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Temperierte Distribution Eine temperierte Distribution ist ein Objekt aus der Distributionentheorie einem mathematischen

Temperierte Distribution

Eine temperierte Distribution ist ein Objekt aus der Distributionentheorie, einem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Eine temperierte Distribution ist ein Spezialfall einer Distribution. Laurent Schwartz führte 1947 den Raum der temperierten Distributionen ein, um die Fourier-Transformation in seine Distributionentheorie integrieren zu können.

Schwartz-Raum Bearbeiten

Um temperierte Distributionen definieren zu können, wird zuerst der Raum der schnell fallenden Funktionen erläutert. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen null, dass sie und alle ihre Ableitungen schneller als jede Polynomfunktion fallen. Die Menge all dieser Funktionen wird auch als Schwartz-Raum bezeichnet und ist durch

definiert. Durch die Halbnormen

wird der Schwartz-Raum zu einem metrisierbaren lokalkonvexen Raum. Die Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fourier-Transformation ein Automorphismus auf diesem ist. Außerdem ist der Raum in allen Sobolew-Räumen enthalten. Der Raum der Testfunktionen lässt sich stetig in den Schwartz-Raum einbetten und liegt in diesem dicht.

Definition Bearbeiten

Eine temperierte Distribution ist ein stetiges, lineares Funktional auf dem Schwartz-Raum, also eine stetige lineare Abbildung . Da die Menge der temperierten Distributionen der Definition nach den topologischen Dualraum von bildet, wird dieser Raum mit notiert. Aufgrund dieser Dualität spricht man auch von den langsam wachsenden Distributionen im Gegensatz zu den schnell fallenden Funktionen.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Klasse der Distributionen mit kompaktem Träger ist eine echte Untermenge des Raums der temperierten Distributionen. Ein Beispiel einer Distribution mit kompaktem Träger ist die Delta-Distribution.
  • Dirac-Kamm
  • Alle Distributionen, die durch eine Polynomfunktion erzeugt werden, sind temperierte Distributionen. Ist also eine Polynomfunktion, dann ist das stetige Funktional
eine temperierte Distribution. Diese Distributionen sind im Gegensatz zur Delta-Distribution beziehungsweise zum Dirac-Kamm reguläre Distributionen.

Gelfandsches Raumtripel Bearbeiten

Der Schwartz-Raum liegt dicht im Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen. Aus diesem Grund gilt für ihre Dualräume die Inklusion und aus dem Satz von Riesz-Fischer folgt Dies führt insgesamt zu der Inklusion

Die stetige Einbettung ist die normale Identifizierung einer Funktion mit einer Distribution. Das heißt, ist die Abbildung

Das Paar ergibt ein Beispiel für einen erweiterten Hilbertraum, beziehungsweise das Tripel ein Beispiel für ein gelfandsches Raumtripel (nach Israel Gelfand). In allen drei Räumen ist die Fourier-Transformation ein Automorphismus.

Zu den Werten im kontinuierlichen Anteil des Spektrums eines Operators auf existieren, anders als zu den Eigenwerten (also den Werten des Punktspektrums), keine Eigenfunktionen in . Es können aber Distributionen existieren, die an deren Stelle die Eigenwertgleichung in erfüllen. Weitere Einzelheiten finden sich in Band III der unter Literatur angegebenen Bücher von Gelfand. In der Anwendung auf die Quantenmechanik bedeutet das, dass der Raum beispielsweise „Eigenfunktionen“ des Orts- oder Impulsoperators enthält (in der Standard-Darstellung sind dies δ-Funktionen bzw. ebene Wellen), die nicht in enthalten sind, weil das Integral über ihr Betragsquadrat divergiert.

Fourier-Transformation Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte ist für alle definiert durch

In diesem Kontext ist die Fourier-Transformation auf Funktionen durch definiert. Es gibt auch eine andere Konvention für die Fourier-Transformation mit dem Vorfaktor . Diese wird in diesem Artikel aber nicht verwendet.

Eigenschaften Bearbeiten

Man stattet die Menge mit der Schwach-*-Topologie aus. Dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf . Das Fourier-Urbild von berechnet sich mit der Formel

Beispiel Bearbeiten

Also entspricht der von erzeugten Distribution. Im Fall entspricht also der von erzeugten Distribution. Verwendet man bei der Fourier-Transformation noch den Vorfaktor dann ist das Ergebnis des Beispiels die Distribution, die von erzeugt wird.
  • Sei nun die von der konstanten Eins-Funktion erzeugte Distribution. Der naheliegende Ansatz den Ausdruck zu berechnen scheitert, da er auf ein nicht absolut konvergentes Integral führt. Zum Lösen benötigt man obiges Beispiel und einen kleinen Trick. Es gilt

Fourier-Laplace-Transformation Bearbeiten

In diesem Abschnitt wird die Fourier-Transformation nur für Distributionen mit kompaktem Träger betrachtet. Da die Fourier-Transformation in diesem Kontext besondere Eigenschaften hat, nennt man sie dann Fourier-Laplace-Transformation. Sei also eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist die Laplace-Fourier-Transformation durch

definiert. Dies ist wohldefiniert, denn man kann zeigen, dass eine Funktion ist, welche sogar für alle analytisch – also ganz – ist. Außerdem stimmt diese Definition mit der obigen Definition überein, falls die Distributionen kompakten Träger haben. Welche ganzen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können, charakterisiert der Satz von Paley-Wiener.

Laplace-Transformation Bearbeiten

Für temperierte Distributionen kann man ebenfalls eine Laplace-Transformation definieren. Diese sieht ähnlich aus wie die Fourier-Laplace-Transformation aus dem vorigen Abschnitt. Sei eine temperierte Distribution mit Träger in , dann ist die Laplace-Transformation von durch

definiert. Das Resultat der Transformation ist ebenfalls wieder eine holomorphe Funktion, die für definiert ist (sich aber eventuell auf eine größere Menge analytisch fortsetzen lässt). Im Gegensatz zur Fourier-Laplace-Transformation ist die Laplace-Transformation auch für temperierte Distributionen definiert, die keinen kompakten Träger haben. Dies ist möglich, da das Abklingverhalten von besser ist als das des Fourier-Kerns .

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
  • Otto Forster, Joachim Wehler: Fourier-Transformation und Wavelets (PDF; 575 kB). 2001 (Skript).
  • R. J. Beerends, H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie: Fourier and Laplace transforms. Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53441-3.
  • Israel Gelfand: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
    • Band 1: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen. 1960 (Hochschulbücher für Mathematik 47, ISSN 0073-2842);
    • Band 2: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Lineare topologische Räume, Räume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen. 1962 (Hochschulbücher für Mathematik 48);
    • Band 3: I. M. Gelfand, G. E. Schilow: Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 49);
    • Band 4: I. M. Gelfand, N. J. Wilenkin: Einige Anwendungen der harmonischen Analyse. Gelfandsche Raumtripel. 1964 (Hochschulbücher für Mathematik 50).
    • Band 5: I. M. Gelfand, M. I. Graev: Integral geometry and representation theory 1966, Academic Press.
  • Klaus-Heinrich Peters: Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen. Eine historische Untersuchung über die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst. 2004 (Hamburg, Univ., Diss., 2003), online (PDF; 2,72 MB).
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Eine temperierte Distribution ist ein Objekt aus der Distributionentheorie einem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Eine temperierte Distribution ist ein Spezialfall einer Distribution Laurent Schwartz fuhrte 1947 den Raum der temperierten Distributionen ein um die Fourier Transformation in seine Distributionentheorie integrieren zu konnen Inhaltsverzeichnis 1 Schwartz Raum 2 Definition 3 Beispiele 4 Gelfandsches Raumtripel 5 Fourier Transformation 5 1 Definition 5 2 Eigenschaften 5 3 Beispiel 5 4 Fourier Laplace Transformation 6 Laplace Transformation 7 LiteraturSchwartz Raum Bearbeiten Hauptartikel Schwartz Raum Um temperierte Distributionen definieren zu konnen wird zuerst der Raum der schnell fallenden Funktionen erlautert Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und streben im Unendlichen so schnell gegen null dass sie und alle ihre Ableitungen schneller als jede Polynomfunktion fallen Die Menge all dieser Funktionen wird auch als Schwartz Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp bezeichnet und ist durch S R n ϕ C R n a N 0 n b N 0 n C 0 sup x R n x a D b ϕ x C displaystyle mathcal S mathbb R n phi in C infty mathbb R n forall alpha in mathbb N 0 n beta in mathbb N 0 n exists C geq 0 sup x in mathbb R n x alpha D beta phi x leq C nbsp definiert Durch die Halbnormen f N sup x R n max a b lt N x a D b f x displaystyle f N sup x in mathbb R n max alpha beta lt N x alpha D beta f x nbsp wird der Schwartz Raum zu einem metrisierbaren lokalkonvexen Raum Die Besonderheit dieses Raumes ist dass die Fourier Transformation ein Automorphismus auf diesem ist Ausserdem ist der Raum in allen Sobolew Raumen enthalten Der Raum D R n displaystyle mathcal D mathbb R n nbsp der Testfunktionen lasst sich stetig in den Schwartz Raum einbetten und liegt in diesem dicht Definition BearbeitenEine temperierte Distribution ist ein stetiges lineares Funktional auf dem Schwartz Raum also eine stetige lineare Abbildung S R n C displaystyle mathcal S mathbb R n to mathbb C nbsp Da die Menge der temperierten Distributionen der Definition nach den topologischen Dualraum von S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp bildet wird dieser Raum mit S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp notiert Aufgrund dieser Dualitat spricht man auch von den langsam wachsenden Distributionen im Gegensatz zu den schnell fallenden Funktionen Beispiele BearbeitenDie Klasse der Distributionen mit kompaktem Trager ist eine echte Untermenge des Raums der temperierten Distributionen Ein Beispiel einer Distribution mit kompaktem Trager ist die Delta Distribution Dirac Kamm Alle Distributionen die durch eine Polynomfunktion erzeugt werden sind temperierte Distributionen Ist P displaystyle P nbsp also eine Polynomfunktion dann ist das stetige FunktionalS R ϕ R P x ϕ x d x displaystyle mathcal S mathbb R ni phi mapsto int mathbb R P x phi x mathrm d x nbsp dd eine temperierte Distribution Diese Distributionen sind im Gegensatz zur Delta Distribution beziehungsweise zum Dirac Kamm regulare Distributionen Gelfandsches Raumtripel Bearbeiten Hauptartikel Gelfand Tripel Der Schwartz Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp liegt dicht im Hilbertraum H L 2 R n displaystyle mathcal H L 2 mathbb R n nbsp der quadratintegrierbaren Funktionen Aus diesem Grund gilt fur ihre Dualraume die Inklusion L 2 R n S R n displaystyle L 2 mathbb R n subset mathcal S mathbb R n nbsp und aus dem Satz von Riesz Fischer folgt L 2 R n L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n cong L 2 mathbb R n nbsp Dies fuhrt insgesamt zu der Inklusion S R n L 2 R n S R n displaystyle mathcal S mathbb R n subset L 2 mathbb R n hookrightarrow mathcal S mathbb R n nbsp Die stetige Einbettung i L 2 R n S R n displaystyle i colon L 2 mathbb R n hookrightarrow mathcal S mathbb R n nbsp ist die normale Identifizierung einer Funktion mit einer Distribution Das heisst i displaystyle i nbsp ist die Abbildung f L 2 R n ϕ S R n R n f x ϕ x d x displaystyle f in L 2 mathbb R n mapsto left phi in mathcal S mathbb R n mapsto int mathbb R n f x phi x mathrm d x right nbsp Das Paar S R n L 2 R n displaystyle mathcal S mathbb R n L 2 mathbb R n nbsp ergibt ein Beispiel fur einen erweiterten Hilbertraum beziehungsweise das Tripel S R n L 2 R n S R n displaystyle left mathcal S mathbb R n L 2 mathbb R n mathcal S mathbb R n right nbsp ein Beispiel fur ein gelfandsches Raumtripel nach Israel Gelfand In allen drei Raumen ist die Fourier Transformation ein Automorphismus Zu den Werten l s c A displaystyle lambda in sigma c left A right nbsp im kontinuierlichen Anteil des Spektrums eines Operators A displaystyle A nbsp auf L 2 displaystyle L 2 nbsp existieren anders als zu den Eigenwerten l s p A displaystyle lambda in sigma p left A right nbsp also den Werten des Punktspektrums keine Eigenfunktionen in L 2 displaystyle L 2 nbsp Es konnen aber Distributionen T S displaystyle T in mathcal S nbsp existieren die an deren Stelle die Eigenwertgleichung l T A T displaystyle lambda T AT nbsp in S displaystyle mathcal S nbsp erfullen Weitere Einzelheiten finden sich in Band III der unter Literatur angegebenen Bucher von Gelfand In der Anwendung auf die Quantenmechanik bedeutet das dass der Raum S displaystyle mathcal S nbsp beispielsweise Eigenfunktionen des Orts oder Impulsoperators enthalt in der Standard Darstellung sind dies d Funktionen bzw ebene Wellen die nicht in L 2 R 3 displaystyle L 2 mathbb R 3 nbsp enthalten sind weil das Integral uber ihr Betragsquadrat divergiert Fourier Transformation BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei u S R n displaystyle u in mathcal S mathbb R n nbsp eine temperierte Distribution die Fourier Transformierte F u displaystyle mathcal F u nbsp ist fur alle ϕ S R n displaystyle phi in mathcal S mathbb R n nbsp definiert durch F u ϕ u F ϕ displaystyle mathcal F u phi u mathcal F phi nbsp In diesem Kontext ist die Fourier Transformation auf Funktionen durch F ϕ 3 R n e i x 3 ϕ x d x displaystyle textstyle mathcal F phi xi int mathbb R n e mathrm i langle x xi rangle phi x mathrm d x nbsp definiert Es gibt auch eine andere Konvention fur die Fourier Transformation mit dem Vorfaktor 1 2 p n 2 displaystyle tfrac 1 2 pi n 2 nbsp Diese wird in diesem Artikel aber nicht verwendet Eigenschaften Bearbeiten Man stattet die Menge S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp mit der Schwach Topologie aus Dann ist die Fourier Transformation eine stetige bijektive Abbildung auf S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp Das Fourier Urbild von F u displaystyle mathcal F u nbsp berechnet sich mit der Formelu ϕ x 1 2 p n F F u ϕ x displaystyle u phi x frac 1 2 pi n mathcal F mathcal F u phi x nbsp Beispiel Bearbeiten Sei a R n displaystyle a in mathbb R n nbsp und d a S R n displaystyle delta a in S mathbb R n nbsp die Deltadistribution zum Punkt a displaystyle a nbsp Fur die Fourier Transformation gilt dannF d a ϕ d a F ϕ F ϕ a R n e i a x ϕ x d x displaystyle mathcal F delta a phi delta a mathcal F phi mathcal F phi a int mathbb R n e mathrm i ax phi x mathrm d x nbsp dd Also entspricht F d a displaystyle mathcal F delta a nbsp der von x e i a x displaystyle x mapsto e mathrm i ax nbsp erzeugten Distribution Im Fall a 0 displaystyle a 0 nbsp entspricht also F d 0 displaystyle mathcal F delta 0 nbsp der von 1 displaystyle 1 nbsp erzeugten Distribution Verwendet man bei der Fourier Transformation noch den Vorfaktor 1 2 p n 2 displaystyle tfrac 1 2 pi n 2 nbsp dann ist das Ergebnis des Beispiels die Distribution die von 1 2 p n 2 displaystyle tfrac 1 2 pi n 2 nbsp erzeugt wird Sei nun T 1 ϕ R n 1 ϕ x d x displaystyle textstyle T 1 phi int mathbb R n 1 cdot phi x mathrm d x nbsp die von der konstanten Eins Funktion erzeugte Distribution Der naheliegende Ansatz den Ausdruck F T 1 ϕ displaystyle mathcal F T 1 phi nbsp zu berechnen scheitert da er auf ein nicht absolut konvergentes Integral fuhrt Zum Losen benotigt man obiges Beispiel und einen kleinen Trick Es giltF T 1 ϕ F F d 0 ϕ d 0 F F ϕ 2 p n d 0 ϕ x 2 p n ϕ 0 2 p n d ϕ displaystyle mathcal F T 1 phi mathcal F mathcal F delta 0 phi delta 0 mathcal F mathcal F phi 2 pi n delta 0 phi x 2 pi n phi 0 2 pi n delta phi nbsp dd Fourier Laplace Transformation Bearbeiten In diesem Abschnitt wird die Fourier Transformation nur fur Distributionen mit kompaktem Trager betrachtet Da die Fourier Transformation in diesem Kontext besondere Eigenschaften hat nennt man sie dann Fourier Laplace Transformation Sei u E R n displaystyle u in mathcal E mathbb R n nbsp also eine Distribution mit kompaktem Trager Dann ist die Laplace Fourier Transformation durch u 3 u e i 3 displaystyle hat u xi u e mathrm i langle cdot xi rangle nbsp definiert Dies ist wohldefiniert denn man kann zeigen dass u displaystyle hat u nbsp eine Funktion ist welche sogar fur alle 3 C displaystyle xi in mathbb C nbsp analytisch also ganz ist Ausserdem stimmt diese Definition mit der obigen Definition uberein falls die Distributionen kompakten Trager haben Welche ganzen Funktionen hier als Fourier Laplace Transformationen auftreten konnen charakterisiert der Satz von Paley Wiener Laplace Transformation BearbeitenFur temperierte Distributionen kann man ebenfalls eine Laplace Transformation definieren Diese sieht ahnlich aus wie die Fourier Laplace Transformation aus dem vorigen Abschnitt Sei u S displaystyle u in mathcal S nbsp eine temperierte Distribution mit Trager in 0 displaystyle 0 infty nbsp dann ist die Laplace Transformation L displaystyle mathcal L nbsp von u displaystyle u nbsp durch L u 3 u e 3 displaystyle mathcal L u xi u e langle cdot xi rangle nbsp definiert Das Resultat der Transformation ist ebenfalls wieder eine holomorphe Funktion die fur R e 3 gt 0 displaystyle mathfrak Re xi gt 0 nbsp definiert ist sich aber eventuell auf eine grossere Menge analytisch fortsetzen lasst Im Gegensatz zur Fourier Laplace Transformation ist die Laplace Transformation auch fur temperierte Distributionen definiert die keinen kompakten Trager haben Dies ist moglich da das Abklingverhalten von e x 3 displaystyle e langle x xi rangle nbsp besser ist als das des Fourier Kerns e i x 3 displaystyle e mathrm i langle x xi rangle nbsp Literatur BearbeitenLars Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators Band 1 Distribution Theory and Fourier Analysis Second Edition Springer Verlag Berlin u a 1990 ISBN 3 540 52345 6 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 Otto Forster Joachim Wehler Fourier Transformation und Wavelets PDF 575 kB 2001 Skript R J Beerends H G ter Morsche J C van den Berg E M van de Vrie Fourier and Laplace transforms Cambridge University Press 2003 ISBN 978 0 521 53441 3 Israel Gelfand Verallgemeinerte Funktionen Distributionen VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin Ost Band 1 I M Gelfand G E Schilow Verallgemeinerte Funktionen und das Rechnen mit ihnen 1960 Hochschulbucher fur Mathematik 47 ISSN 0073 2842 Band 2 I M Gelfand G E Schilow Lineare topologische Raume Raume von Grundfunktionen und verallgemeinerten Funktionen 1962 Hochschulbucher fur Mathematik 48 Band 3 I M Gelfand G E Schilow Einige Fragen zur Theorie der Differentialgleichungen 1964 Hochschulbucher fur Mathematik 49 Band 4 I M Gelfand N J Wilenkin Einige Anwendungen der harmonischen Analyse Gelfandsche Raumtripel 1964 Hochschulbucher fur Mathematik 50 Band 5 I M Gelfand M I Graev Integral geometry and representation theory 1966 Academic Press Klaus Heinrich Peters Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen Eine historische Untersuchung uber die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik Philosophie und Kunst 2004 Hamburg Univ Diss 2003 online PDF 2 72 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Temperierte Distribution amp oldid 224835069