Ein Sobolev Raum auch Sobolew Raum nach Sergei Lwowitsch Sobolew bei einer Transliteration und in englischer Transkription Sobolev ist in der Mathematik ein Funktionenraum von schwach differenzierbaren Funktionen der zugleich ein Banachraum ist Das Konzept wurde durch die systematische Theorie der Variationsrechnung zu Anfang des 20 Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben Diese minimiert Funktionale uber Funktionen Heute bilden Sobolev Raume die Grundlage der Losungstheorie partieller Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Sobolev Raume ganzzahliger Ordnung 1 1 Definition als Funktionenraum schwacher Ableitungen 1 2 Sobolev Norm 1 3 Definition als topologischer Abschluss 1 4 Eigenschaften 2 Randwertprobleme 2 1 Spuroperator 2 2 Spuroperator fur Lipschitz Gebiete 2 3 Sobolev Raum mit Nullrandbedingungen 3 Einbettungssatze 3 1 Sobolev Zahl 3 2 Einbettungssatz von Sobolev 3 3 Einbettungssatz von Rellich 3 4 Sobolevsche Einbettungssatze im Rd 4 Sobolev Raum reellwertiger Ordnung 4 1 Definition 4 2 Dual und Hilbertraum 5 Anwendungen 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseSobolev Raume ganzzahliger Ordnung BearbeitenDefinition als Funktionenraum schwacher Ableitungen Bearbeiten Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und nichtleer Sei 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp und k N displaystyle k in mathbb N nbsp Dann ist der Sobolev Raum W k p W displaystyle W k p Omega nbsp definiert als W k p W u L p W a N n mit a k existieren D a u L p W displaystyle W k p Omega left u in L p Omega forall alpha in mathbb N n text mit alpha leq k text existieren D alpha u in L p Omega right nbsp Dabei bezeichnet D a u displaystyle D alpha u nbsp die schwachen Ableitungen von u displaystyle u nbsp Mit anderen Worten ist der Sobolev Raum der Raum derjenigen reellwertigen Funktionen u L p W displaystyle u in L p Omega nbsp deren gemischte partielle schwache Ableitungen bis zur Ordnung k displaystyle k nbsp im Lebesgue Raum L p W displaystyle L p Omega nbsp liegen Fur W k p W displaystyle W k p Omega nbsp ist ebenfalls die Schreibweise W p k W displaystyle W p k Omega nbsp ublich Sobolev Norm Bearbeiten Fur Funktionen u W k p W displaystyle u in W k p Omega nbsp definiert man die W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Norm durch u W k p W a k D a u L p W p 1 p falls p lt max a k D a u L W falls p displaystyle u W k p Omega begin cases left sum alpha leq k D alpha u L p Omega p right 1 p amp text falls p lt infty max alpha leq k D alpha u L infty Omega amp text falls p infty end cases nbsp Dabei ist a displaystyle alpha nbsp ein Multiindex a a 1 a n displaystyle alpha alpha 1 cdots alpha n nbsp mit a i N 0 displaystyle alpha i in mathbb N 0 nbsp und D a u a 1 x 1 a 1 a n x n a n u displaystyle textstyle D alpha u left frac partial alpha 1 partial x 1 alpha 1 cdots frac partial alpha n partial x n alpha n right u nbsp Weiterhin ist a i 1 n a i displaystyle textstyle alpha sum i 1 n alpha i nbsp Die hier angegebene Sobolev Norm ist als Norm aquivalent zur Summe der L p displaystyle L p nbsp Normen aller moglicher Kombinationen partieller Ableitungen bis zur k displaystyle k nbsp ten Ordnung Der Sobolev Raum W k p W displaystyle W k p Omega nbsp ist bezuglich der jeweiligen Sobolev Norm vollstandig also ein Banachraum Definition als topologischer Abschluss Bearbeiten Betrachten wir nun den Raum der C W displaystyle C infty Omega nbsp Funktionen deren partielle Ableitungen bis zum Grad k displaystyle k nbsp in L p W displaystyle L p Omega nbsp liegen und bezeichnen diesen Funktionenraum mit C k p W displaystyle C k p Omega nbsp Da verschiedene C k p displaystyle C k p nbsp Funktionen nie zueinander L p displaystyle L p nbsp aquivalent siehe auch Lp Raum sind kann man C k p W displaystyle C k p Omega nbsp in L p W displaystyle L p Omega nbsp einbetten und es gilt folgende Inklusion C k p W W k p W L p W displaystyle C k p Omega subset W k p Omega subset L p Omega nbsp Der Raum C k p W displaystyle C k p Omega nbsp ist bzgl der W k p displaystyle W k p nbsp Norm nicht vollstandig Vielmehr ist dessen Vervollstandigung gerade W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k konnen als stetige Operatoren auf diesen Sobolev Raum eindeutig stetig fortgesetzt werden Diese Fortsetzungen sind gerade die schwachen Ableitungen Somit erhalt man eine alternative Definition von Sobolevraumen Nach dem Satz von Meyers Serrin ist sie aquivalent zur obigen Definition Eigenschaften Bearbeiten Wie bereits erwahnt ist W k p W displaystyle W k p Omega nbsp mit der Norm W k p W displaystyle cdot W k p Omega nbsp ein vollstandiger Vektorraum somit also ein Banachraum Fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty nbsp ist er sogar reflexiv Fur p 2 displaystyle p 2 nbsp wird die Norm durch das Skalarprodukt u v W k 2 W a k D a u D a v L 2 W displaystyle u v W k 2 Omega sum alpha leq k D alpha u D alpha v L 2 Omega nbsp induziert W k 2 W displaystyle W k 2 Omega nbsp ist daher ein Hilbertraum und man schreibt auch H k W W k 2 W displaystyle H k Omega W k 2 Omega nbsp Randwertprobleme BearbeitenDie schwache Ableitung beziehungsweise die Sobolev Raume wurden zum Losen partieller Differentialgleichungen entwickelt Jedoch gibt es beim Losen von Randwertproblemen noch eine Schwierigkeit Die schwach differenzierbaren Funktionen sind ebenso wie die L p displaystyle L p nbsp Funktionen auf Nullmengen nicht definiert Der Ausdruck f W g displaystyle f partial Omega g nbsp fur f W q p W displaystyle f in W q p Omega nbsp und g C W displaystyle g in C partial Omega nbsp ergibt also erst einmal keinen Sinn Fur dieses Problem wurde die Restriktionsabbildung f f W displaystyle f mapsto f partial Omega nbsp zum Spuroperator verallgemeinert Spuroperator Bearbeiten Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp ein beschranktes Gebiet mit C m displaystyle C m nbsp Rand m N displaystyle m in mathbb N nbsp Dann existiert ein beschrankter linearer Operator T W m p W W m 1 q W displaystyle T W m p Omega to W m 1 q partial Omega nbsp sodass T u u W displaystyle Tu u partial Omega nbsp falls u C m W displaystyle u in C m overline Omega nbsp und T u W m 1 q W C u W m p W displaystyle Tu W m 1 q partial Omega leq C u W m p Omega nbsp fur alle u W m p W displaystyle u in W m p Omega nbsp gilt Dabei ist q n 1 p n p displaystyle q n 1 p n p nbsp wenn p lt n displaystyle p lt n nbsp q lt displaystyle q lt infty nbsp wenn p n displaystyle p n nbsp q displaystyle q infty nbsp wenn p gt n displaystyle p gt n nbsp Die Konstante C displaystyle C nbsp hangt nur von p displaystyle p nbsp W displaystyle Omega nbsp m displaystyle m nbsp und q displaystyle q nbsp ab Der Operator T displaystyle T nbsp heisst Spuroperator 1 Eine ahnliche Aussage lasst sich auch fur Lipschitz Gebiete beweisen Spuroperator fur Lipschitz Gebiete Bearbeiten Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp ein beschranktes Lipschitz Gebiet also mit C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp Rand Dann existiert ein beschrankter linearer Operator T W 1 p W L q W displaystyle T W 1 p Omega to L q partial Omega nbsp sodass T u u W displaystyle Tu u partial Omega nbsp falls u C W displaystyle u in C infty overline Omega nbsp und T u L q W C u W 1 p W displaystyle Tu L q partial Omega leq C u W 1 p Omega nbsp fur alle u W 1 p W displaystyle u in W 1 p Omega nbsp gilt Dabei ist q n 1 p n p displaystyle q n 1 p n p nbsp wenn p lt n displaystyle p lt n nbsp q lt displaystyle q lt infty nbsp wenn p n displaystyle p n nbsp q displaystyle q infty nbsp wenn p gt n displaystyle p gt n nbsp Die Konstante C displaystyle C nbsp hangt ausschliesslich von p displaystyle p nbsp W displaystyle Omega nbsp und q displaystyle q nbsp ab 2 Sobolev Raum mit Nullrandbedingungen Bearbeiten Mit W 0 k p W displaystyle W 0 k p Omega nbsp bezeichnet man den Abschluss des Testfunktionenraums C c W displaystyle C c infty Omega nbsp in W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Das bedeutet u W 0 k p W displaystyle u in W 0 k p Omega nbsp gilt genau dann wenn es eine Folge u m m N C c W displaystyle u m m in mathbb N subset C c infty Omega nbsp gibt mit u m u displaystyle u m to u nbsp in W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp kann man beweisen dass diese Menge genau die Sobolev Funktionen mit Nullrandbedingungen sind Hat also W displaystyle Omega nbsp einen Lipschitz Rand 3 dann gilt u W 0 1 p W displaystyle u in W 0 1 p Omega nbsp genau dann wenn u W 0 displaystyle u partial Omega 0 nbsp im Sinne von Spuren gilt Einbettungssatze BearbeitenSobolev Zahl Bearbeiten Jedem Sobolev Raum W k p W displaystyle W k p Omega nbsp mit W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp ordnet man eine Zahl zu die wichtig im Zusammenhang mit Einbettungssatzen ist Man setzt g k n p displaystyle gamma k frac n p nbsp und nennt diese Zahl g displaystyle gamma nbsp die Sobolev Zahl Einbettungssatz von Sobolev Bearbeiten Es gibt mehrere miteinander in Beziehung stehende Aussagen die man mit Einbettungssatz von Sobolev sobolevscher Einbettungssatz oder mit Lemma von Sobolev bezeichnet Sei W displaystyle Omega nbsp eine offene und beschrankte Teilmenge von R n displaystyle mathbb R n nbsp 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp k N 0 displaystyle k in mathbb N 0 nbsp und g displaystyle gamma nbsp die Sobolev Zahl zu W k p W displaystyle W k p Omega nbsp Fur g gt m displaystyle gamma gt m nbsp existiert eine stetige Einbettung W k p W C m W C W displaystyle W k p Omega hookrightarrow C m Omega subset C Omega nbsp wobei C m W displaystyle C m Omega nbsp beziehungsweise C W displaystyle C Omega nbsp mit der Supremumsnorm ausgestattet sind Mit anderen Worten hat jede Aquivalenzklasse f W k p W displaystyle f in W k p Omega nbsp einen Vertreter in C m W displaystyle C m Omega nbsp Gilt hingegen g 0 displaystyle gamma leq 0 nbsp so kann man W k p W displaystyle W k p Omega nbsp zumindest stetig in den Raum L q W displaystyle L q Omega nbsp fur alle 1 q lt n p n k p displaystyle 1 leq q lt tfrac np n kp nbsp einbetten wobei n p 0 displaystyle tfrac np 0 infty nbsp gesetzt wird Aus dem sobolevschen Einbettungssatz lasst sich folgern dass es fur k m p n displaystyle k m p leq n nbsp eine stetige Einbettung W k p W W m q W displaystyle W k p Omega hookrightarrow W m q Omega nbsp fur alle 1 q n p n k m p displaystyle 1 leq q leq tfrac np n k m p nbsp gibt Einbettungssatz von Rellich Bearbeiten Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen und beschrankt und 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp Dann ist die Einbettung Id W 0 k p W W 0 k 1 p W displaystyle operatorname Id colon W 0 k p Omega hookrightarrow W 0 k 1 p Omega nbsp ein linearer kompakter Operator Dabei bezeichnet Id displaystyle operatorname Id nbsp die identische Abbildung Sobolevsche Einbettungssatze im Rd Bearbeiten Sei d 1 displaystyle d geqslant 1 nbsp fortan eine fest vorgegebene Raumdimension dann ist die Einbettung W 1 p R d L q R d displaystyle W 1 p mathbb R d subseteq L q mathbb R d nbsp 1 stetig sofern die Bedingungen 1 p q d p 1 d q und p q d 1 d d 1 displaystyle 1 leqslant p leqslant q leqslant infty quad frac d p 1 leqslant frac d q quad text und quad p q notin left left d infty right left 1 frac d d 1 right right nbsp erfullt sind d h es gibt eine Konstante C C d p q gt 0 displaystyle C C d p q gt 0 nbsp so dass die folgende Abschatzung gilt u L q R d C u W 1 p R d u W 1 p R d displaystyle left u right L q mathbb R d leqslant C left u right W 1 p mathbb R d quad forall u in W 1 p mathbb R d nbsp 2 Dieses Resultat folgt aus der Hardy Littlewood Sobolev Ungleichung fur gebrochene Integrationen Hierbei sind die Endpunktfalle p q d 1 d d 1 displaystyle p q in left left d infty right left 1 frac d d 1 right right nbsp gesondert zu untersuchen Im ersten Endpunktfall p q 1 d d 1 displaystyle p q left 1 frac d d 1 right nbsp ist die Einbettung W 1 1 R d L d d 1 R d displaystyle W 1 1 mathbb R d subseteq L frac d d 1 mathbb R d nbsp 3 ebenfalls stetig wobei wir 1 0 displaystyle frac 1 0 infty nbsp im Fall d 1 displaystyle d 1 nbsp setzen Daher gibt es erneut eine Konstante C C d gt 0 displaystyle C C d gt 0 nbsp so dass die folgende Abschatzung gilt u L d d 1 R d C u W 1 1 R d u W 1 1 R d displaystyle left u right L frac d d 1 mathbb R d leqslant C left u right W 1 1 mathbb R d quad forall u in W 1 1 mathbb R d nbsp 4 Dieses Resultat folgt aus der Loomis Whitney Ungleichung die auf Gagliardo und Nirenberg zuruckgeht Im zweiten Endpunktfall p q d displaystyle p q d infty nbsp ist die Einbettung W 1 d R d L R d displaystyle W 1 d mathbb R d subseteq L infty mathbb R d nbsp 5 nur fur d 1 displaystyle d 1 nbsp erfullt und stetig Dies folgt beispielsweise aus dem Fundamentalsatz der Analysis Fur d 2 displaystyle d geqslant 2 nbsp ist die Einbettung 5 grundsatzlich falsch und somit nicht erfullt Als Gegenbeispiel hierfur betrachte man die Funktion f x n 1 N ϕ 2 n x displaystyle f x sum n 1 N phi left 2 n x right nbsp fur N N displaystyle N in mathbb N nbsp ϕ C 0 R d displaystyle phi in C 0 infty mathbb R d nbsp und s u p p ϕ x R d 1 x 2 displaystyle mathrm supp phi subseteq x in mathbb R d mid 1 leqslant x leqslant 2 nbsp Insgesamt gibt es daher in Bezug auf 5 nur fur d 1 displaystyle d 1 nbsp eine Konstante C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp so dass die folgende Abschatzung gilt u L R C u W 1 1 R u W 1 1 R displaystyle left u right L infty mathbb R leqslant C left u right W 1 1 mathbb R quad forall u in W 1 1 mathbb R nbsp 6 Die Einbettungen 3 und 5 werden Sobolevsche Endpunkt Einbettungen und die Abschatzungen 4 und 6 Sobolevsche Endpunkt Ungleichungen genannt Allgemeiner erhalten wir sogar dass die Einbettung W k p R d W l q R d displaystyle W k p mathbb R d subseteq W l q mathbb R d nbsp 7 stetig ist sofern einer der folgenden Falle erfullt ist i 0 l k 1 lt p lt q d p k lt d q l displaystyle text i 0 leqslant l leqslant k quad 1 lt p lt q leqslant infty quad frac d p k lt frac d q l nbsp ii 0 l k 1 lt p q lt d p k d q l displaystyle text ii 0 leqslant l leqslant k quad 1 lt p leqslant q lt infty quad frac d p k leqslant frac d q l nbsp d h es gibt wieder eine Konstante C C d p q k l gt 0 displaystyle C C d p q k l gt 0 nbsp so dass die folgende Abschatzung gilt u W l q R d C u W k p R d u W k p R d displaystyle left u right W l q mathbb R d leqslant C left u right W k p mathbb R d quad forall u in W k p mathbb R d nbsp 8 Dieses Resultat lasst sich unter Verwendung von 1 durch vollstandige Induktion zeigen Die Einbettung 7 wird Sobolevsche Einbettung und die Abschatzung 8 Sobolevsche Ungleichung genannt Beachte dass die Einbettung im Falle q lt p displaystyle q lt p nbsp grundsatzlich nicht erfullt ist Die Bedingungen i und ii zeigen sehr schon inwiefern die zugehorigen Sobolev Zahlen d p k displaystyle frac d p k nbsp und d q l displaystyle frac d q l nbsp miteinander in Beziehung stehen Man beachte dass diese Version des Sobolevschen Einbettungssatzes im Vergleich zu der obigen Version ohne die zusatzliche und sehr einschrankende Bedingung k l p d displaystyle k l p leqslant d nbsp auskommt Die Beweise dieser Aussagen konnen in terrytao wordpress com Thm 3 Ex 20 Lem 4 Ex 24 und Ex 25 nachgelesen werden und lassen sich aus den Standardquellen unter diesen schwachen Voraussetzungen leider nicht direkt gewinnen Daruber hinaus gilt das folgende Einbettungsresultat Die Einbettung W d 1 R d C b R d displaystyle W d 1 mathbb R d subseteq C mathrm b mathbb R d nbsp 9 ist fur alle d 1 displaystyle d geqslant 1 nbsp stetig d h es gibt eine Konstante C C d gt 0 displaystyle C C d gt 0 nbsp so dass die folgende Abschatzung gilt u C u W d 1 R d u W d 1 R d displaystyle left u right infty leqslant C left u right W d 1 mathbb R d quad forall u in W d 1 mathbb R d nbsp 10 Hierbei bezeichnet C b R d displaystyle C mathrm b mathbb R d nbsp die Menge der auf dem R d displaystyle mathbb R d nbsp stetigen und beschrankten Funktionen und displaystyle left cdot right infty nbsp die Supremumsnorm auf dem R d displaystyle mathbb R d nbsp Sobolev Raum reellwertiger Ordnung BearbeitenDefinition Bearbeiten Oft werden auch Sobolev Raume mit reellen Exponenten s displaystyle s nbsp benutzt Diese sind im Ganzraumfall uber die Fourier Transformierte der beteiligten Funktion definiert Die Fourier Transformation wird hier mit F displaystyle mathcal F nbsp bezeichnet Fur s R s 0 displaystyle s in mathbb R s geq 0 nbsp ist eine Funktion f L 2 R n displaystyle f in L 2 mathbb R n nbsp ein Element von H s R n displaystyle H s mathbb R n nbsp falls z 1 z 2 s 2 F f z L 2 R n displaystyle zeta mapsto 1 zeta 2 frac s 2 cdot mathcal F f zeta in L 2 mathbb R n nbsp gilt Auf Grund der Identitat F a f i z a F f displaystyle mathcal F partial alpha f i zeta alpha mathcal F f nbsp sind dies fur s N displaystyle s in mathbb N nbsp dieselben Raume welche schon im ersten Abschnitt definiert wurden Mit f g H s R n R n 1 k 2 s F f k F g k d k displaystyle f g H s mathbb R n int mathbb R n 1 k 2 s mathcal F f k cdot overline mathcal F g k dk nbsp wird H s R n displaystyle H s mathbb R n nbsp zu einem Hilbertraum Die Norm ist gegeben durch f H s R n 1 2 s 2 F f L 2 R n displaystyle f H s mathbb R n 1 cdot 2 frac s 2 cdot mathcal F f L 2 mathbb R n nbsp Fur ein glatt berandetes beschranktes Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp wird der Raum H s W L 2 W displaystyle H s Omega subset L 2 Omega nbsp definiert als die Menge aller f L 2 W displaystyle f in L 2 Omega nbsp die sich zu einer auf R n displaystyle mathbb R n nbsp definierten Funktion in H s R n displaystyle H s mathbb R n nbsp fortsetzen lassen Fur s lt 0 displaystyle s lt 0 nbsp kann man ebenfalls Sobolev Raume definieren Dazu muss jedoch auf die Theorie der Distributionen zuruckgegriffen werden Sei S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp der Raum der temperierten Distributionen dann ist H s R n displaystyle H s mathbb R n nbsp fur alle s R displaystyle s in mathbb R nbsp durch H s R n f S R n 1 z 2 s 2 F f z L 2 R n displaystyle H s mathbb R n left f in mathcal S mathbb R n 1 zeta 2 frac s 2 cdot mathcal F f zeta in L 2 mathbb R n right nbsp definiert Dual und Hilbertraum Bearbeiten Betrachtet man den Banachraum H s displaystyle H s nbsp mit dem L 2 displaystyle L 2 nbsp Skalarprodukt u v u x v x d x displaystyle textstyle u v int u x overline v x mathrm d x nbsp so ist H s displaystyle H s nbsp sein Dualraum Jedoch kann man den Raum H s displaystyle H s nbsp mit Hilfe des Skalarproduktes u v H s 1 2 p n F u 3 F v 3 1 3 2 s d 3 displaystyle u v H s frac 1 2 pi n int mathcal F u xi mathcal F v xi 1 xi 2 s mathrm d xi nbsp als einen Hilbertraum verstehen Da Hilbertraume zu sich selbst dual sind ist nun H s displaystyle H s nbsp zu H s displaystyle H s nbsp und zu H s displaystyle H s nbsp bezuglich unterschiedlicher Produkte dual Man kann H s displaystyle H s nbsp und H s displaystyle H s nbsp mit Hilfe des isometrischen Isomorphismus v F 1 1 3 2 s F v 3 x F 1 F 1 D 2 s v 3 x 1 D 2 s v x displaystyle begin aligned v mapsto amp mathcal F 1 left 1 xi 2 s mathcal F v xi right x amp mathcal F 1 mathcal F 1 D 2 s v xi x amp 1 D 2 s v x end aligned nbsp identifizieren Auf analoge Weise lassen sich auch die Raume H s displaystyle H s nbsp und H s l displaystyle H s l nbsp durch den isometrischen Isomorphismus v 1 D 2 l 2 v displaystyle v mapsto 1 D 2 frac l 2 v nbsp miteinander identifizieren Anwendungen BearbeitenSobolev Raume werden in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen verwendet Die Losungen der schwachen Formulierung einer partiellen Differentialgleichung liegen typischerweise in einem Sobolev Raum Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen liefert damit auch numerische Losungsverfahren Die Finite Elemente Methode basiert auf der schwachen Formulierung der partiellen Differentialgleichungen und somit auf Sobolev Raum Theorie Sobolev Raume spielen auch in der optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen eine Rolle Siehe auch BearbeitenSobolevsche orthogonale Polynome Lokal schwach differenzierbare Funktion Besov RaumLiteratur BearbeitenH W Alt Lineare Funktionalanalysis 5 Auflage Springer 2006 ISBN 3 540 34186 2 R A Adams J J F Fournier Sobolev Spaces 2nd edition Academic Press 2003 ISBN 0 12 044143 8 M Dobrowolsky Angewandte Funktionalanalysis 2 Auflage Springer 2010 ISBN 978 3 642 15268 9 L C Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society 1998 ISBN 0 8218 0772 2 L C Evans R F Gariepy Measure Theory and Fine Properties of Functions CRC 1991 ISBN 0 8493 7157 0 V Mazja Sobolev Spaces Springer 1985 ISBN 3 540 13589 8 W P Ziemer Weakly Differentiable Functions Springer 1989 ISBN 0 387 97017 7Einzelnachweise Bearbeiten mathematik uni wuerzburg de PDF Satz 3 15 M Dobrowolsky Angewandte Funktionalanalysis 2 Auflage Springer 2010 ISBN 978 3 642 15268 9 Satz 6 15 M Dobrowolsky Angewandte Funktionalanalysis 2 Auflage Springer 2010 ISBN 978 3 642 15268 9 Satz 6 17Normdaten Sachbegriff GND 4055345 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sobolev Raum amp oldid 230454741
