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Arens Fort Raum Der benannt nach den Mathematikern R F Arens und M K Fort ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines

Arens-Fort-Raum

Der Arens-Fort-Raum, benannt nach den Mathematikern R. F. Arens und M. K. Fort, ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes, der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

Definition Bearbeiten

Typische Nullumgebung, nur die Spalten 2,3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte (unter der Annahme, dass das Muster der obersten 6 Punkte fortgesetzt wird).

Die zugrunde liegende Menge ist , also die Menge aller Paare natürlicher Zahlen . Die Teilmenge heißt -te Spalte. Die Menge wird zu einem topologischen Raum, dem Arens-Fort-Raum, indem die folgenden Mengen als offen erklärt werden:

  • Jede Menge in , die den Nullpunkt nicht enthält.
  • Jede Menge, die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen außer endlich vielen Spalten enthält.

Topologische Eigenschaften Bearbeiten

Fehlende Eigenschaften Bearbeiten

  • Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  • Der Arens-Fort-Raum ist nicht metrisierbar.
  • Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

Gegenbeispiele Bearbeiten

  • In metrischen Räumen folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  • Zählt man die Punkte aus wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab, so erhält man eine Folge , die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.
ist einziger Häufungspunkt dieser Folge, aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen .
und
definierten Funktionen , so konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen . Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Arens Fort Raum benannt nach den Mathematikern R F Arens und M K Fort ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Topologische Eigenschaften 3 Fehlende Eigenschaften 4 Gegenbeispiele 5 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Typische Nullumgebung nur die Spalten 2 3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte unter der Annahme dass das Muster der obersten 6 Punkte fortgesetzt wird Die zugrunde liegende Menge ist N 2 displaystyle mathbb N 2 nbsp also die Menge aller Paare m n displaystyle m n nbsp naturlicher Zahlen m n 0 1 2 3 4 displaystyle m n 0 1 2 3 4 nbsp Die Teilmenge m n n N displaystyle m n n in mathbb N nbsp heisst m displaystyle m nbsp te Spalte Die Menge N 2 displaystyle mathbb N 2 nbsp wird zu einem topologischen Raum dem Arens Fort Raum indem die folgenden Mengen als offen erklart werden Jede Menge in N 2 displaystyle mathbb N 2 nbsp die den Nullpunkt 0 0 displaystyle 0 0 nbsp nicht enthalt Jede Menge die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen ausser endlich vielen Spalten enthalt Topologische Eigenschaften BearbeitenDer Arens Fort Raum ist ein normaler Hausdorff Raum Jeder Punkt ist abzahlbarer Durchschnitt abgeschlossener Umgebungen Der Arens Fort Raum ist ein Lindelof Raum Genau die endlichen Teilmengen sind kompakt Fehlende Eigenschaften BearbeitenDer Arens Fort Raum genugt weder dem ersten noch dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom Der Arens Fort Raum ist nicht metrisierbar Der Arens Fort Raum ist nicht kompakt Gegenbeispiele BearbeitenIn metrischen Raumen folgt aus der Separabilitat das zweite Abzahlbarkeitsaxiom Der Arens Fort Raum zeigt dass dies im Allgemeinen nicht gilt denn er ist separabel er besteht selbst nur aus abzahlbar vielen Punkten genugt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom Zahlt man die Punkte aus N 2 0 0 displaystyle mathbb N 2 setminus 0 0 nbsp wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab so erhalt man eine Folge x n n displaystyle x n n nbsp die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat x 6 x 5 x 7 x 1 x 4 x 8 x 11 x 2 x 3 x 9 x 10 displaystyle begin array cccccccccc x 6 uparrow amp searrow x 5 amp amp x 7 amp amp ddots amp nwarrow amp amp searrow amp amp nwarrow x 1 amp amp x 4 amp amp x 8 amp amp x 11 amp searrow amp amp nwarrow amp amp searrow amp amp nwarrow amp amp x 2 amp rightarrow amp x 3 amp amp x 9 amp rightarrow amp x 10 end array nbsp dd 0 0 displaystyle 0 0 nbsp ist einziger Haufungspunkt dieser Folge aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen 0 0 displaystyle 0 0 nbsp Unterraume von Kelley Raumen sind im Allgemeinen keine Kelley Raume Der Arens Fort Raum ist kein Kelley Raum denn die kompakten Teilmengen sind genau die endlichen er ist aber mittels Stone Cech Kompaktifizierung Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley Raums Aus der kompakten Konvergenz folgt nicht die lokal gleichmassige Konvergenz Betrachtet man die durchf k m n 1 falls m n ungerade und m n k 0 sonst displaystyle f k m n begin cases 1 amp mbox falls m n mbox ungerade und m n leq k 0 amp mbox sonst end cases nbsp dd undf m n 1 falls m n ungerade 0 sonst displaystyle f m n begin cases 1 amp mbox falls m n mbox ungerade 0 amp mbox sonst end cases nbsp dd definierten Funktionen N 2 R displaystyle mathbb N 2 rightarrow mathbb R nbsp so konvergiert die Funktionenfolge f k k N displaystyle f k k in mathbb N nbsp punktweise gegen f displaystyle f nbsp Da genau die endlichen Mengen kompakt sind liegt sogar kompakte Konvergenz vor Jede Funktion f k displaystyle f k nbsp ist stetig denn sie ist auf der Nullumgebung 0 0 N 2 0 k 2 displaystyle 0 0 cup mathbb N 2 setminus 0 ldots k 2 nbsp konstant gleich 0 aber die Grenzfunktion f displaystyle f nbsp ist unstetig da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt Insbesondere liegt keine lokal gleichmassige Konvergenz vor denn sonst musste die Grenzfunktion stetig sein Literatur BearbeitenRichard Arens Note of Convergence in Topology In Mathematics Magazine Bd 23 Nr 5 1950 S 229 234 doi 10 2307 3028991 Lynn Arthur Steen J Arthur Seebach Counterexamples in Topology 2nd edition Springer New York NY u a 1978 ISBN 0 387 90312 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arens Fort Raum amp oldid 233885447