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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Es gibt keinen Hinweis darauf dass dieses Argument wirklich Cantors erstes Diagonalargument heisst oder dass es wirklich auf Cantor zuruckgeht Cantors erstes Diagonalargument ist ein mathematisches Beweisverfahren mit dem man gegebenenfalls zeigen kann dass zwei unendliche Mengen gleichmachtig sind Entwickelt wurde dieses Verfahren von Georg Cantor Zum Verstandnis der Problematik und des Beweises ist es notwendig die unspezifizierte Grosse einer Menge durch die in der Mengenlehre formal definierte Machtigkeit zu ersetzen Zwei Mengen sind genau dann gleichmachtig wenn jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann und umgekehrt ebenso wenn also eine Bijektion zwischen den Mengen existiert Wahrend dies bei Mengen mit endlich vielen Elementen klar ist 1 2 3 und 6 8 10 sind gleichmachtig wird bei Mengen mit unendlich vielen Elementen die Problematik offensichtlich Beispielsweise sind die Menge der naturlichen Zahlen und die Menge der positiven geraden Zahlen gleichmachtig denn man kann umkehrbar eindeutig jeder naturlichen Zahl i ihr Doppeltes 2 i zuordnen obwohl die positiven geraden Zahlen echt in den naturlichen Zahlen enthalten sind Inhaltsverzeichnis 1 Vorgehen bei Cantors erstem Diagonalargument 2 Machtigkeit der reellen Zahlen 3 Verallgemeinerung des ersten Cantorschen Diagonalargumentes 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseVorgehen bei Cantors erstem Diagonalargument BearbeitenCantors Verfahren wird am besten mit der einfachsten unendlich grossen Menge der Menge der naturlichen Zahlen und der Menge der positiven Bruche veranschaulicht Die Aussage ist dass die Menge N displaystyle mathbb N nbsp der naturlichen Zahlen und die Menge Q displaystyle mathbb Q nbsp der positiven rationalen Zahlen gleichmachtig sind Dies lasst sich zeigen indem man die Bruche folgendermassen in einem zweidimensionalen Schema anordnet 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 displaystyle begin array cccccccccc tfrac 1 1 amp amp tfrac 1 2 amp amp tfrac 1 3 amp amp tfrac 1 4 amp amp tfrac 1 5 amp cdots amp amp amp amp amp amp amp amp amp tfrac 2 1 amp amp tfrac 2 2 amp amp tfrac 2 3 amp amp tfrac 2 4 amp amp tfrac 2 5 amp cdots amp amp amp amp amp amp amp amp amp tfrac 3 1 amp amp tfrac 3 2 amp amp tfrac 3 3 amp amp tfrac 3 4 amp amp tfrac 3 5 amp cdots amp amp amp amp amp amp amp amp amp tfrac 4 1 amp amp tfrac 4 2 amp amp tfrac 4 3 amp amp tfrac 4 4 amp amp tfrac 4 5 amp cdots amp amp amp amp amp amp amp amp amp tfrac 5 1 amp amp tfrac 5 2 amp amp tfrac 5 3 amp amp tfrac 5 4 amp amp tfrac 5 5 amp cdots vdots amp amp vdots amp amp vdots amp amp vdots amp amp vdots amp end array nbsp Dieses Schema zahlt man dann diagonal ab wobei man nicht vollstandig gekurzte Bruche uberspringt 1 1 1 1 2 2 1 3 5 1 4 6 1 5 11 2 1 3 2 2 2 3 7 2 4 2 5 3 1 4 3 2 8 3 3 3 4 3 5 4 1 9 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 10 5 2 5 3 5 4 5 5 displaystyle begin array lclclclclc tfrac 1 1 color Blue 1 amp color MidnightBlue rightarrow amp tfrac 1 2 color Blue 2 amp amp tfrac 1 3 color Blue 5 amp color MidnightBlue rightarrow amp tfrac 1 4 color Blue 6 amp amp tfrac 1 5 color Blue 11 amp color MidnightBlue rightarrow amp color MidnightBlue swarrow amp amp color MidnightBlue nearrow amp amp color MidnightBlue swarrow amp amp color MidnightBlue nearrow amp amp tfrac 2 1 color Blue 3 amp amp tfrac 2 2 color Blue cdot amp amp tfrac 2 3 color Blue 7 amp amp tfrac 2 4 color Blue cdot amp amp tfrac 2 5 amp cdots color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue nearrow amp amp color MidnightBlue swarrow amp amp color MidnightBlue nearrow amp amp amp amp tfrac 3 1 color Blue 4 amp amp tfrac 3 2 color Blue 8 amp amp tfrac 3 3 color Blue cdot amp amp tfrac 3 4 amp amp tfrac 3 5 amp cdots amp color MidnightBlue swarrow amp amp color MidnightBlue nearrow amp amp amp amp amp amp tfrac 4 1 color Blue 9 amp amp tfrac 4 2 color Blue cdot amp amp tfrac 4 3 amp amp tfrac 4 4 amp amp tfrac 4 5 amp cdots color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue nearrow amp amp amp amp amp amp amp amp tfrac 5 1 color Blue 10 amp amp tfrac 5 2 amp amp tfrac 5 3 amp amp tfrac 5 4 amp amp tfrac 5 5 amp cdots vdots amp amp vdots amp amp vdots amp amp vdots amp amp vdots amp end array nbsp Man erhalt auf diese Weise eine Abzahlung der positiven rationalen Zahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 displaystyle begin array cccccccccccccccc color Blue 1 amp color Blue 2 amp color Blue 3 amp color Blue 4 amp color Blue 5 amp color Blue 6 amp color Blue 7 amp color Blue 8 amp color Blue 9 amp color Blue 10 amp color Blue 11 amp color Blue cdots 3pt color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow 3pt 1 amp tfrac 1 2 amp 2 amp 3 amp tfrac 1 3 amp tfrac 1 4 amp tfrac 2 3 amp tfrac 3 2 amp 4 amp 5 amp tfrac 1 5 amp cdots end array nbsp Durch das Uberspringen kurzbarer Bruche liegt fur jede positive rationale Zahl genau ein Reprasentant der nicht mehr kurzbare Bruch in dieser Abzahlung wodurch die gewunschte Bijektion hergestellt ist Die Abzahlung nur der gekurzten Bruche geht elegant mit der Stern Brocot Folge 1 2 Um die Gleichmachtigkeit aller rationalen Zahlen und der naturlichen Zahlen zu zeigen erweitert man diese Abzahlung Vor der Eins fugt man eine Null ein und hinter jeder Zahl deren Negatives 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 1 3 1 3 1 4 1 4 2 3 2 3 displaystyle begin array cccccccccccccccc color Blue 1 amp color Blue 2 amp color Blue 3 amp color Blue 4 amp color Blue 5 amp color Blue 6 amp color Blue 7 amp color Blue 8 amp color Blue 9 amp color Blue 10 amp color Blue 11 amp color Blue 12 amp color Blue 13 amp color Blue 14 amp color Blue 15 amp color Blue cdots 3pt color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow amp color MidnightBlue downarrow 3pt 0 amp 1 amp 1 amp tfrac 1 2 amp tfrac 1 2 amp 2 amp 2 amp 3 amp 3 amp tfrac 1 3 amp tfrac 1 3 amp tfrac 1 4 amp tfrac 1 4 amp tfrac 2 3 amp tfrac 2 3 amp cdots end array nbsp Man erhalt damit eine Bijektion zwischen der Menge der naturlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen was bedeutet dass diese beiden Mengen gleichmachtig sind Mengen welche gleichmachtig zur Menge der naturlichen Zahlen sind heissen abzahlbar oder abzahlbar unendlich Mengen welche gleichmachtig zu irgendeiner Teilmenge der naturlichen Zahlen sind heissen hochstens abzahlbar manche bezeichnen das auch als abzahlbar Mengen welche gleichmachtig zu einer beschrankten Teilmenge der naturlichen Zahlen sind sind endlich Die Menge der rationalen Zahlen ist also abzahlbar Unendliche Mengen widersprechen oft der Intuition Das wird beispielsweise durch Hilberts Hotel veranschaulicht Machtigkeit der reellen Zahlen BearbeitenDie Menge R displaystyle mathbb R nbsp der reellen Zahlen ist zur Menge der naturlichen Zahlen nicht gleichmachtig stattdessen ist die Menge R displaystyle mathbb R nbsp uberabzahlbar Man sagt auch die reellen Zahlen haben die Machtigkeit des Kontinuums Der Beweis der Uberabzahlbarkeit von R displaystyle mathbb R nbsp ist Inhalt des zweiten Cantorschen Diagonalbeweises Verallgemeinerung des ersten Cantorschen Diagonalargumentes BearbeitenDas erste Cantorsche Diagonalargument kann man verallgemeinern um vergleichbare Aussagen uber Mengen von Tupeln reeller Zahlen zu machen Die folgende Darstellung ist nicht das traditionelle erste Cantor Diagonalargument sondern eher eine Vorschrift zum Erstellen eines fraktalen Objektes Georg Cantor hat gezeigt dass es Kurven 1 dimensionale Objekte gibt die Flachen 2 dimensionale Objekte fullen konnen und zwar so Man nehme eine quadratische Flache die durch die Eckpunkte 0 0 und 3 3 aufgespannt ist Man ziehe eine Strecke von 0 0 nach 3 3 nbsp Visualisierung der Cantor DiagonalisierungIm Bild rechts ist der Kurvenverlauf durch Abstand in den Beruhrungspunkten verdeutlicht wie in ausreichender Vergrosserung sichtbar wirdDiese Kurve innerhalb des Quadrates andere man nun so ab Man teile die quadratische Flache in ein Raster von neun gleich grossen Quadraten Man andere den Kurvenverlauf nun so ab dass folgende Punkte die Endpunkte von Teilstrecken bilden 0 0 1 1 0 2 1 3 2 2 1 1 2 0 3 1 2 2 3 3 Die abgeanderte Kurve hat die Eigenschaft dass sie ebenfalls das Quadrat durchzieht und denselben Anfangs und denselben Endpunkt hat Dieses Verfahren wiederhole man nun fur jedes der kleinen Teil Quadrate und die daraus entstandenen Teil Quadrate und so weiter Der Grenzwert dieses Verfahrens ist eine Kurve die das gesamte Quadrat ausfullt Diese unendlich lange Grenzkurve ist Bild einer stetigen Abbildung f des Intervalls 0 1 Dazu setzt man zunachst die Endpunkte f 0 0 0 f 1 3 3 Im zweiten Schritt setzt man die Eckpunkte der ersten Verfeinerung 0 0 0 1 9 1 1 2 9 0 2 3 9 1 3 4 9 2 2 5 9 1 1 6 9 2 0 7 9 3 1 8 9 2 2 1 3 3 Dann setzt man in jedem Schritt die hinzukommenden Eckpunkte auf Werte zwischen den bisherigen Zahlen Die Grenzkurve ist dann genau das Bild der so definierten Abbildung f Beachte dass dies keine Bijektion von 0 1 auf 0 3 0 3 ist da die Abbildung zwar surjektiv aber nicht injektiv ist z B ist f 1 9 f 5 9 Wahrend die Zahl eindimensional ist sind die zugehorigen Koordinaten zweidimensional Folglich kann man eindimensionale Zahlen in mehrdimensionale Zahlen uberfuhren und umgekehrt Mengen mehrdimensionaler Elemente sind somit nicht machtiger als Mengen eindimensionaler Elemente Siehe auch BearbeitenCantorsche Paarungsfunktion Cantors zweites Diagonalargument mathematischer Beweis fur die Uberabzahlbarkeit der reellen Zahlen Einzelnachweise Bearbeiten Stephen P Glasby Aufzahlung der rationalen Zahlen von links nach rechts In Mathematical Association of America Hrsg American Mathematical Monthly Band 118 Nr 9 2011 S 830 835 doi 10 4169 amer math monthly 118 09 830 arxiv 1011 2823 englisch Originaltitel Enumerating the rationals from left to right Neil Calkin Herbert Wilf Nachzahlen der rationalen Zahlen In Mathematical Association of America Hrsg The American Mathematical Monthly Band 107 Nr 4 2000 S 360 363 doi 10 1080 00029890 2000 12005205 englisch math upenn edu PDF abgerufen am 12 Januar 2022 Originaltitel Recounting the rationals Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cantors erstes Diagonalargument amp oldid 238846423