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Hausdorff Metrik Die benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff misst den Abstand δ A B displaystyle delta A B zwisch

Hausdorff-Metrik

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition Bearbeiten

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand zwischen einem Punkt und einer nichtleeren kompakten Teilmenge unter Rückgriff auf die Metrik des Raums als

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen und als

Man kann zeigen, dass in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

wobei

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens zur Menge .

Anwendungen Bearbeiten

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. James Munkres: Topology. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).
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Die Hausdorff Metrik benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff misst den Abstand d A B displaystyle delta A B zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A displaystyle A B displaystyle B eines metrischen Raums E displaystyle E Die gefarbten Mengen links haben verhaltnismassig geringen Hausdorff Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff Abstand wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt zu dem dieses einen geringen Abstand hat Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendungen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenAls Hilfsmittel definiert man den Abstand D displaystyle D nbsp zwischen einem Punkt x displaystyle x nbsp und einer nichtleeren kompakten Teilmenge K E displaystyle K subseteq E nbsp unter Ruckgriff auf die Metrik d displaystyle d nbsp des Raums E displaystyle E nbsp als D x K min d x k k K displaystyle D x K min d x k mid k in K nbsp Dann definiert man den Hausdorff Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp als d A B max max D a B a A max D b A b B displaystyle delta A B max max D a B mid a in A max D b A mid b in B nbsp Man kann zeigen dass d displaystyle delta nbsp in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von E displaystyle E nbsp ist Aquivalent kann man den Hausdorff Abstand definieren als d A B inf ϵ 0 A B ϵ und B A ϵ displaystyle delta A B inf epsilon geq 0 A subseteq B epsilon text und B subseteq A epsilon nbsp 1 wobei A ϵ a A z E d z a ϵ displaystyle A epsilon bigcup a in A z in E d z a leq epsilon nbsp dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von hochstens ϵ displaystyle epsilon nbsp zur Menge A displaystyle A nbsp Anwendungen BearbeitenIn der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff Metrik erzeugt Siehe auch BearbeitenHausdorff Konvergenz Auswahlsatz von Blaschke Gromov Hausdorff MetrikLiteratur BearbeitenM I Voitsekhovskii Hausdorff metric In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Einzelnachweise Bearbeiten James Munkres Topology Prentice Hall 1999 ISBN 0 13 181629 2 S 280 281 google com Normdaten Sachbegriff GND 4159236 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hausdorff Metrik amp oldid 196279106