www.wikidata.de-de.nina.az

Normtopologie Eine ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum die durch die Norm des Vektorrau

Normtopologie

Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.

Definition Bearbeiten

Beziehungen zwischen Norm, Metrik und Topologie

Ist ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren eine Metrik

auf . Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum . Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor durch

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge offen, falls

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf eine Topologie

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Topologie-Axiome Bearbeiten

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

  1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
    Die leere Menge ist offen, da es kein gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
  2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
    Seien die Mengen mit offen. Dann existieren Schranken und ein aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass für gilt. Wählt man nun , dann ist und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
  3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
    Sei nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen für offen. Liegt in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index mit und eine Schranke , sodass gilt. Daraus folgt dann und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

Eigenschaften Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Topologie Axiome 3 Eigenschaften 4 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Beziehungen zwischen Norm Metrik und TopologieIst V displaystyle V cdot nbsp ein normierter Vektorraum so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren x y V displaystyle x y in V nbsp eine Metrik d x y x y displaystyle d x y x y nbsp auf V displaystyle V nbsp Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum V d displaystyle V d nbsp Eine Metrik kann nun verwendet werden um eine e Umgebung um einen Vektor x V displaystyle x in V nbsp durch U e x y V d x y lt e displaystyle U varepsilon x y in V d x y lt varepsilon nbsp zu definieren Damit heisst dann eine Teilmenge M V displaystyle M subset V nbsp offen falls x M e gt 0 U e x M displaystyle forall x in M exists varepsilon gt 0 U varepsilon x subset M nbsp gilt Uber diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf V displaystyle V nbsp eine Topologie T M V M offen displaystyle mathcal T M subset V M text offen nbsp Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum V T displaystyle V mathcal T nbsp und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heisst Normtopologie Topologie Axiome BearbeitenDie Normtopologie ist tatsachlich eine Topologie wie sich durch eine Uberprufung der drei Topologie Axiome die in der folgenden Form fur alle metrischen Raume gultig ist nachweisen lasst Die leere Menge und die Grundmenge sind offen Die leere Menge ist offen da es kein x displaystyle x nbsp gibt fur das eine geeignete e Umgebung gefunden werden musste Die Grundmenge V displaystyle V nbsp ist offen da sie eine e Umgebung aller ihrer Elemente ist Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen Seien die Mengen M 1 M n displaystyle M 1 ldots M n nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp offen Dann existieren Schranken e 1 e n displaystyle varepsilon 1 ldots varepsilon n nbsp und ein x displaystyle x nbsp aus dem Schnitt dieser Mengen sodass U e i x M i displaystyle U varepsilon i x subset M i nbsp fur i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp gilt Wahlt man nun e min e 1 e n displaystyle varepsilon min varepsilon 1 ldots varepsilon n nbsp dann ist U e x M 1 M n displaystyle U varepsilon x subset M 1 cap ldots cap M n nbsp und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen Sei I displaystyle I nbsp nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen M i displaystyle M i nbsp fur i I displaystyle i in I nbsp offen Liegt x displaystyle x nbsp in der Vereinigung dieser Mengen dann gibt es einen Index i I displaystyle i in I nbsp mit x M i displaystyle x in M i nbsp und eine Schranke e displaystyle varepsilon nbsp sodass U e x M i displaystyle U varepsilon x subset M i nbsp gilt Daraus folgt dann U e x i I M i displaystyle U varepsilon x subset bigcup i in I M i nbsp und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen Eigenschaften BearbeitenDie Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach Topologie zu unterscheiden Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch da zwei Vektoren x y V displaystyle x y in V nbsp mit x y displaystyle x neq y nbsp durch Umgebungen U e x displaystyle U varepsilon x nbsp und U e y displaystyle U varepsilon y nbsp mit e 1 2 d x y displaystyle textstyle varepsilon tfrac 1 2 d x y nbsp voneinander getrennt werden Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt wenn er eine beschrankte und konvexe Nullumgebung besitzt Literatur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normtopologie amp oldid 233862628