andere a stabile Verteilungen als Grenzverteilungen auftreten falls Verteilungen berucksichtigt werden die keine endliche Varianz besitzen Der Satz ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg 1876 1932 und dem franzosischen Statistiker Paul Levy 1886 1971 Die Bezeichnung geht auf G Polyas Arbeit Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem von 1920 zuruck 2 Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen fur die eine identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist Stattdessen wird dann eine andere Voraussetzung gefordert die sicherstellt dass keine der Variablen zu grossen Einfluss auf das Ergebnis erhalt Beispiele sind die Lindeberg Bedingung und die Ljapunow Bedingung Daruber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar schwache Abhangigkeit der Zufallsvariablen Die Klasse der Verallgemeinerungen des zentralen Grenzwertsatzes wird zentrale Grenzwertsatze genannt Inhaltsverzeichnis 1 Zentraler Grenzwertsatz bei identischer Verteilung 2 Bemerkungen 3 Verallgemeinerungen 4 Beweis Techniken fur zentrale Grenzwertsatze 5 Literatur 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseZentraler Grenzwertsatz bei identischer Verteilung BearbeitenSei X 1 X 2 X 3 displaystyle X 1 X 2 X 3 dots nbsp eine Folge von Zufallsvariablen die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen und unabhangig sind unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen Sei weiter angenommen dass sowohl der Erwartungswert m displaystyle mu nbsp als auch die Standardabweichung s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp existieren und endlich sind Betrachten wir nun die n displaystyle n nbsp te Teilsumme dieser Zufallsvariablen S n X 1 X 2 X n displaystyle S n X 1 X 2 cdots X n nbsp Der Erwartungswert von S n displaystyle S n nbsp ist n m displaystyle n mu nbsp und die Varianz ist n s 2 displaystyle n sigma 2 nbsp siehe Gleichung von Bienayme Bildet man daraus die standardisierte Zufallsvariable Z n S n n m s n 1 n S n m s n displaystyle Z n frac S n n mu sigma sqrt n frac frac 1 n S n mu frac sigma sqrt n nbsp dann besagt der Zentrale Grenzwertsatz dass die Verteilungsfunktion von Z n displaystyle Z n nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp punktweise gegen die Verteilungsfunktion F displaystyle Phi nbsp der Standardnormalverteilung N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 nbsp konvergiert Dies entspricht genau dem Begriff der Konvergenz in Verteilung in der Stochastik Ist F displaystyle Phi nbsp die Verteilungsfunktion von N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 nbsp dann bedeutet dies dass fur jedes reelle z displaystyle z nbsp lim n P Z n z F z displaystyle lim n to infty P Z n leq z Phi z nbsp In etwas anderer Schreibweise erhalt man lim n P X n m s n z F z displaystyle lim n rightarrow infty P left frac overline X n mu sigma sqrt n leq z right Phi z nbsp wobei X n S n n X 1 X n n displaystyle overline X n frac S n n frac X 1 cdots X n n nbsp der Mittelwert der ersten n displaystyle n nbsp Summanden der Zufallsvariablen ist Bemerkungen BearbeitenDer Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes erfolgt meist auf Basis allgemeiner Satze uber die Eigenschaften von charakteristischen Funktionen Auf deren Grundlage reicht es die Momente beziehungsweise Kumulanten der Folgenglieder Z n displaystyle Z n nbsp und so die Koeffizienten der Taylorreihe der charakteristischen Funktion zu bestimmen Letzteres ist aber einfach moglich siehe Artikel Kumulante Abschnitt Zentraler Grenzwertsatz Der Zentrale Grenzwertsatz kann aber auch elementar das heisst ohne das tiefliegende Hilfsmittel der charakteristischen Funktion bewiesen werden Dazu werden Erwartungswerte der Form E f Z n displaystyle operatorname E f Z n nbsp untersucht die einerseits im Fall einer Indikatorfunktion f 1 a b displaystyle f mathbf 1 a b nbsp eines abgeschlossenen Intervalls a b displaystyle a b nbsp der Wahrscheinlichkeit P a Z n b displaystyle P a leq Z n leq b nbsp entsprechen und andererseits in Fallen einer genugend glatten Funktion f displaystyle f nbsp gut approximiert werden konnen Dieses Verfahren eines elementaren Beweises stammt von Jarl Waldemar Lindeberg 3 Endliche Stichprobenumfange lassen die Frage nach der Konvergenzgute aufsteigen Unter bestimmten Bedingungen liefert der Satz von Berry Esseen eine Antwort Existiert das dritte zentrierte Moment E X 1 m 3 displaystyle operatorname E X 1 mu 3 nbsp und ist es endlich dann ist die Konvergenz zur Normalverteilung gleichmassig und die Konvergenzgeschwindigkeit wenigstens von der Ordnung 1 n displaystyle 1 sqrt n nbsp Da fur stochastisch unabhangige normalverteilte Zufallsvariablen die Summe wieder normalverteilt ist da die Normalverteilung eine alpha stabile Verteilung ist gilt fur diese der zentrale Grenzwertsatz im Endlichen genauer ist Z n displaystyle Z n nbsp fur jedes n displaystyle n nbsp bereits standardnormalverteilt Fur stochastisch unabhangige bernoulli verteilte Zufallsvariablen ist die Summe binomialverteilt und man erhalt als Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes den Satz von Moivre Laplace Verallgemeinerungen Bearbeiten Hauptartikel Zentrale Grenzwertsatze Eine Verallgemeinerung des Zentralen Grenzwertsatzes ist der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz Er liefert Aussagen uber die Konvergenz der Verteilungen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Standardnormalverteilung Eine weitere Verallgemeinerung ist der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Feller Er lasst auch gewisse Abhangigkeiten zwischen den Zufallsvariablen zu indem er sie zu Gruppen zusammenfasst und die Unabhangigkeit nur innerhalb dieser Gruppen fordert Die Folge dieser Gruppen wird ein Schema von Zufallsvariablen genannt Die Lindeberg Bedingung und die Ljapunow Bedingung lassen sich auch fur Schemata von Zufallsvariablen formulieren und liefern damit Kriterien fur die Konvergenz bei Verwendung von Schemata Beweis Techniken fur zentrale Grenzwertsatze BearbeitenUm zentrale Grenzwertsatze zu beweisen gibt es verschiedene Moglichkeiten zum Beispiel die Methode von Stein oder Techniken aus der Fourier Analysis Literatur BearbeitenHans Fischer A History of the Central Limit Theorem From Classical to Modern Probability Theory New York 2011 ISBN 978 0 387 87856 0 doi 10 1007 978 0 387 87857 7 Siehe auch BearbeitenZentrale Grenzwertsatze StandardnormalverteilungstabelleWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Central Limit Theorem In MathWorld englisch Yu V Prokhorov Central limit theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Beispiel zur Verdeutlichung des Zentralen Grenzwertsatzes Interaktives Experiment zum Zentralen GrenzwertsatzEinzelnachweise Bearbeiten a b Zentraler Grenzwertsatz In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Jeff Miller Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics George Polya Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem Mathematische Zeitschrift 8 1920 S 171 181 online Jarl Waldemar Lindeberg Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Mathematische Zeitschrift Band 15 1922 S 211 225 Online Version Siehe auch Jorg Bewersdorff Statistik wie und warum sie funktioniert Ein mathematisches Lesebuch Vieweg Teubner Verlag 2011 ISBN 978 3 8348 1753 2 doi 10 1007 978 3 8348 8264 6 S 139 146 Normdaten Sachbegriff GND 4067618 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentraler Grenzwertsatz amp oldid 238284439