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Kompakte Konvergenz In der Mathematik nennt man eine Folge oder Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum X disp

Kompakte Konvergenz

In der Mathematik nennt man eine Folge oder Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum mit Werten in einem normierten Raum kompakt konvergent, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von gleichmäßig konvergiert.

Seine Bedeutung erhält der Begriff der kompakten Konvergenz aus der Tatsache, dass aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz einer Folge oder Reihe von Funktionen die kompakte Konvergenz folgt und die Umkehrung für lokalkompakte Räume gilt. Im Allgemeinen gilt diese Umkehrung allerdings nicht, wie im Artikel zum Arens-Fort-Raum ausgeführt wird.

Die Topologie der kompakten Konvergenz Bearbeiten

Der Spezialfall normierter Räume Bearbeiten

Es sei der Raum der Funktionen von in den normierten Vektorraum , die auf jeder kompakten Teilmenge von beschränkt sind (im Sinne der Norm auf ). Nach Definition von existiert für zwei Abbildungen und aus der auf eingeschränkte Abstand

für jede (nichtleere) kompakte Teilmenge . Für die Einschränkungen auf ist dies eine Metrik, für nur eine Pseudometrik, da die Einschränkungen von zwei verschiedenen Funktionen auf übereinstimmen können. Die kompakte Konvergenz ist die Konvergenz bzgl. dieser Pseudometriken, das heißt ein Netz konvergiert genau dann kompakt gegen in , falls für alle kompakten .

Ist der Raum lokalkompakt und lässt er sich als Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen , also in der Form , darstellen, dann kann man diese Pseudometriken zu der Metrik

auf zusammensetzen. Damit wird zu einem metrischen Raum.

In allgemeineren Fällen, wenn keine solche Darstellung für möglich oder bekannt ist, lässt sich durch ein beliebiges System kompakter Mengen , das überdeckt, mit den jeweiligen Pseudometriken eine Familie von Pseudometriken auf auswählen, die eine uniforme Struktur auf definieren. Auch hierzu sind die technischen Details im Artikel Pseudometrik erläutert.

Verallgemeinerung auf uniforme Räume Bearbeiten

Nun sei ein uniformer Raum, dessen uniforme Struktur durch ein System von Pseudometriken gegeben sei. Sei wieder der Raum aller Funktionen , die auf allen kompakten Mengen beschränkt sind, das heißt, für die für jedes und jedes endlich ist. Ein wichtiger Unterraum ist der Raum aller stetigen Funktionen .

Ein Netz von Funktionen in konvergiert genau dann kompakt gegen eine Funktion , wenn

für alle und alle kompakt. Auf erhält man durch das System der Pseudometriken , wobei und kompakt und , eine uniforme Struktur.

Ist speziell ein normierter Raum, so ist die uniforme Struktur auf durch die Norm gegeben, und man erhält den oben vorgestellten Spezialfall.

Lokal kompakte und kompakte Räume Bearbeiten

Auf lokal kompakten, uniformen Räumen stimmt die Topologie der kompakten Konvergenz mit der Kompakt-Offen-Topologie überein.

Auf kompakten, uniformen Räumen wird die Topologie der kompakten Konvergenz als Topologie der gleichmäßigen Konvergenz bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

  1. Potenzreihen analytischer Funktionen auf oder konvergieren innerhalb ihres Konvergenzintervalles bzw. -kreises kompakt.
  2. Ist , so bildet das System ein abzählbares System von kompakten Mengen, die überdecken. Damit kann eine Metrik der kompakten Konvergenz auf der Abbildungsmenge eingeführt werden.
  3. Ganz entsprechend kann man die Menge der kompakt beschränkten Abbildungen aus einem -dimensionalen in einen -dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Metrik versehen. Als Überdeckung des Urbildraums können hier z. B. Würfel (der Kantenlänge mit Schwerpunkt im Ursprung) oder Kugeln (mit Radius um den Ursprung) gewählt werden.
  4. Ist ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet der komplexen Zahlenebene, dann lässt sich durch die Mengen überdecken ( misst den Abstand vom Rand im Sinne der Hausdorff-Metrik, entsteht dabei für kleinere die leere Menge, dann müssen diese aus der Familie der Pseudometriken bei der Definition der Metrik herausgenommen werden). Auch hier erweist sich damit die Topologie der kompakten Konvergenz als metrisierbar.

Vollständigkeit Bearbeiten

Wichtige Abbildungsräume bilden mit der Topologie der kompakten Konvergenz eine vollständige uniforme Struktur. Zwei Beispiele: Die Räume bzw. der auf einem Gebiet der komplexe Zahlenebene stetigen bzw. holomorphen Funktionen bilden bezüglich der uniformen Struktur der kompakten Konvergenz vollständige uniforme Raume. In klassischer Formulierung, d. h. ohne topologische Begriffe, lässt sich dies so aussprechen:

  • Sind in einem Gebiet die Funktionen , , alle stetig (bzw. holomorph) und ist die Folge kompakt konvergent gegen eine Grenzfunktion , dann ist auch die Grenzfunktion stetig (bzw. holomorph) in .
  • Analoges gilt für Reihen und unendliche Produkte , wenn man sie als Funktionenfolgen betrachtet.

Literatur Bearbeiten

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie (= Grundwissen Mathematik. Bd. 5). 1. Band. 2., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-51238-1.
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie (= Grundwissen Mathematik. Bd. 6). 2. Band. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-12783-6.
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In der Mathematik nennt man eine Folge oder Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum X displaystyle X mit Werten in einem normierten Raum E displaystyle E kompakt konvergent wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von X displaystyle X gleichmassig konvergiert Seine Bedeutung erhalt der Begriff der kompakten Konvergenz aus der Tatsache dass aus der lokal gleichmassigen Konvergenz einer Folge oder Reihe von Funktionen die kompakte Konvergenz folgt und die Umkehrung fur lokalkompakte Raume gilt Im Allgemeinen gilt diese Umkehrung allerdings nicht wie im Artikel zum Arens Fort Raum ausgefuhrt wird Inhaltsverzeichnis 1 Die Topologie der kompakten Konvergenz 1 1 Der Spezialfall normierter Raume 1 2 Verallgemeinerung auf uniforme Raume 1 3 Lokal kompakte und kompakte Raume 2 Beispiele 3 Vollstandigkeit 4 LiteraturDie Topologie der kompakten Konvergenz BearbeitenDer Spezialfall normierter Raume Bearbeiten Es sei B B k X E displaystyle B B k X E nbsp der Raum der Funktionen von X displaystyle X nbsp in den normierten Vektorraum E E displaystyle E cdot E nbsp die auf jeder kompakten Teilmenge von X displaystyle X nbsp beschrankt sind im Sinne der Norm auf E displaystyle E nbsp Nach Definition von B displaystyle B nbsp existiert fur zwei Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp aus B displaystyle B nbsp der auf K displaystyle K nbsp eingeschrankte Abstand d K f g f K g K sup x K f x g x E displaystyle d K f g left f right K left g right K infty sup x in K f x g x E nbsp fur jede nichtleere kompakte Teilmenge K X displaystyle K subset X nbsp Fur die Einschrankungen auf K displaystyle K nbsp ist dies eine Metrik fur B displaystyle B nbsp nur eine Pseudometrik da die Einschrankungen von zwei verschiedenen Funktionen auf K displaystyle K nbsp ubereinstimmen konnen Die kompakte Konvergenz ist die Konvergenz bzgl dieser Pseudometriken das heisst ein Netz f a a A displaystyle f alpha alpha in A nbsp konvergiert genau dann kompakt gegen f displaystyle f nbsp in B displaystyle B nbsp falls d K f a f 0 displaystyle d K f alpha f rightarrow 0 nbsp fur alle kompakten K X displaystyle K subset X nbsp Ist der Raum X displaystyle X nbsp lokalkompakt und lasst er sich als Vereinigung abzahlbar vieler kompakter Mengen K j j N displaystyle K j j in mathbb N nbsp also in der Form X j N K j displaystyle textstyle X bigcup j in mathbb N K j nbsp darstellen dann kann man diese Pseudometriken d j d K j displaystyle d j d K j nbsp zu der Metrik d f g j 0 2 j d j f g 1 d j f g displaystyle d f g sum limits j 0 infty 2 j frac d j f g 1 d j f g nbsp auf B displaystyle B nbsp zusammensetzen Damit wird B d displaystyle B d nbsp zu einem metrischen Raum In allgemeineren Fallen wenn keine solche Darstellung fur X displaystyle X nbsp moglich oder bekannt ist lasst sich durch ein beliebiges System kompakter Mengen K j j J displaystyle K j j in J nbsp das X displaystyle X nbsp uberdeckt mit den jeweiligen Pseudometriken d j d K j displaystyle d j d K j nbsp eine Familie von Pseudometriken d j j J displaystyle d j j in J nbsp auf B displaystyle B nbsp auswahlen die eine uniforme Struktur auf B displaystyle B nbsp definieren Auch hierzu sind die technischen Details im Artikel Pseudometrik erlautert Verallgemeinerung auf uniforme Raume Bearbeiten Nun sei E displaystyle E nbsp ein uniformer Raum dessen uniforme Struktur durch ein System von Pseudometriken d i i I displaystyle d i i in I nbsp gegeben sei Sei wieder B k X E displaystyle B k X E nbsp der Raum aller Funktionen f X E displaystyle f colon X to E nbsp die auf allen kompakten Mengen beschrankt sind das heisst fur die sup x K d i f x y displaystyle textstyle sup x in K d i f x y nbsp fur jedes y E displaystyle y in E nbsp und jedes i I displaystyle i in I nbsp endlich ist Ein wichtiger Unterraum ist der Raum aller stetigen Funktionen X E displaystyle X to E nbsp Ein Netz f a a A displaystyle f alpha alpha in A nbsp von Funktionen in B k X E displaystyle B k X E nbsp konvergiert genau dann kompakt gegen eine Funktion f B k X E displaystyle f in B k X E nbsp wenn sup x K d i f a x f x a A 0 displaystyle sup x in K d i f alpha x f x stackrel alpha in A longrightarrow 0 nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp und alle K X displaystyle K subset X nbsp kompakt Auf B k X E displaystyle B k X E nbsp erhalt man durch das System der Pseudometriken d i K displaystyle d i K nbsp wobei i I displaystyle i in I nbsp und K X displaystyle K subset X nbsp kompakt und d i K f g sup x K d i f x g x displaystyle textstyle d i K f g sup x in K d i f x g x nbsp eine uniforme Struktur Ist speziell E displaystyle E nbsp ein normierter Raum so ist die uniforme Struktur auf E displaystyle E nbsp durch die Norm gegeben und man erhalt den oben vorgestellten Spezialfall Lokal kompakte und kompakte Raume Bearbeiten Auf lokal kompakten uniformen Raumen stimmt die Topologie der kompakten Konvergenz mit der Kompakt Offen Topologie uberein Auf kompakten uniformen Raumen wird die Topologie der kompakten Konvergenz als Topologie der gleichmassigen Konvergenz bezeichnet Beispiele BearbeitenPotenzreihen analytischer Funktionen auf X R displaystyle X mathbb R nbsp oder X C displaystyle X mathbb C nbsp konvergieren innerhalb ihres Konvergenzintervalles bzw kreises kompakt Ist X R displaystyle X mathbb R nbsp so bildet das System K j j j j N 0 displaystyle K j j j j in mathbb N setminus 0 nbsp ein abzahlbares System von kompakten Mengen die R displaystyle mathbb R nbsp uberdecken Damit kann eine Metrik der kompakten Konvergenz auf der Abbildungsmenge B k R R displaystyle B k mathbb R mathbb R nbsp eingefuhrt werden Ganz entsprechend kann man die Menge der kompakt beschrankten Abbildungen B k R n R m displaystyle B k mathbb R n mathbb R m nbsp aus einem n displaystyle n nbsp dimensionalen in einen m displaystyle m nbsp dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Metrik versehen Als Uberdeckung des Urbildraums konnen hier z B Wurfel der Kantenlange 2 j displaystyle 2j nbsp mit Schwerpunkt im Ursprung oder Kugeln mit Radius j displaystyle j nbsp um den Ursprung gewahlt werden Ist X displaystyle X nbsp ein beschranktes einfach zusammenhangendes Gebiet der komplexen Zahlenebene dann lasst sich X displaystyle X nbsp durch die Mengen K j x X d H x X 1 j displaystyle K j left x in X d H x partial X geq tfrac 1 j right nbsp uberdecken d H displaystyle d H nbsp misst den Abstand vom Rand im Sinne der Hausdorff Metrik entsteht dabei fur kleinere j N displaystyle j in mathbb N nbsp die leere Menge dann mussen diese aus der Familie der Pseudometriken bei der Definition der Metrik herausgenommen werden Auch hier erweist sich damit die Topologie der kompakten Konvergenz als metrisierbar Vollstandigkeit BearbeitenWichtige Abbildungsraume bilden mit der Topologie der kompakten Konvergenz eine vollstandige uniforme Struktur Zwei Beispiele Die Raume C G displaystyle mathcal C G nbsp bzw O G displaystyle mathcal O G nbsp der auf einem Gebiet G displaystyle G nbsp der komplexe Zahlenebene stetigen bzw holomorphen Funktionen bilden bezuglich der uniformen Struktur der kompakten Konvergenz vollstandige uniforme Raume In klassischer Formulierung d h ohne topologische Begriffe lasst sich dies so aussprechen Sind in einem Gebiet G C displaystyle G subset mathbb C nbsp die Funktionen f n G C displaystyle f n colon G rightarrow mathbb C nbsp n N displaystyle n in mathbb N nbsp alle stetig bzw holomorph und ist die Folge f n displaystyle f n nbsp kompakt konvergent gegen eine Grenzfunktion f displaystyle f nbsp dann ist auch die Grenzfunktion f displaystyle f nbsp stetig bzw holomorph in G displaystyle G nbsp Analoges gilt fur Reihen n 1 g n displaystyle textstyle sum n 1 infty g n nbsp und unendliche Produkte n 1 g n displaystyle textstyle prod n 1 infty g n nbsp wenn man sie als Funktionenfolgen betrachtet Literatur BearbeitenBoto von Querenburg Mengentheoretische Topologie Springer Lehrbuch 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2001 ISBN 3 540 67790 9 Reinhold Remmert Funktionentheorie Grundwissen Mathematik Bd 5 1 Band 2 uberarbeitete und erganzte Auflage Springer Berlin u a 1989 ISBN 3 540 51238 1 Reinhold Remmert Funktionentheorie Grundwissen Mathematik Bd 6 2 Band Springer Berlin u a 1991 ISBN 3 540 12783 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kompakte Konvergenz amp oldid 229057705