Die punktweise Konvergenz ist in der Analysis ein Konvergenzbegriff fur Funktionenfolgen Eine Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N konvergiert punktweise gegen eine Funktion f displaystyle f wenn fur alle Stellen Punkte x displaystyle x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich die Folge f n x n N displaystyle f n x n in mathbb N gegen f x displaystyle f x konvergiert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Abgrenzung 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Funktionenfolge f n D R displaystyle f n colon D to mathbb R nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp Die Funktionenfolge heisst punktweise konvergent gegen eine Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp wenn fur alle x D displaystyle x in D nbsp gilt lim n f n x f x displaystyle lim n rightarrow infty f n x f x nbsp Man schreibt dann lim n f n f punktweise displaystyle lim n to infty f n f text punktweise nbsp oder f n pktw f n displaystyle f n xrightarrow text pktw f n to infty nbsp Formal konvergiert f n displaystyle f n nbsp also genau dann punktweise gegen f displaystyle f nbsp wenn x D e gt 0 N N n N f n x f x lt e displaystyle forall x in D forall varepsilon gt 0 exists N in mathbb N forall n geq N colon left f n x f x right lt varepsilon nbsp das heisst es muss fur jedes x displaystyle x nbsp und fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine naturliche Zahl N displaystyle N nbsp geben so dass fur alle n N displaystyle n geq N nbsp gilt f n x f x lt e displaystyle left f n x f x right lt varepsilon nbsp Beispiel BearbeitenZum Beispiel konvergiert die Folge f n displaystyle f n nbsp mit f n x x n displaystyle f n colon x mapsto x n nbsp im Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp punktweise gegen die Funktion f 0 1 R displaystyle f colon 0 1 to mathbb R nbsp mit f x 0 0 x lt 1 1 x 1 displaystyle f x begin cases 0 amp 0 leq x lt 1 1 amp x 1 end cases nbsp denn offenbar gilt lim n x n 0 f u r a l l e x 0 1 und lim n 1 n 1 displaystyle lim n to infty x n 0 mathrm f ddot u r alle x in 0 1 text und lim n to infty 1 n 1 nbsp Abgrenzung BearbeitenEs ist allerdings zu beachten dass punktweise Konvergenz nicht gleichbedeutend mit gleichmassiger Konvergenz ist da z B das oben genannte Beispiel zwar punktweise keineswegs aber gleichmassig konvergiert so ist jedes Glied der Folge uberall stetig differenzierbar die Grenzfunktion allerdings nicht einmal stetig Gleichmassige Konvergenz ist eine wesentlich starkere Aussage Eine Abschwachung der punktweisen Konvergenz ist die punktweise Konvergenz m fast uberall Fur punktweise Konvergenz mussen die Werte der Funktionen f n displaystyle f n nbsp nicht unbedingt reelle Zahlen sein sie konnen Elemente irgendeines topologischen Raumes sein Siehe auch BearbeitenGleichmassige KonvergenzLiteratur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Punktweise Konvergenz amp oldid 209171076
