Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren linear geordneten Mengen Sie werden in der Topologie verwendet um Netze und in der Kategorientheorie um Limites und Kolimites zu definieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine nichtleere Menge X displaystyle X nbsp heisst gerichtet falls auf ihr eine Relation displaystyle triangleleft nbsp genannt Richtung erklart ist die die folgenden Forderungen erfullt 1 R1 x X x x displaystyle forall x in X colon x triangleleft x nbsp Reflexivitat R2 x y z X x y y z x z displaystyle forall x y z in X colon x triangleleft y land y triangleleft z Rightarrow x triangleleft z nbsp Transitivitat R3 x y X z X x z y z displaystyle forall x y in X exists z in X colon x triangleleft z land y triangleleft z nbsp Existenz einer oberen Schranke Eine so definierte gerichtete Menge wird auch nach oben gerichtet genannt Analog dazu kann auch eine nach unten gerichtete Menge definiert werden wenn man in der dritten Forderung die obere durch eine untere Schranke ersetzt R3 x y X z X z x z y displaystyle forall x y in X exists z in X colon z triangleleft x land z triangleleft y nbsp Existenz einer unteren Schranke Einige Autoren wie auch dieser Artikel verwenden die Bezeichnung gerichtete Menge stellvertretend fur nach oben gerichtete Menge Andere sprechen von einer gerichteten Menge nur dann wenn sie bezuglich derselben Relation sowohl nach oben als auch nach unten gerichtet ist Die Richtung steht fur eine Quasiordnung bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat Somit ist jede halbgeordnete Menge mit Supremum nach oben gerichtet x y displaystyle x triangleleft y nbsp wird als x displaystyle x nbsp vor y displaystyle y nbsp oder auch als y displaystyle y nbsp nach x displaystyle x nbsp gelesen fur welch letzteres auch die Schreibweise y x displaystyle y triangleright x nbsp mit dem gespiegelten Dreieck zu finden ist Es kann sinnvoll sein auf einer Menge verschiedene Richtungen zu definieren siehe Beispiele Um die gemeinte Richtung hervorzuheben nennt man auch das geordnete Paar X displaystyle left X triangleleft right nbsp gerichtete Menge und spricht von der bezuglich Relation displaystyle triangleleft nbsp gerichteten Menge X displaystyle X nbsp So ist eine bezuglich der Relation displaystyle triangleleft nbsp nach oben gerichtete Menge X displaystyle X nbsp immer bezuglich der gespiegelten Relation x y y x displaystyle x triangleright y Longleftrightarrow y triangleleft x nbsp nach unten gerichtet denn es gilt x y X z X z x z y displaystyle forall x y in X exists z in X colon z triangleright x land z triangleright y nbsp Beispiele BearbeitenBeispiel fur eine Menge die nur nach unten und nicht auch nach oben gerichtet ist X 0 0 0 1 1 0 displaystyle X 0 0 0 1 1 0 nbsp und x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle x 1 y 1 triangleleft x 2 y 2 Leftrightarrow x 1 leq x 2 land y 1 leq y 2 nbsp dd Es ist 0 0 0 1 displaystyle 0 0 triangleleft 0 1 nbsp und 0 0 1 0 displaystyle 0 0 triangleleft 1 0 nbsp und 0 0 displaystyle 0 0 nbsp eine untere Schranke Zum Paar 0 1 1 0 displaystyle 0 1 1 0 nbsp gibt es aber keine obere Schranke X R n r R n f e s t x y X x y x r y r displaystyle X subseteq mathbb R n rho in mathbb R n mathrm fest forall x y in X x triangleleft y Leftrightarrow left x rho right geq left y rho right quad nbsp Sprechweisen X displaystyle X nbsp ist auf r displaystyle rho nbsp gerichtet oder r displaystyle mathit rho nbsp ist Richtungszentrum von X displaystyle X nbsp Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion f X R n displaystyle f colon X to mathbb R n nbsp fur x r displaystyle x to rho nbsp als Netz Konvergenz des zugehorigen Netzes auffassen X N n m X n m n m displaystyle X mathbb N forall n m in X n triangleleft m Leftrightarrow n mid m nbsp In der Bedeutung n displaystyle n nbsp teilt m displaystyle m nbsp Die Forderung R3 wird erfullt durch das kleinste gemeinsame Vielfache kgV Die gerichtete Menge N displaystyle mathbb N mid nbsp kommt zum Einsatz bei kategoriellen Limites bspw den proendlichen Zahlen X N n m X n m n m displaystyle X mathbb N forall n m in X n triangleleft m Leftrightarrow n leq m nbsp X R x y X x y x y displaystyle X mathbb R forall x y in X x triangleleft y Leftrightarrow x leq y nbsp Mit Hilfe dieser gerichteten Menge lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen fur x displaystyle x to infty nbsp bzw n displaystyle n to infty nbsp ahnlich dem ersten Beispiel als Netz Konvergenzen ihrer zugehorigen Netze auffassen X N 2 n m p q X n m p q n p m q displaystyle X mathbb N 2 forall n m p q in X n m triangleleft p q Leftrightarrow n leq p land m leq q nbsp Mit dieser Richtung auf N 2 displaystyle mathbb N 2 nbsp lasst sich Konvergenz von Doppelfolgen wiederum als Netzkonvergenz definieren M displaystyle M nbsp eine beliebige Menge und X P M displaystyle X mathcal P M nbsp die Potenzmenge A B X A B A B displaystyle forall A B in X A triangleleft B Leftrightarrow A subseteq B nbsp Die Forderung R3 wird erfullt durch die Vereinigungsmenge Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 15 Auflage Teubner Stuttgart u a 2003 ISBN 3 519 62233 5 Einzelnachweise Bearbeiten Heuser S 249 250 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gerichtete Menge amp oldid 233488425
