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In der Analysis beschreibt gleichmassige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N mit einer vom Funktionsargument unabhangigen Geschwindigkeit gegen eine Grenzfunktion f displaystyle f zu konvergieren Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmassigen Konvergenz wichtige Eigenschaften der Funktionen f n displaystyle f n z B Stetigkeit und Riemann Integrierbarkeit auf die Grenzfunktion f displaystyle f zu ubertragen 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Definition 3 Beispiel 4 Vergleich zwischen gleichmassiger und punktweiser Konvergenz 5 Bezeichnung 6 Gleichmassige Konvergenz in einem Punkt 7 Folgerungen 7 1 Stetigkeit 7 2 Differenzierbarkeit 7 3 Integrierbarkeit 7 4 Satz von Dini 8 Verallgemeinerungen 8 1 Gleichmassige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen 8 1 1 Definition 8 1 2 Chordal gleichmassige Konvergenz 8 1 3 Eigenschaften 8 2 Gleichmassige Konvergenz m fast uberall 8 3 Fast gleichmassige Konvergenz 8 4 Gleichmassige Konvergenz in metrischen Raumen 8 5 Gleichmassige Konvergenz in uniformen Raumen 9 Siehe auch 10 Literatur 11 Weblinks 12 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDer Begriff wird ublicherweise Karl Weierstrass in den 1840er Jahren zugeschrieben zuerst in einer Schrift 1841 die aber erst 1894 publiziert wurde der ihn wiederum schon bei seinem Lehrer Christoph Gudermann 1838 angedeutet fand und fehlte noch im ursprunglichen Aufbau der Analysis nach Augustin Louis Cauchy Das fuhrte zu einigen Fehlern in Cauchys Cours d Analyse von 1821 insbesondere beim sogenannten Cauchyschen Summensatz Cauchy behauptete bewiesen zu haben dass eine konvergente Reihe stetiger Funktionen stetig ist wozu aber schon bald darauf 1826 Niels Henrik Abel ein Gegenbeispiel gab Dass der Satz gilt wenn punktweise Konvergenz durch gleichmassige Konvergenz ersetzt wird nach heutigem Verstandnis bewiesen unabhangig Philipp Ludwig Seidel unendlich langsame Konvergenz 3 und George Gabriel Stokes 1847 4 infinitely slow convergence Punkte mit non uniform convergence Seidel knupfte dabei direkt an Cauchy und an Peter Gustav Lejeune Dirichlet an der Beispiele von Fourierreihen gegeben hatte die gegen unstetige Funktionen konvergieren Stokes dagegen bezog sich nicht auf Cauchy sondern auf einen Aufsatz uber Potenzreihen von John Radford Young von 1846 Nach Ivor Grattan Guinness kam moglicherweise der Schwede Emanuel G Bjorling 1846 47 zu den beiden als Urheber des Konzepts hinzu Es gab auch eine Diskussion daruber Pierre Dugac 2003 ob Cauchy den Begriff und den verwandten der gleichmassigen Stetigkeit schon wenig spater 1823 in einem weiteren Lehrbuch kannte und implizit benutzte 5 Eine Gruppe von Mathematikhistorikern und Mathematikern wie Detlef Laugwitz und Abraham Robinson versuchte Cauchys Beweis spater zu retten indem die Idee verfolgt wurde Cauchy der selbst unendlich kleine Grossen explizit in seinem Lehrbuch einfuhrte hatte eine Form von Nichtstandardanalysis benutzt was sich aber bei den meisten Cauchy Forschern nicht durchsetzte und als Beispiel einer aus moderner Sichtweise aufgezwungenen Interpretation der Mathematikgeschichte gewertet wurde Klaus Viertel kam in seinem Buch 6 zu einem differenzierteren Bild einer erst allmahlichen Auspragung der Begriffe von Stetigkeit und Konvergenz im heutigen Sinn selbst im Rahmen der Weierstrass Schule wo der Begriff ebenfalls im Lauf der Zeit einem Wandel unterworfen war Anfang des 20 Jahrhunderts gab es bereits verschiedene Weiterentwicklungen des Begriffs Quasi Konvergenz bei Godfrey Harold Hardy 1918 William Henry Young 1903 1907 Definition BearbeitenGegeben seien eine Funktionenfolge f n D f R R n N displaystyle left f n colon D f subseteq mathbb R to mathbb R right n in mathbb N nbsp die jeder naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp eine reellwertige Funktion zuordnet und eine Funktion f displaystyle f nbsp Alle f n displaystyle f n nbsp sowie f displaystyle f nbsp seien auf derselben Definitionsmenge D f displaystyle D f nbsp definiert Die Folge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp konvergiert genau dann gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp wenn lim n sup x D f f n x f x 0 displaystyle lim n rightarrow infty sup x in D f left f n x f x right 0 nbsp Man betrachtet hier die absolute Differenz von f n x displaystyle f n x nbsp und f x displaystyle f x nbsp fur alle x displaystyle x nbsp aus dem Definitionsbereich Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschrankt oder hat eine kleinste obere Schranke ein Supremum Gleichmassige Konvergenz von f n displaystyle f n nbsp gegen f displaystyle f nbsp bedeutet dass dieses Supremum fur fast alle n displaystyle n nbsp existiert und gegen Null geht wenn n displaystyle n nbsp gegen unendlich strebt Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren Alle Bezeichnungen seien wie oben Dann konvergiert f n displaystyle f n nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp genau dann wenn fur alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp existiert so dass fur alle n N displaystyle n geq N nbsp und fur alle x D f displaystyle x in D f nbsp gilt f n x f x lt e displaystyle left f n x f x right lt varepsilon nbsp Beispiel BearbeitenEs sei 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp eine reelle Zahl Die Funktionenfolge f n 0 q R x x n n N displaystyle left f n colon left 0 q right to mathbb R x mapsto x n right n in mathbb N nbsp konvergiert fur n displaystyle n to infty nbsp gleichmassig gegen die Nullfunktion f 0 q R x 0 displaystyle f colon left 0 q right to mathbb R x mapsto 0 nbsp Dafur ist zu zeigen dass lim n sup x 0 q f n x 0 displaystyle lim n to infty sup x in 0 q f n x 0 nbsp Jedes der f n displaystyle f n nbsp ist auf 0 q displaystyle 0 q nbsp nicht negativ und monoton steigend also sup x 0 q f n x q n displaystyle textstyle sup x in 0 q f n x q n nbsp und wegen q lt 1 displaystyle q lt 1 nbsp geht dies gegen 0 displaystyle 0 nbsp Die Angabe des Konvergenzbereiches ist hierbei unerlasslich Die Folge f n x x n displaystyle f n x x n nbsp konvergiert auf dem rechtsoffenen Einheitsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp zwar immer noch punktweise gegen die Nullfunktion jedoch nicht mehr gleichmassig Es gilt nun sup x 0 1 f n x 1 displaystyle textstyle sup x in 0 1 f n x 1 nbsp insbesondere ist also lim n sup x 0 1 f n x 1 0 displaystyle lim n to infty sup x in 0 1 f n x 1 neq 0 nbsp Vergleich zwischen gleichmassiger und punktweiser Konvergenz BearbeitenDie Wahl von N displaystyle N nbsp bei gleichmassiger Konvergenz hangt nur von e displaystyle varepsilon nbsp ab Im Gegensatz dazu hangt bei punktweiser Konvergenz N displaystyle N nbsp sowohl von e displaystyle varepsilon nbsp als auch von x displaystyle x nbsp ab Formuliert man beide Konvergenzbegriffe mithilfe von Quantoren so sieht man dass sie sich in der Reihenfolge der Einfuhrung von x displaystyle x nbsp und N displaystyle N nbsp und damit der Abhangigkeit der zwei Variablen voneinander unterscheiden siehe das Unterstrichene punktweise Konvergenz e gt 0 x D f N N n N f n x f x lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 underline forall x in D f exists N in mathbb N forall n geq N quad left f n x f x right lt varepsilon nbsp undgleichmassige Konvergenz e gt 0 N N x D f n N f n x f x lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 underline exists N in mathbb N forall x in D f forall n geq N quad left f n x f x right lt varepsilon nbsp d h fur punktweise Konvergenz muss es fur jedes x displaystyle x nbsp und fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine naturliche Zahl N displaystyle N nbsp geben so dass fur alle n N displaystyle n geq N nbsp gilt f n x f x lt e displaystyle left f n x f x right lt varepsilon nbsp Aus der gleichmassigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz aber nicht umgekehrt Beispielsweise konvergiert die Funktionenfolge F f n n N displaystyle F f n n in mathbb N nbsp definiert durch f n x 0 x n 1 x gt n displaystyle f n x begin cases 0 amp x leq n 1 amp x gt n end cases nbsp punktweise gegen die Nullfunktion f 0 displaystyle f equiv 0 nbsp fur jedes x R displaystyle x in mathbb R nbsp ist aber keine gleichmassig konvergente Folge Bezeichnung BearbeitenFur die gleichmassige Konvergenz einer Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp die gegen f displaystyle f nbsp strebt wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendet 7 8 f n n f displaystyle f n underset n Rightarrow f nbsp oder f n n f displaystyle f n underset n rightrightarrows f nbsp oder lim n f n f displaystyle lim n to infty f n f nbsp Gleichmassige Konvergenz in einem Punkt BearbeitenEine Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp heisst in dem Punkt 3 displaystyle xi nbsp gegen f displaystyle f nbsp gleichmassig konvergent wenn e gt 0 N N d gt 0 x D f y y 3 lt d n N f n x f x lt e displaystyle forall varepsilon gt 0 exists N in mathbb N exists delta gt 0 forall x in D f cap y mid y xi lt delta forall n geq N left f n x f x right lt varepsilon nbsp Wenn statt fur alle n displaystyle n nbsp die Gultigkeit der Ungleichung f n x f x lt e displaystyle f n x f x lt varepsilon nbsp fur mindestens ein n displaystyle n nbsp verlangt wird dann heisst die Konvergenz uniform Gleichmassig konvergente Folgen sind auch uniform konvergent Die uniforme Konvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz 9 Sei G displaystyle mathfrak G nbsp die Klasse der gleichmassig konvergenten Funktionenfolgen J displaystyle mathfrak J nbsp die Klasse der in jedem Punkt gleichmassig konvergenten Funktionenfolgen und P displaystyle mathfrak P nbsp die Klasse der in jedem Punkt punktweise konvergenten Funktionenfolgen Damit gilt G J P displaystyle mathfrak G varsubsetneq mathfrak J varsubsetneq mathfrak P nbsp Die oben erwahnte Funktionenfolge F displaystyle F nbsp liegt in J G displaystyle mathfrak J setminus mathfrak G nbsp ist also in jedem Punkt gleichmassig konvergent aber nicht global Ein Beispiel fur eine Funktionenfolge aus P J displaystyle mathfrak P setminus mathfrak J nbsp ist h n n N displaystyle h n n in mathbb N nbsp definiert durch h n x 0 x A n R Q y Q y p q p Z q N 0 lt q n 1 x A n displaystyle h n x begin cases 0 amp x in textstyle A n mathbb R setminus mathbb Q cup y in mathbb Q mid y tfrac p q p in mathbb Z q in mathbb N 0 lt q leq n 1 amp x notin A n end cases nbsp Die Funktionenfolge h n n N displaystyle h n n in mathbb N nbsp konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion Denn jede rationale Zahl y displaystyle y nbsp liegt in allen A n displaystyle A n nbsp deren n displaystyle n nbsp gleich oder grosser ist als der Nenner in der vollstandig gekurzten Darstellung des Bruches y displaystyle y nbsp Andererseits liegen im Schnitt einer A n displaystyle A n nbsp und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen Daher gibt es zu jedem n displaystyle n nbsp und jeder Zahl z A n displaystyle z in A n nbsp stets unendlich viele rationale Zahlen deren Abstand zu z displaystyle z nbsp beliebig klein ist und die nicht in A n displaystyle A n nbsp liegen Also konvergiert die Folge h n n N displaystyle textstyle h n n in mathbb N nbsp in keinem Punkt gleichmassig Folgerungen BearbeitenWie schon erwahnt ermoglicht der Begriff der gleichmassigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen uber die Grenzfunktion was bei punktweiser Konvergenz nicht moglich ist Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben I displaystyle I nbsp sei ein reelles Intervall Es ergeben sich folgende Satze Stetigkeit Bearbeiten Es sei F f n n N displaystyle F f n n in mathbb N nbsp eine Folge stetiger Funktionen Wenn F displaystyle F nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergiert dann ist f displaystyle f nbsp stetig Anstatt gleichmassige Konvergenz zu fordern ist es auch ausreichend von einfach gleichmassiger Konvergenz auszugehen Sei F f n n N displaystyle F f n n in mathbb N nbsp eine gegen f displaystyle f nbsp punktweise konvergente Funktionenfolge Alle f n displaystyle f n nbsp seien noch dazu in 3 displaystyle xi nbsp stetig f displaystyle f nbsp ist in 3 displaystyle xi nbsp stetig genau dann wenn F displaystyle F nbsp in dem Punkt 3 displaystyle xi nbsp uniform konvergent ist 9 Die Menge der Punkte gleichmassiger Konvergenz sowie die Menge der Punkte uniformer Konvergenz einer uberall punktweise konvergenten Funktionenfolge sind jeweils Gd Mengen 9 Die gleichmassig konvergenten Funktionenfolgen mit kompaktem Definitionsbereich sind alle gleichgradig stetig 7 Sei I displaystyle I nbsp ein kompaktes Intervall und F f n n N displaystyle F f n n in mathbb N nbsp eine auf I displaystyle I nbsp gleichgradig stetige Folge Wenn F displaystyle F nbsp punktweise gegen f displaystyle f nbsp konvergiert dann konvergiert sie auch gleichmassig Sei F f n n N displaystyle F f n n in mathbb N nbsp eine Funktionenfolge mit kompaktem Definitionsbereich D displaystyle D nbsp F displaystyle F nbsp besitzt genau dann eine gleichmassig konvergente Teilfolge wenn F displaystyle F nbsp gleichgradig stetig ist und in jedem Punkt von D displaystyle D nbsp beschrankt ist Satz von Arzela Ascoli 7 Differenzierbarkeit Bearbeiten Fur die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion ergibt sich kein derart starkes Resultat wie fur die Stetigkeit Es seien die f n displaystyle f n nbsp differenzierbar auf I displaystyle I nbsp und gleichmassig konvergent gegen f displaystyle f nbsp Im Allgemeinen braucht die Grenzfunktion nicht einmal differenzierbar zu sein und wenn sie es ist muss ihre Ableitung keineswegs gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Folge sein So konvergiert z B die durch f n x sin n x n displaystyle textstyle f n x frac sin nx n nbsp definierte Funktionenfolge gleichmassig gegen 0 die Folge der Ableitungen f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp aber nicht Allgemein kann man sagen Es seien alle f n displaystyle f n nbsp differenzierbar Wenn f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp in einem Punkt konvergiert und die Folge der Ableitungen f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp gleichmassig gegen g displaystyle g nbsp konvergiert dann konvergiert f n displaystyle f n nbsp punktweise sogar lokal gleichmassig gegen ein f displaystyle f nbsp und f displaystyle f nbsp ist differenzierbar mit der Ableitung g displaystyle g nbsp Integrierbarkeit Bearbeiten Fur das Riemann Integral auf Intervallen kann bei gleichmassiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden Es seien alle f n displaystyle f n nbsp Riemann integrierbar Wenn f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergiert dann ist f displaystyle f nbsp Riemann integrierbar und das Integral von f displaystyle f nbsp ist der Grenzwert der Integrale der f n displaystyle f n nbsp Ein Beispiel fur eine punktweise jedoch nicht gleichmassig konvergente Funktionenfolge bei der das Integral nicht mit dem Grenzwert vertauscht werden kann liefert diese Funktionenfolge Fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist die Funktion f n 0 2 R displaystyle f n colon 0 2 to mathbb R nbsp definiert durch f n x n 2 x 0 x 1 n 2 n n 2 x 1 n x 2 n 0 x 2 n displaystyle f n x begin cases n 2 x amp 0 leq x leq 1 n 2n n 2 x amp 1 n leq x leq 2 n 0 amp x geq 2 n end cases nbsp stetig und daher Riemann integrierbar Fur das Integral gilt 0 2 f n x d x 1 displaystyle int 0 2 f n x mathrm d x 1 nbsp Die Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion f x 0 displaystyle f x 0 nbsp fur alle x 0 2 displaystyle x in 0 2 nbsp Somit ist 1 lim n 0 2 f n x d x 0 2 lim n f n x d x 0 displaystyle 1 lim n to infty int 0 2 f n x mathrm d x neq int 0 2 lim n to infty f n x mathrm d x 0 nbsp Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden durfen Satz von Dini Bearbeiten Hauptartikel Satz von Dini Wenn I displaystyle I nbsp ein kompaktes Intervall und f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp eine monotone Folge stetiger Funktionen ist d h f n 1 x displaystyle f n 1 x nbsp f n x displaystyle f n x nbsp oder f n 1 x displaystyle f n 1 x nbsp f n x displaystyle f n x nbsp fur jedes n displaystyle n nbsp und beliebiges x displaystyle x nbsp die punktweise gegen eine ebenfalls stetige Funktion f displaystyle f nbsp konvergiert dann konvergiert f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp auch gleichmassig Verallgemeinerungen BearbeitenGleichmassige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen Bearbeiten Definition Bearbeiten Die gleichmassige Konvergenz fur komplexe Funktionenfolgen wird genau so wie im Falle von reellen Funktionenfolgen definiert Eine Funktionenfolge F f n D f C C n N displaystyle F f n colon D f subseteq mathbb C to mathbb C n in mathbb N nbsp heisst gegen f D f C C displaystyle f colon D f subseteq mathbb C to mathbb C nbsp gleichmassig konvergent wenn e R N N z D f n N f n z f z lt e displaystyle forall varepsilon in mathbb R exists N in mathbb N forall z in D f forall n geq N left f n z f z right lt varepsilon nbsp Chordal gleichmassige Konvergenz Bearbeiten F displaystyle F nbsp heisst chordal gleichmassig konvergent wenn e R N N z D f n N x f n z f z lt e displaystyle forall varepsilon in mathbb R exists N in mathbb N forall z in D f forall n geq N chi f n z f z lt varepsilon nbsp wobei x w z w z 1 w 2 1 z 2 displaystyle chi w z frac w z sqrt 1 w 2 1 z 2 nbsp die Bezeichnung fur chordalen Abstand ist Sei K D displaystyle mathfrak K D nbsp die Klasse der auf D displaystyle D nbsp gleichmassig konvergenten Funktionenfolgen H D displaystyle mathfrak H D nbsp die Klasse der auf D displaystyle D nbsp chordal gleichmassig konvergenten Funktionenfolgen und B D displaystyle mathfrak B D nbsp die Klasse der auf D displaystyle D nbsp gegen eine in D displaystyle D nbsp beschrankte Funktion punktweise konvergenten Funktionenfolgen Es gilt H D B D K D H D displaystyle mathfrak H D cap mathfrak B D subset mathfrak K D varsubsetneq mathfrak H D nbsp Eigenschaften Bearbeiten Ahnlich wie bei der gleichmassigen Konvergenz reeller Funktionenfolgen konnen auch im Komplexen der gleichmassige Grenzwert mit dem Differential oder dem Kurvenintegral vertauscht werden Gleichmassige Konvergenz m fast uberall Bearbeiten Hauptartikel Gleichmassige Konvergenz m fast uberall Die gleichmassige Konvergenz m fast uberall ist eine masstheoretische Abwandlung der gleichmassigen Konvergenz Sie fordert die gleichmassige Konvergenz nur auf fast allen Punkten Auf einer Nullmenge muss also keine gleichmassige Konvergenz oder sogar uberhaupt keine Konvergenz vorliegen Die gleichmassige Konvergenz entspricht der Konvergenz im p ten Mittel fur den Grenzfall p displaystyle p to infty nbsp und kann damit uber die entsprechenden Integralnormen mittels des wesentlichen Supremums in die Theorie der Lp Raume eingebettet werden Man spricht dann auch von der Konvergenz in L displaystyle mathcal L infty nbsp Fast gleichmassige Konvergenz Bearbeiten Hauptartikel Fast gleichmassige Konvergenz Wie auch die gleichmassige Konvergenz m fast uberall ist die fast gleichmassige Konvergenz eine Masstheoretische Variante der gleichmassigen Konvergenz Sie fordert dass auf dem Komplement einer Menge beliebig kleinen Masses gleichmassige Konvergenz vorliegt Dies ist eine echte Verscharfung der gleichmassigen Konvergenz m fast uberall Gleichmassige Konvergenz in metrischen Raumen Bearbeiten Sei S displaystyle S nbsp eine Menge M d displaystyle M d nbsp ein metrischer Raum und f n S M n N displaystyle f n colon S to M n in mathbb N nbsp eine Funktionenfolge Diese Funktionenfolge heisst gleichmassig konvergent gegen f displaystyle f nbsp wenn fur alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp existiert so dass n N displaystyle forall n geq N nbsp sup x S d f n x f x lt e displaystyle sup x in S d f n x f x lt varepsilon nbsp gilt Gleichmassige Konvergenz in uniformen Raumen Bearbeiten Vollig analog lasst sich gleichmassige Konvergenz fur Funktionen in einen uniformen Raum Y displaystyle Y nbsp mit einem System von Nachbarschaften F displaystyle Phi nbsp definieren Ein Filter oder allgemeiner eine Filterbasis F displaystyle mathcal F nbsp auf der Menge der Funktionen X Y displaystyle X to Y nbsp fur eine Menge X displaystyle X nbsp konvergiert genau dann gegen eine Funktion f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp wenn fur jede Nachbarschaft E F displaystyle E in Phi nbsp ein F F displaystyle F in mathcal F nbsp existiert sodass f x g x x X g F E displaystyle left left f x g x right mid x in X g in F right subseteq E nbsp Siehe auch BearbeitenDer Begriff der gleichmassigen Konvergenz ist fur den Spezialfall beschrankter Funktionen derselbe wie der der Konvergenz bezuglich der Supremumsnorm Kompakte Konvergenz Lokal gleichmassige Konvergenz Abelsches Kriterium fur gleichmassige KonvergenzLiteratur BearbeitenKlaus Viertel Geschichte der gleichmassigen Konvergenz Springer 2014Weblinks BearbeitenEric W Weisstein uniform convergence In MathWorld englisch gleichmassige Konvergenz Vorlesung Uni Saarbrucken Einzelnachweise Bearbeiten St Goebbels St Ritter Mathematik verstehen und anwenden von den Grundlagen bis zu Fourier Reihen und Laplace Transformation Spektrum Heidelberg 2011 ISBN 978 3 8274 2761 8 S 360 369 Anton Deitmar Analysis 2 Auflage Springer Spektrum Tubingen S 147 Seidel Note uber eine Eigenschaft der Reihen welche discontinuirliche Functionen darstellen In Abhandlungen der Mathem Physikalische Classe der Koniglich Bayerischen Akademie der Wissenschaften Band 5 1847 S 381 394 Von Heinrich Liebmann 1900 in der Reihe Ostwalds Klassiker mit einem Aufsatz von Dirichlet 1837 neu herausgegeben Stokes On the critical values of sums of periodic series 1847 In Stokes Mathematical and Physical Papers Band 1 Cambridge UP 1880 S 237 archive org In dem Buch von Klaus Viertel wird das bezweifelt ebenso wie die Schlussfolgerung von Alfred Pringsheim in der Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften 1899 Cauchy hatte 1853 den Begriff gleichmassige Konvergenz scharf definiert und unabhangig von Seidel und Stokes gefunden Klaus Viertel Geschichte der gleichmassigen Konvergenz Springer 2014 a b c H Heuser Lehrbuch der Analysis B G Teubner Stuttgart 1984 ISBN 3 519 22221 3 Teil 1 XIII 103 106 V Zorich Analysis II Springer 2007 ISBN 978 3 540 46231 6 a b c F Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre 1914 Chelsea Publishing Co New York 1949 Kap IX 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gleichmassige Konvergenz amp oldid 228117635