In der Mathematik ist ein Filter eine nichtleere nach unten gerichtete Oberhalb-Menge innerhalb einer umgebenden halbgeordneten Menge. Der Begriff des Filters geht auf den französischen Mathematiker Henri Cartan zurück.
Anschaulich betrachtet enthält ein Filter Elemente, die zu groß sind, als dass sie den Filter passieren könnten. Ist x ein Filterelement, so ist auch jedes in der gegebenen Ordnungsrelation größere Element y ein Filterelement, und je zwei Filterelemente x und y haben einen gemeinsamen Kern z, der selbst schon zu groß ist, als dass er den Filter passieren könnte.
Filter in der umgekehrten Halbordnung heißen Ideale der Ordnung oder Ordnungsideale.
Anwendungen Bearbeiten
Filter treten in der Theorie der Ordnungen und Verbände auf. Ein wichtiger Spezialfall sind Mengenfilter, d. h. Filter in der durch die Mengeninklusion halbgeordneten Potenzmenge einer Menge. Mengenfilter werden besonders in der Topologie verwendet und erlauben dort die Verallgemeinerung des Begriffs der Folge für topologische Räume ohne abzählbare Umgebungsbasis. So bildet das System der Umgebungen eines Punktes in einem topologischen Raum einen speziellen Filter, den Umgebungsfilter. Umgebungsfilter können in Räumen, die kein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, zur Definition von Netzen verwendet werden, die die Rolle der Folgen aus der elementaren Analysis teilweise übernehmen. Man fasst dazu einen Filter als gerichtete Menge auf und betrachtet Netze auf dieser gerichteten Menge.
Mit einem Ultrafilter (der kein Hauptfilter ist) auf den natürlichen Zahlen lassen sich die hyperreellen Zahlen der Nichtstandardanalysis konstruieren. Allerdings wird die Existenz solcher Filter selbst nur durch das Auswahlaxiom – also nicht konstruktiv – gesichert.
Allgemeine Definitionen Bearbeiten
Eine nichtleere Teilmenge einer Quasiordnung heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- ist eine Oberhalb-Menge:
- ist nach unten gerichtet: und
Der Filter heißt eigentlicher (oder echter) Filter, wenn er nicht gleich ist, sondern eine echte Teilmenge .
Jeder Filter auf einer quasi- oder halbgeordneten Menge ist Element der Potenzmenge von . Die Menge der auf derselben (schwach) halbgeordneten Menge definierten Filter wird durch die Inklusionsrelation ihrerseits halbgeordnet. Sind und Filter auf derselben (schwach) halbgeordneten Menge , so heißt feiner als gröber als wenn . Ein maximal feiner echter Filter heißt Ultrafilter.
Filter in Verbänden Bearbeiten
Während diese Definition von Filter die allgemeinste für beliebige quasi- oder halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für Verbände definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge des Verbandes , die eine Oberhalb-Menge ist und abgeschlossen unter endlichen Infima, d. h. für alle ist auch .
Hauptfilter Bearbeiten
Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element enthält, ist . Filter dieser Form heißen Hauptfilter, und ein Hauptelement des Filters. Der zu gehörende Hauptfilter wird als geschrieben.
Primfilter Bearbeiten
Ein echter Filter in einem Verband mit der Zusatzeigenschaft
heißt Primfilter.
Ideale Bearbeiten
Der zum Filter duale Begriff ist der des Ideals: Ein Ideal (auch Ordnungsideal) ist eine gerichtete Unter-Halbmenge in einer Quasi- oder Halbordnung.
Betrachtet man in einer halbgeordneten Menge die Umkehrrelation , so ist auch wieder eine halbgeordnete Menge. Die so durch Dualisierung entstehende Struktur als notiert.
Ein Filter in ist ein Ideal in und umgekehrt.
Ebenso erhält man aus einem (distributiven) Verband durch Vertauschen der beiden Verbandsverknüpfungen Supremum und Infimum wieder einen (distributiven) Verband. Sind in ein kleinstes Element 0 und ein größtes Element 1 vorhanden, so werden sie ebenfalls vertauscht.
Beispiele Bearbeiten
Teilbarkeit Bearbeiten
In , dem beschränkten Verband der natürlichen Zahlen unter Teilbarkeit, ist für alle die Teilermenge von ein Ideal. ist genau dann ein Ideal, wenn .
Nullstrahlen Bearbeiten
Wir betrachten in der sogenannten punktierten komplexen Ebene die Teilmengen für der (offenen) Strahlen aus der Null (kurz: Nullstrahlen). Auf definieren wir nun eine Halbordnung , indem wir als kleiner-gleich betrachten, falls und auf demselben Strahl liegen und betraglich kleiner-gleich ist. D. h.
für .
In der halbgeordneten Menge sind nun alle Filter gegeben durch die Nullstrahlen und deren offene und abgeschlossene Teilstrahlen
für alle mit Jeder dieser Filter ist echt. Außerdem folgt aus , dass feiner feiner feiner ; insbesondere ist ein maximal-feiner echter Filter und damit ein Ultrafilter. Für jede komplexe Zahl ist der abgeschlossene Strahl ihr Hauptfilter mit als (einzigem) Hauptelement.
Die Ordnungsideale in entsprechen den fehlenden Strahlenabschnitten zwischen der Null und dem Beginn jedes Teilstrahls. Ist der Teilstrahl offen, enthält er also nicht seinen Aufpunkt, so fehlt auch im entsprechenden Ordnungsideal der Aufpunkt – analog ist er im abgeschlossenen Fall in Teilstrahl und Ideal jeweils enthalten. (Filter und Ordnungsideal sind also nicht disjunkt!) Aus dem Nullstrahl ergibt sich kein entsprechendes Ordnungsideal, da der „fehlende“ Strahlenabschnitt durch die leere Menge gegeben wäre (die kein Filter sein kann). Die Ideale haben also die Form:
für alle und .
Mengenfilter Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Ein wichtiger Spezialfall eines Filters – vor allem in der Topologie – sind Mengenfilter. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion halbgeordneten Potenzmenge einer beliebigen nichtleeren Menge aus. Eine echte Teilmenge ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
- und ,
- ,
- .
Ein Mengenfilter, für den gilt
der also zu jeder Teilmenge diese selber oder ihr Komplement enthält, heißt Ultrafilter auf .
Diese Definitionen stimmen mit den oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von einen Verband bildet.
Beispiele für Mengenfilter Bearbeiten
- heißt der von erzeugte Hauptfilter.
- Ist ein topologischer Raum mit Topologie , dann heißt Umgebungsfilter von .
- Ist eine unendliche Menge, dann heißt Fréchet-Filter der Menge .
- Ist ein nichtleeres Mengensystem von mit folgenden Eigenschaften
- und
- ,
- Ist eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und ein Filter auf , so bezeichnet den von der Filterbasis erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von .
Anwendungen in der Topologie Bearbeiten
In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort für eine befriedigende Konvergenztheorie unzureichenden Folgen. Insbesondere die Filter als sich verengende Mengensysteme haben sich hier als gut geeignet zur Konvergenzmessung erwiesen. Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in metrischen Räumen.
Ist ein topologischer Raum, heißt ein Filter genau dann konvergent gegen ein , wenn , d. h., wenn feiner ist als der Umgebungsfilter von , d. h. alle (es genügen offene) Umgebungen von enthält. Schreibweise: Von der Verfeinerung von Zerlegungen spricht man besonders im Zusammenhang mit Integrationstheorien.
So ist zum Beispiel eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter mit gilt, dass .
In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren. Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
Zu den allgemeinen, ordnungs- und verbandstheoretischen Begriffsbildungen und ihren Anwendungen: Zu den Anwendungen in der mengentheoretischen Topologie:
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
- Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
- Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
- Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
Originalarbeiten
- Henri Cartan: Théorie des filtres. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences. Band 205, 1937, ISSN 0001-4036, S. 595–598, Digitalisat.
- Henri Cartan: Filtres et ultrafiltres. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Band 205, 1937, S. 777–779, Digitalisat.
Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten
- Cartan: Comptes rendus. Band 205, S. 595–598, 777–779.
- d. h. einer Menge mit einer reflexiven und transitiven Relation , auch Präordnung, schwache Halbordnung oder schwache partielle Ordnung genannt. Insbesondere fällt jede halbgordnete Menge unter diese Voraussetzung.
- ↑ Stefan Bold: AD und Superkompaktheit, Mathematisches Institut der Rheinischen Friedrich-Wilhelm-Universität Bonn, April 2002, Seite 2–3
- schwach halbgeordnet syn. quasigeordnet
- Analog für Ideale.
- Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 9.
- Schubert: Topologie. 1975, S. 44.