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Reflexiver Raum Reflexivität ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der Algebra Ein Raum ist reflexiv wenn die n

Reflexiver Raum

Reflexivität ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der Algebra. Ein Raum ist reflexiv, wenn die natürliche Einbettung in seinen Bidualraum ein Isomorphismus ist, wie unten erläutert wird. Damit kann ein reflexiver Raum mit dem Dualraum seines Dualraums identifiziert werden.

Reflexive Räume Bearbeiten

In der Funktionalanalysis ist Reflexivität eine Eigenschaft von normierten Vektorräumen.

Definition Bearbeiten

Es sei ein normierter Raum (über oder ). Man kann zeigen, dass sein (topologischer) Dualraum ein Banachraum ist. Dessen Dualraum wird mit bezeichnet und heißt Bidualraum von .

Durch die Abbildungsvorschrift

wird eine stetige lineare Isometrie definiert, die kanonische Einbettung. Die definierende Gleichung von liest sich also in Bilinearformschreibweise so:

Als Isometrie ist injektiv. Falls zusätzlich surjektiv ist, also insgesamt ein isometrischer Isomorphismus zwischen und , so nennt man einen reflexiven Raum.

Beispiele Bearbeiten

  • Jeder endlichdimensionale Banachraum ist reflexiv.
  • Nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz ist jeder Hilbertraum reflexiv.
  • Abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume sind reflexiv.
  • Für alle und alle sind die Lebesgue-Räume sowie alle Sobolev-Räume für alle offenen Teilmengen reflexiv.
  • Für alle sind die Folgenräume mit reflexiv.
  • Die Banachräume sind nicht reflexiv.
  • 1951 hat Robert C. James den nach ihm benannten James-Raum konstruiert. Dieser ist nicht reflexiv, aber isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum, das heißt die kanonische Einbettung des Raumes in seinen Bidual ist nicht surjektiv, aber dennoch gibt es einen anderen isometrischen Isomorphismus des Raumes auf seinen Bidual.
  • Alle UMD-Räume sind reflexiv.

Reflexivitätskriterien Bearbeiten

Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn

  • (Satz von Kakutani) die Einheitskugel kompakt in der schwachen Topologie ist.
  • (Satz von Eberlein–Šmulian) jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.
  • (Satz von James) jedes stetige lineare Funktional seine Norm auf der Einheitskugel annimmt.
  • (Šmulian, 1939) jede absteigende Folge nicht-leerer, beschränkter, abgeschlossener und konvexer Mengen einen nicht-leeren Durchschnitt hat.

Die letzte Charakterisierung ist bemerkenswert, da sie ausschließlich den Banachraum selbst verwendet, also insbesondere keinen Bezug auf den Bidualraum (siehe Definition) oder den Dualraum (Verwendung der schwachen Topologie oder Satz von James) nimmt.

Eigenschaften reflexiver Räume Bearbeiten

Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum, denn er ist nach Definition isomorph zum vollständigen Bidualraum. In reflexiven Banachräumen ist die abgeschlossene Einheitskugel (allgemeiner jede beschränkte und schwach abgeschlossene Teilmenge) schwach kompakt, d. h. kompakt bzgl. der schwachen Topologie (dies folgt direkt aus dem Satz von Banach-Alaoğlu über die schwach*-Kompaktheit der Einheitskugel des Bidualraum eines reflexiven Banachraums).

Diese Eigenschaft charakterisiert die reflexiven Räume: Ein Banachraum ist genau dann reflexiv, wenn seine Einheitskugel schwach kompakt ist.

Insbesondere hat jedes beschränkte Netz in einem reflexiven Raum ein schwach konvergentes Teilnetz. Mit dem Satz von Eberlein–Šmulian folgt, dass jede beschränkte Folge in einem reflexiven Banachraum eine schwach konvergente Teilfolge besitzt. Weiter gelten folgende Permanenzaussagen:

  • ist genau dann reflexiv, wenn reflexiv und vollständig ist.
  • Ist reflexiv und ein abgeschlossener Unterraum, so sind und reflexiv.

Anwendungen Bearbeiten

Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.

Reflexive lokalkonvexe Räume Bearbeiten

Versieht man den Dualraum eines lokalkonvexen Raums X mit der starken Topologie, so erhält man eine injektive, stetige, lineare Abbildung . heißt reflexiv, wenn ein topologischer Isomorphismus ist und halbreflexiv, wenn surjektiv ist. Im Gegensatz zum Fall normierter Räume ist im halbreflexiven Fall nicht automatisch ein topologischer Isomorphismus. Es gelten folgende Sätze:

Reflexive Moduln Bearbeiten

Ist ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement, so wird der -Modul der duale Modul von genannt; der Modul heißt Bidualmodul. Es gibt eine kanonische Abbildung

die im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist. Ist sie ein Isomorphismus, so heißt reflexiv.

Literatur Bearbeiten

  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 1.3: Characterizations of Reflexivity
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Reflexivitat ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der Algebra Ein Raum ist reflexiv wenn die naturliche Einbettung in seinen Bidualraum ein Isomorphismus ist wie unten erlautert wird Damit kann ein reflexiver Raum mit dem Dualraum seines Dualraums identifiziert werden Inhaltsverzeichnis 1 Reflexive Raume 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Reflexivitatskriterien 1 4 Eigenschaften reflexiver Raume 1 5 Anwendungen 1 6 Reflexive lokalkonvexe Raume 2 Reflexive Moduln 3 LiteraturReflexive Raume BearbeitenIn der Funktionalanalysis ist Reflexivitat eine Eigenschaft von normierten Vektorraumen Definition Bearbeiten Es sei X X displaystyle X cdot X nbsp ein normierter Raum uber R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp Man kann zeigen dass sein topologischer Dualraum X displaystyle X nbsp ein Banachraum ist Dessen Dualraum X displaystyle left X right nbsp wird mit X displaystyle X nbsp bezeichnet und heisst Bidualraum von X displaystyle X nbsp Durch die Abbildungsvorschrift X X x x x x displaystyle X to X x mapsto x mapsto x x nbsp wird eine stetige lineare Isometrie J X X X displaystyle J X colon X to X nbsp definiert die kanonische Einbettung Die definierende Gleichung von J X displaystyle J X nbsp liest sich also in Bilinearformschreibweise so J X x x X x x X x X displaystyle langle J X x x rangle X langle x x rangle X quad forall x in X nbsp Als Isometrie ist J X displaystyle J X nbsp injektiv Falls J X displaystyle J X nbsp zusatzlich surjektiv ist also insgesamt ein isometrischer Isomorphismus zwischen X displaystyle X nbsp und X displaystyle X nbsp so nennt man X displaystyle X nbsp einen reflexiven Raum Beispiele Bearbeiten Jeder endlichdimensionale Banachraum ist reflexiv Nach dem Darstellungssatz von Frechet Riesz ist jeder Hilbertraum reflexiv Abgeschlossene Unterraume reflexiver Raume sind reflexiv Fur alle 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp und alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp sind die Lebesgue Raume L p W displaystyle L p left Omega right nbsp sowie alle Sobolev Raume W k p W displaystyle W k p left Omega right nbsp fur alle offenen Teilmengen W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp reflexiv Fur alle 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp sind die Folgenraume ℓ p K displaystyle ell p mathbb K nbsp mit K R C displaystyle mathbb K mathbb R mathbb C nbsp reflexiv Die Banachraume ℓ 1 K ℓ K L 1 W L W B C k W displaystyle ell 1 mathbb K ell infty mathbb K L 1 Omega L infty Omega BC k Omega nbsp sind nicht reflexiv 1951 hat Robert C James den nach ihm benannten James Raum konstruiert Dieser ist nicht reflexiv aber isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum das heisst die kanonische Einbettung des Raumes in seinen Bidual ist nicht surjektiv aber dennoch gibt es einen anderen isometrischen Isomorphismus des Raumes auf seinen Bidual Alle UMD Raume sind reflexiv Reflexivitatskriterien Bearbeiten Ein Banachraum ist genau dann reflexiv wenn Satz von Kakutani die Einheitskugel kompakt in der schwachen Topologie ist Satz von Eberlein Smulian jede beschrankte Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt Satz von James jedes stetige lineare Funktional seine Norm auf der Einheitskugel annimmt Smulian 1939 jede absteigende Folge nicht leerer beschrankter abgeschlossener und konvexer Mengen einen nicht leeren Durchschnitt hat Die letzte Charakterisierung ist bemerkenswert da sie ausschliesslich den Banachraum selbst verwendet also insbesondere keinen Bezug auf den Bidualraum siehe Definition oder den Dualraum Verwendung der schwachen Topologie oder Satz von James nimmt Eigenschaften reflexiver Raume Bearbeiten Jeder reflexive normierte Raum ist ein Banachraum denn er ist nach Definition isomorph zum vollstandigen Bidualraum In reflexiven Banachraumen ist die abgeschlossene Einheitskugel allgemeiner jede beschrankte und schwach abgeschlossene Teilmenge schwach kompakt d h kompakt bzgl der schwachen Topologie dies folgt direkt aus dem Satz von Banach Alaoglu uber die schwach Kompaktheit der Einheitskugel des Bidualraum eines reflexiven Banachraums Diese Eigenschaft charakterisiert die reflexiven Raume Ein Banachraum ist genau dann reflexiv wenn seine Einheitskugel schwach kompakt ist Insbesondere hat jedes beschrankte Netz in einem reflexiven Raum ein schwach konvergentes Teilnetz Mit dem Satz von Eberlein Smulian folgt dass jede beschrankte Folge in einem reflexiven Banachraum eine schwach konvergente Teilfolge besitzt Weiter gelten folgende Permanenzaussagen X displaystyle X nbsp ist genau dann reflexiv wenn X displaystyle X nbsp reflexiv und X displaystyle X nbsp vollstandig ist Ist X displaystyle X nbsp reflexiv und Y X displaystyle Y subset X nbsp ein abgeschlossener Unterraum so sind Y displaystyle Y nbsp und X Y displaystyle X Y nbsp reflexiv Anwendungen Bearbeiten Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssatzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschrankter Folgen haufig Losungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen Reflexive lokalkonvexe Raume Bearbeiten Versieht man den Dualraum eines lokalkonvexen Raums X mit der starken Topologie so erhalt man eine injektive stetige lineare Abbildung J X X X J X x x x x displaystyle J X colon X rightarrow X J X x x x x nbsp X displaystyle X nbsp heisst reflexiv wenn J X displaystyle J X nbsp ein topologischer Isomorphismus ist und halbreflexiv wenn J X displaystyle J X nbsp surjektiv ist Im Gegensatz zum Fall normierter Raume ist J X displaystyle J X nbsp im halbreflexiven Fall nicht automatisch ein topologischer Isomorphismus Es gelten folgende Satze Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann halbreflexiv wenn jede schwach abgeschlossene beschrankte Menge schwach kompakt ist Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann reflexiv wenn er halbreflexiv und quasitonneliert ist Reflexive Moduln BearbeitenIst M displaystyle M nbsp ein Modul uber einem kommutativen Ring A displaystyle A nbsp mit Einselement so wird der A displaystyle A nbsp Modul M Hom A M A displaystyle M operatorname Hom A M A nbsp der duale Modul von M displaystyle M nbsp genannt der Modul M M displaystyle M left M right nbsp heisst Bidualmodul Es gibt eine kanonische Abbildung M M m l l m displaystyle M to M quad m mapsto lambda mapsto lambda m nbsp die im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist Ist sie ein Isomorphismus so heisst M displaystyle M nbsp reflexiv Literatur BearbeitenR Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Robert E Megginson An Introduction to Banach Space Theory Springer New York 1998 ISBN 0 387 98431 3 Kapitel 1 3 Characterizations of Reflexivity Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reflexiver Raum amp oldid 237459072