www.wikidata.de-de.nina.az

Schwache Topologie Die schwache Topologie ist eine spezielle Topologie und im Grenzgebiet der beiden mathematischen Teil

Schwache Topologie

Die schwache Topologie ist eine spezielle Topologie und im Grenzgebiet der beiden mathematischen Teilgebiete der Topologie und Funktionalanalysis anzusiedeln. Sie wird auf normierten Räumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Hausdorff-Räumen definiert.

Die schwache Topologie ist eng mit der schwachen Konvergenz verbunden. Jedoch kann es vorkommen, dass die Charakterisierung topologischer Eigenschaften durch Folgen (was bei der schwachen Konvergenz geschieht) nicht mit der rein topologischen Charakterisierung (wie sie bei der schwachen Topologie geschieht) zusammenfällt. So ist es möglich, dass abgeschlossene Mengen in der schwachen Topologie nicht schwach folgenabgeschlossen sind.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum wie beispielsweise ein normierter Raum, versehen mit der Normtopologie. Sei der Dualraum von .

Die schwache Topologie lässt sich auf zweierlei äquivalente Arten definieren: entweder als Initialtopologie oder über die Angabe einer Nullumgebungsbasis.

Über den Zugang als Initialtopologie ist die schwache Topologie auf als die Initialtopologie auf bezüglich definiert. Sie ist somit die gröbste Topologie auf , so dass alle stetig sind. Als Initialtopologie besitzt sie die Subbasis

und wird durch diese eindeutig bestimmt.

Für den Zugang mittels einer Nullumgebungsbasis definiert man

wobei hier ist. Die schwache Topologie ist dann diejenige Topologie auf mit der Nullumgebungsbasis

und wird durch diese eindeutig bestimmt.

Offene Mengen in der schwachen Topologie Bearbeiten

Je nach Definition werden die offenen Mengen in der schwachen Topologie anders konstruiert.

Bei der Konstruktion als Initialtopologie bildet man zuerst die bei der Definition angegebene Subbasis der schwachen Topologie. Sie besteht aus Urbildern von offenen Mengen in unter den Elementen von . Alle Mengen in sind offen in der schwachen Topologie. Anschließend bildet man die Menge aller Schnitte von endlich vielen Mengen aus der Subbasis :

bildet dann eine Basis der schwachen Topologie und alle Mengen aus sind dann offen bezüglich der schwachen Topologie. Die schwache Topologie selbst besteht dann aus allen Mengen, die eine Vereinigung von (beliebig vielen) Mengen aus sind.

Bei der Konstruktion über die Nullumgebungsbasis nutzt man aus, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Somit gilt dann

Dies nutzt einerseits aus, dass eine Menge genau dann eine Umgebung eines Punktes ist, wenn sie eine Menge der Umgebungsbasis von enthält, und dass die Umgebungsbasis von im Falle der schwachen Topologie genau entspricht.

Eigenschaften Bearbeiten

Bezeichnungen und Notation Bearbeiten

Zur genaueren Abgrenzung von der schwachen Topologie wird die Topologie auch als Ausgangstopologie bezeichnet, im Falle eines normierten Raumes auch als Originaltopologie, starke Topologie oder Normtopologie.

Mengen aus der schwachen Topologie werden mit dem Präfix "schwach" gekennzeichnet. So heißt eine Menge

  • schwach abgeschlossen, wenn sie das Komplement einer Menge in der schwachen Topologie ist.
  • schwach kompakt, wenn zu jeder Überdeckung mit Mengen aus der schwachen Topologie eine endliche Teilüberdeckung existiert.

Ebenso ist der schwache Abschluss einer Menge die kleinste schwach abgeschlossene Menge, die enthält. Die weitere Benennung folgt diesem Schema.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5.
  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, doi:10.1007/978-3-642-21017-4.
  • Manfred Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen. 2., korrigierte und überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-15268-9, doi:10.1007/978-3-642-15269-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 405.
  2. Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. 2014, S. 150.
  3. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 410–411.
  4. Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. 2014, S. 175.
  5. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. 2010, S. 55.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die schwache Topologie ist eine spezielle Topologie und im Grenzgebiet der beiden mathematischen Teilgebiete der Topologie und Funktionalanalysis anzusiedeln Sie wird auf normierten Raumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Hausdorff Raumen definiert Die schwache Topologie ist eng mit der schwachen Konvergenz verbunden Jedoch kann es vorkommen dass die Charakterisierung topologischer Eigenschaften durch Folgen was bei der schwachen Konvergenz geschieht nicht mit der rein topologischen Charakterisierung wie sie bei der schwachen Topologie geschieht zusammenfallt So ist es moglich dass abgeschlossene Mengen in der schwachen Topologie nicht schwach folgenabgeschlossen sind 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Offene Mengen in der schwachen Topologie 3 Eigenschaften 4 Bezeichnungen und Notation 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein lokalkonvexer Hausdorff Raum X t 0 displaystyle X tau 0 nbsp wie beispielsweise ein normierter Raum versehen mit der Normtopologie Sei X displaystyle X nbsp der Dualraum von X displaystyle X nbsp Die schwache Topologie lasst sich auf zweierlei aquivalente Arten definieren entweder als Initialtopologie oder uber die Angabe einer Nullumgebungsbasis Uber den Zugang als Initialtopologie ist die schwache Topologie t w displaystyle tau w nbsp auf X displaystyle X nbsp als die Initialtopologie auf X displaystyle X nbsp bezuglich X displaystyle X nbsp definiert 2 Sie ist somit die grobste Topologie auf X displaystyle X nbsp so dass alle x X displaystyle x in X nbsp stetig sind Als Initialtopologie besitzt sie die Subbasis S w x 1 O O K offen x X displaystyle mathcal S w x 1 O mid O subset mathbb K text offen x in X nbsp und wird durch diese eindeutig bestimmt Fur den Zugang mittels einer Nullumgebungsbasis definiert man U F e x X x x e fur alle x F displaystyle U F varepsilon x in X mid x x leq varepsilon text fur alle x in F nbsp wobei hier F X displaystyle F subset X nbsp ist Die schwache Topologie ist dann diejenige Topologie auf X displaystyle X nbsp mit der Nullumgebungsbasis U 0 U F e F X F endlich e gt 0 displaystyle mathcal U 0 U F varepsilon mid F subset X F text endlich varepsilon gt 0 nbsp und wird durch diese eindeutig bestimmt 3 Offene Mengen in der schwachen Topologie BearbeitenJe nach Definition werden die offenen Mengen in der schwachen Topologie anders konstruiert Bei der Konstruktion als Initialtopologie bildet man zuerst die bei der Definition angegebene Subbasis S w displaystyle mathcal S w nbsp der schwachen Topologie Sie besteht aus Urbildern von offenen Mengen in K displaystyle mathbb K nbsp unter den Elementen von X displaystyle X nbsp Alle Mengen in S w displaystyle mathcal S w nbsp sind offen in der schwachen Topologie Anschliessend bildet man die Menge aller Schnitte von endlich vielen Mengen aus der Subbasis S w displaystyle mathcal S w nbsp B w A X A ist Schnitt endlich vieler Mengen aus S w displaystyle mathcal B w A subset X mid A text ist Schnitt endlich vieler Mengen aus mathcal S w nbsp B w displaystyle mathcal B w nbsp bildet dann eine Basis der schwachen Topologie und alle Mengen aus B w displaystyle mathcal B w nbsp sind dann offen bezuglich der schwachen Topologie Die schwache Topologie selbst besteht dann aus allen Mengen die eine Vereinigung von beliebig vielen Mengen aus B w displaystyle mathcal B w nbsp sind Bei der Konstruktion uber die Nullumgebungsbasis nutzt man aus dass eine Menge genau dann offen ist wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist Somit gilt dann A displaystyle A nbsp ist offen in der schwachen Topologie displaystyle iff nbsp fur alle x A displaystyle x in A nbsp existiert ein U U 0 displaystyle U in mathcal U 0 nbsp so dass x U A displaystyle x U subset A nbsp ist Dies nutzt einerseits aus dass eine Menge genau dann eine Umgebung eines Punktes x displaystyle x nbsp ist wenn sie eine Menge der Umgebungsbasis U x displaystyle mathcal U x nbsp von x displaystyle x nbsp enthalt und dass die Umgebungsbasis U x displaystyle mathcal U x nbsp von x displaystyle x nbsp im Falle der schwachen Topologie genau x U 0 displaystyle x mathcal U 0 nbsp entspricht Eigenschaften BearbeitenDie schwache Topologie macht X displaystyle X nbsp zu einem lokalkonvexen Raum Die abgeschlossene Einheitskugel von X displaystyle X nbsp ist genau dann schwach kompakt wenn X displaystyle X nbsp ein reflexiver Banachraum ist In lokalkonvexen topologischen Vektorraumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmengen schwach abgeschlossen Der Satz von Eberlein Smulian stellt die Aquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit bzgl der schwachen Topologie auf Banachraumen fest Bezeichnungen und Notation BearbeitenZur genaueren Abgrenzung von der schwachen Topologie t w displaystyle tau w nbsp wird die Topologie t 0 displaystyle tau 0 nbsp auch als Ausgangstopologie 4 bezeichnet im Falle eines normierten Raumes auch als Originaltopologie starke Topologie oder Normtopologie 5 Mengen aus der schwachen Topologie werden mit dem Prafix schwach gekennzeichnet So heisst eine Menge schwach abgeschlossen wenn sie das Komplement einer Menge in der schwachen Topologie ist schwach kompakt wenn zu jeder Uberdeckung mit Mengen aus der schwachen Topologie eine endliche Teiluberdeckung existiert Ebenso ist der schwache Abschluss einer Menge A displaystyle A nbsp die kleinste schwach abgeschlossene Menge die A displaystyle A nbsp enthalt Die weitere Benennung folgt diesem Schema Siehe auch BearbeitenBeschrankte schwach Topologie Produkttopologie Schwach Topologie Starke OperatortopologieWeblinks BearbeitenM I Voitsekhovskii weak topology In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Weak Topology In MathWorld englisch Literatur BearbeitenWinfried Kaballo Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie Distributionen lokalkonvexe Methoden Spektraltheorie 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 37793 8 doi 10 1007 978 3 642 37794 5 Hans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis 6 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 22260 3 doi 10 1007 978 3 642 22261 0 Dirk Werner Funktionalanalysis 7 korrigierte und erweiterte Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21016 7 doi 10 1007 978 3 642 21017 4 Manfred Dobrowolski Angewandte Funktionalanalysis Funktionalanalysis Sobolev Raume und elliptische Differentialgleichungen 2 korrigierte und uberarbeitete Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2010 ISBN 978 3 642 15268 9 doi 10 1007 978 3 642 15269 6 Einzelnachweise Bearbeiten Werner Funktionalanalysis 2011 S 405 Kaballo Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie 2014 S 150 Werner Funktionalanalysis 2011 S 410 411 Kaballo Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie 2014 S 175 Dobrowolski Angewandte Funktionalanalysis 2010 S 55 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwache Topologie amp oldid 174788713