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Umgebungsbasis Als bezeichnet man in der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ein spezielles Mengensystem über die

Umgebungsbasis

Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Räumen wie lokalkompakte Räume und lokalkonvexe Räume definieren. Außerdem greift das erste Abzählbarkeitsaxiom auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften. Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum und darin ein .

Dann heißt eine Familie

von Umgebungen von eine Umgebungsbasis von , wenn jede Umgebung von Obermenge einer der Mengen für mindestens ein ist.

Beispiele Bearbeiten

Betrachtet man den , versehen mit einer beliebigen Norm , so ist

die offene Kugel mit Radius um den Punkt . Eine Umgebungsbasis bezüglich der Normtopologie wird dann gebildet von

In diesem Fall lässt sich auch eine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch

Analog lässt sich in jedem metrischen Raum eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln

definieren.

Spezialfall Nullumgebungsbasis Bearbeiten

Liegt ein topologischer Vektorraum vor, so wird eine aus Umgebungen von bestehende Umgebungsbasis auch als Nullumgebungsbasis bezeichnet. Für jeden Punkt und jede derartige Nullumgebungsbasis gewinnt man eine Umgebungsbasis von durch Translation:

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Als Umgebungsfilter oder Umgebungssystem von wird die Menge aller Umgebungen von bezeichnet. Der Umgebungsfilter von ist folglich die größtmögliche Umgebungsbasis von und dem Namen entsprechend ein Filter.

Eigenschaften Bearbeiten

Besitzt ein topologischer Raum eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man, dass er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Solche Räume sind aus mathematischer Sicht "klein" und leichter zu handhaben.

Literatur Bearbeiten

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Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ein spezielles Mengensystem Uber die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Raumen wie lokalkompakte Raume und lokalkonvexe Raume definieren Ausserdem greift das erste Abzahlbarkeitsaxiom auf die Machtigkeit der Umgebungsbasis zuruck und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Spezialfall Nullumgebungsbasis 4 Verwandte Begriffe 5 Eigenschaften 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein topologischer Raum X t displaystyle X tau nbsp und darin ein x X displaystyle x in X nbsp Dann heisst eine Familie U x U x i i I displaystyle mathcal U x U x i i in I nbsp von Umgebungen von x displaystyle x nbsp eine Umgebungsbasis von x displaystyle x nbsp wenn jede Umgebung von x displaystyle x nbsp Obermenge einer der Mengen U x i displaystyle U x i nbsp fur mindestens ein i I displaystyle i in I nbsp ist Beispiele BearbeitenBetrachtet man den R n displaystyle mathbb R n nbsp versehen mit einer beliebigen Norm displaystyle cdot nbsp so ist B r x y R n x y lt r displaystyle B r x y in mathbb R n x y lt r nbsp die offene Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp um den Punkt x displaystyle x nbsp Eine Umgebungsbasis bezuglich der Normtopologie wird dann gebildet von U x B r x r 0 displaystyle mathcal U x B r x r in 0 infty nbsp In diesem Fall lasst sich auch eine abzahlbare Umgebungsbasis definieren durch U x B 1 k x k N displaystyle mathcal U x B tfrac 1 k x k in mathbb N nbsp Analog lasst sich in jedem metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp eine abzahlbare Umgebungsbasis bezuglich der von der Metrik erzeugten Topologie uber die offenen Kugeln B r x y X d x y lt r displaystyle B r x y in X d x y lt r nbsp definieren Spezialfall Nullumgebungsbasis BearbeitenLiegt ein topologischer Vektorraum X displaystyle X nbsp vor so wird eine aus Umgebungen von 0 X displaystyle 0 in X nbsp bestehende Umgebungsbasis U 0 U 0 i i I displaystyle mathcal U 0 U 0 i i in I nbsp auch als Nullumgebungsbasis bezeichnet Fur jeden Punkt x X displaystyle x in X nbsp und jede derartige Nullumgebungsbasis U 0 displaystyle mathcal U 0 nbsp gewinnt man eine Umgebungsbasis U x displaystyle mathcal U x nbsp von x displaystyle x nbsp durch Translation U x x U 0 x U 0 i i I displaystyle mathcal U x x mathcal U 0 x U 0 i i in I nbsp Verwandte Begriffe BearbeitenAls Umgebungsfilter oder Umgebungssystem von x displaystyle x nbsp wird die Menge aller Umgebungen von x displaystyle x nbsp bezeichnet Der Umgebungsfilter von x displaystyle x nbsp ist folglich die grosstmogliche Umgebungsbasis von x displaystyle x nbsp und dem Namen entsprechend ein Filter Eigenschaften BearbeitenBesitzt ein topologischer Raum eine hochstens abzahlbare Umgebungsbasis so sagt man dass er das erste Abzahlbarkeitsaxiom erfullt Solche Raume sind aus mathematischer Sicht klein und leichter zu handhaben Literatur BearbeitenBoto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001 ISBN 978 3 540 67790 1 doi 10 1007 978 3 642 56860 2 Horst Schubert Topologie Eine Einfuhrung Mathematische Leitfaden 4 Auflage B G Teubner Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 Dirk Werner Funktionalanalysis 7 korrigierte und erweiterte Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21016 7 doi 10 1007 978 3 642 21017 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Umgebungsbasis amp oldid 222695146