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Das Betragsquadrat oder Absolutquadrat ist eine Sammelbezeichnung fur Funktionen die vor allem in der Physik auf Zahlen Vektoren und Funktionen angewendet werden Man erhalt das Betragsquadrat einer reellen oder komplexen Zahl indem man ihren Betrag quadriert Das Betragsquadrat eines reellen oder komplexen Vektors endlicher Dimension ist das Quadrat seiner Lange bzw euklidischen Norm Das Betragsquadrat einer reell oder komplexwertigen Funktion ist wieder eine Funktion deren Funktionswerte gleich den Betragsquadraten der Funktionswerte der Ausgangsfunktion sind Der Graph der Betragsquadrat Funktion von komplexen Zahlen ist ein Paraboloid uber der komplexen ZahlenebeneDas Betragsquadrat wird beispielsweise in der Signaltheorie verwendet um die Gesamtenergie eines Signals zu ermitteln In der Quantenmechanik wird das Betragsquadrat eingesetzt um Wahrscheinlichkeiten von Zustanden zum Beispiel die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten von Teilchen zu berechnen In der Relativitatstheorie wird fur das Lorentz invariante Quadrat von Vierervektoren in der Literatur auch der Begriff Betragsquadrat verwendet obwohl dieses Quadrat auch negative Zahlen ergeben kann und sich somit von der allgemeinen Definition in euklidischen Raumen unterscheidet Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Zahlen 1 2 Vektoren 1 3 Funktionen 2 Eigenschaften 2 1 Kehrwert 2 2 Betrag des Quadrats 2 3 Produkt und Quotient 2 4 Summe und Differenz 3 Anwendungen 3 1 Signaltheorie 3 2 Relativitatstheorie 3 3 Quantenmechanik 3 4 Algebra 4 Einzelnachweise 5 WeblinksDefinitionen BearbeitenZahlen Bearbeiten nbsp Der Graph der Betragsquadrat Funktion von reellen Zahlen ist die NormalparabelDas Betragsquadrat x 2 displaystyle x 2 nbsp einer reellen Zahl x displaystyle x nbsp ist einfach ihr Quadrat x 2 x 2 displaystyle x 2 x 2 nbsp Das Betragsquadrat z 2 displaystyle z 2 nbsp einer komplexen Zahl z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp mit Realteil Re z x displaystyle operatorname Re z x nbsp und Imaginarteil Im z y displaystyle operatorname Im z y nbsp ist jedoch und zwar fur y 0 displaystyle y neq 0 nbsp nicht ihr Quadrat z 2 x 2 2 i x y y 2 displaystyle z 2 x 2 2 mathrm i xy y 2 nbsp sondern 1 z 2 z z x i y x i y x 2 y 2 displaystyle z 2 z ast cdot z x mathrm i y cdot x mathrm i y x 2 y 2 nbsp Hierbei bezeichnet z x i y displaystyle z ast x mathrm i y nbsp das komplex Konjugierte von z displaystyle z nbsp Das Betragsquadrat ist stets eine nichtnegative reelle Zahl Vektoren Bearbeiten Bei Vektoren im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist mit dem Betrag bzw der Lange die euklidische Norm 2 Norm des Vektors gemeint Das Betragsquadrat eines Vektors v R n displaystyle vec v in mathbb R n nbsp kann uber das Standardskalarprodukt des Vektors mit sich selbst berechnet werden 2 v 2 v v v 1 2 v 2 2 v n 2 displaystyle vec v 2 vec v cdot vec v v 1 2 v 2 2 dots v n 2 nbsp Diese Beziehung ergibt sich direkt aus der Definition der euklidischen Norm Bei komplexen Vektoren v C n displaystyle vec v in mathbb C n nbsp ist entsprechend mit dem konjugiert Komplexen zu rechnen v 2 v 1 v 1 v 2 v 2 v n v n displaystyle vec v 2 v 1 ast cdot v 1 v 2 ast cdot v 2 dots v n ast cdot v n nbsp In beiden Fallen ist das Ergebnis eine nichtnegative reelle Zahl Funktionen Bearbeiten nbsp Das Quadrat der SinusfunktionFur reell oder komplexwertige Funktionen wird das Betragsquadrat punktweise definiert wodurch man wieder eine Funktion erhalt Das Betragsquadrat einer reellwertigen Funktion ϕ W R displaystyle phi colon Omega to mathbb R nbsp ist durch ϕ 2 W R x ϕ x 2 ϕ x 2 displaystyle phi 2 colon Omega to mathbb R x mapsto phi x 2 phi x 2 nbsp gegeben und damit gleich dem Quadrat der Funktion wahrend das Betragsquadrat einer komplexwertigen Funktion ϕ W C displaystyle phi colon Omega to mathbb C nbsp durch ϕ 2 W C x ϕ x 2 ϕ x ϕ x displaystyle phi 2 colon Omega to mathbb C x mapsto phi x 2 phi x ast cdot phi x nbsp definiert wird Das Betragsquadrat einer Funktion ist demnach eine reellwertige Funktion mit dem gleichen Definitionsbereich W displaystyle Omega nbsp deren Funktionswerte gleich den Betragsquadraten der Funktionswerte der Ausgangsfunktion sind Sie wird im reellen Fall auch durch ϕ 2 displaystyle phi 2 nbsp und im komplexen Fall auch durch ϕ ϕ displaystyle phi ast phi nbsp notiert 3 Eigenschaften BearbeitenIm Folgenden werden grundlegende Eigenschaften des Betragsquadrats komplexer Zahlen aufgefuhrt Durch punktweise Betrachtung lassen sich diese Eigenschaften auch auf Funktionen ubertragen Eigenschaften des Betragsquadrats von Vektoren finden sich im Artikel Euklidische Norm Kehrwert Bearbeiten Fur den Kehrwert einer komplexen Zahl z 0 displaystyle z neq 0 nbsp gilt 1 z z z z z z 2 displaystyle frac 1 z frac z z z frac z z 2 nbsp Er kann also berechnet werden indem die konjugiert komplexe Zahl durch das Betragsquadrat dividiert wird Betrag des Quadrats Bearbeiten Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist gleich dem Betrag des Quadrats der Zahl das heisst 4 z 2 z 2 displaystyle z 2 z 2 nbsp Es gilt namlich z 2 x i y 2 x 2 y 2 2 i x y x 2 y 2 2 2 x y 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle z 2 x mathrm i y 2 x 2 y 2 2 mathrm i xy sqrt x 2 y 2 2 2xy 2 sqrt x 2 y 2 2 x 2 y 2 z 2 nbsp Bei der Darstellung in Polarform z r e i f displaystyle z r cdot mathrm e mathrm i varphi nbsp mit r z displaystyle r z nbsp erhalt man entsprechend z 2 r 2 e 2 i f r 2 e 2 i f r 2 1 z 2 displaystyle z 2 r 2 mathrm e 2 mathrm i varphi r 2 cdot mathrm e 2 mathrm i varphi r 2 cdot 1 z 2 nbsp Produkt und Quotient Bearbeiten Fur das Betragsquadrat des Produkts zweier komplexer Zahlen z 1 r 1 e i f 1 displaystyle z 1 r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 nbsp und z 2 r 2 e i f 2 displaystyle z 2 r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 nbsp gilt z 1 z 2 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 2 r 2 2 z 1 2 z 2 2 displaystyle z 1 z 2 2 r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 r 1 2 r 2 2 z 1 2 z 2 2 nbsp Analog dazu gilt fur das Betragsquadrat des Quotienten zweier komplexer Zahlen fur z 2 0 displaystyle z 2 neq 0 nbsp z 1 z 2 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 2 r 2 2 z 1 2 z 2 2 displaystyle left frac z 1 z 2 right 2 left frac r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 right left frac r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 right frac r 1 2 r 2 2 frac z 1 2 z 2 2 nbsp Das Betragsquadrat des Produkts bzw des Quotienten zweier komplexer Zahlen ist also das Produkt bzw der Quotient ihrer Betragsquadrate Diese Eigenschaften weist auch bereits der Betrag selbst auf Summe und Differenz Bearbeiten Fur das Betragsquadrat der Summe bzw der Differenz zweier komplexer Zahlen gilt entsprechend 5 z 1 z 2 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 e i f 1 r 2 e i f 2 r 1 2 r 2 2 2 r 1 r 2 cos f 2 f 1 displaystyle z 1 pm z 2 2 r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 pm r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 r 1 mathrm e mathrm i varphi 1 pm r 2 mathrm e mathrm i varphi 2 r 1 2 r 2 2 pm 2r 1 r 2 cos varphi 2 varphi 1 nbsp Stellt man sich die komplexen Zahlen z 1 displaystyle z 1 nbsp und z 2 displaystyle z 2 nbsp sowie ihre Summe bzw Differenz z 1 z 2 displaystyle z 1 pm z 2 nbsp als Punkte in der komplexen Ebene vor dann entspricht diese Beziehung gerade dem Kosinussatz fur das entstehende Dreieck Speziell erhalt man fur das Betragsquadrat der Summe zweier komplexer Zahlen mit Betrag eins 5 e i f 1 e i f 2 2 2 2 cos f 2 f 1 4 cos 2 f 2 f 1 2 displaystyle mathrm e mathrm i varphi 1 mathrm e mathrm i varphi 2 2 2 2 cos varphi 2 varphi 1 4 cos 2 left frac varphi 2 varphi 1 2 right nbsp Anwendungen BearbeitenSignaltheorie Bearbeiten In der Signaltheorie ist die Gesamtenergie bzw die Gesamtleistung eines kontinuierlichen komplexwertigen Signals f R C displaystyle f colon mathbb R to mathbb C nbsp definiert als das Integral uber sein Betragsquadrat das heisst E f t 2 d t displaystyle E int infty infty f t 2 mathrm d t nbsp Die Gesamtenergie entspricht damit dem Quadrat der L 2 displaystyle L 2 nbsp Norm des Signals Ein zentrales Resultat ist hier der Satz von Plancherel nach dem die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist Ist demnach F displaystyle mathcal F nbsp die normierte Fourier Transformierte von f displaystyle f nbsp so gilt 6 f t 2 d t F w 2 d w displaystyle int infty infty f t 2 mathrm d t int infty infty mathcal F omega 2 mathrm d omega nbsp Die Fourier Transformation erhalt also die Gesamtenergie eines Signals und stellt damit eine unitare Abbildung dar Relativitatstheorie Bearbeiten In der Relativitatstheorie werden die Zeit und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der Raumzeit in einem Orts Vierervektor r c t x y z displaystyle r c t x y z nbsp zusammengefasst Die Zeitkoordinate t displaystyle t nbsp wird dabei mit der Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp multipliziert damit sie wie die Raumkoordinaten x y z displaystyle x y z nbsp die Dimension einer Lange hat Im Minkowski Raum der flachen Raumzeit wird nun abweichend von der oben angebenden Definition fur Vektoren im R 4 displaystyle mathbb R 4 nbsp das Quadrat des Vierervektors r displaystyle r nbsp durch r 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle r 2 c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 nbsp definiert was auch eine negative reelle Zahl ergeben kann Fur dieses Vierervektorquadrat wird in der Literatur auch der Begriff Betragsquadrat verwendet 7 obwohl die auf dem Minkowski Raum definierte Bilinearform die dieses Betragsquadrat induziert kein Skalarprodukt ist von dem sich ein Betragsquadrat mit nichtnegativen Werten im obigen Sinne ableiten liesse Die Lorentz Transformationen lassen sich nun als diejenigen Koordinatentransformationen charakterisieren die besagte Bilinearform und damit das Betragsquadrat erhalten Beispielsweise ist die Koordinatentransformation in das Ruhesystem eines Objekts das sich mit Relativgeschwindigkeit v displaystyle v nbsp in x displaystyle x nbsp Richtung bewegt t g t v x c 2 x g x v t y y z z displaystyle t gamma t vx c 2 quad x gamma x vt quad y y quad z z nbsp wobei g displaystyle gamma nbsp der Lorentz Faktor ist langenerhaltend das heisst fur den transformierten Vierervektor r c t x y z displaystyle r c t x y z nbsp gilt r 2 r 2 displaystyle r 2 r 2 nbsp Analog dazu wird auch das Betragsquadrat jedes anderen Vierervektors beispielsweise des Impuls Vierervektors definiert welches dann ebenfalls invariant bezuglich einer Lorentz Transformation ist Quantenmechanik Bearbeiten Das Betragsquadrat wird auch in der Quantenmechanik haufig verwendet 8 In der Bra Ket Notation wird das Skalarprodukt zweier Vektoren ϕ displaystyle phi rangle nbsp und ps displaystyle psi rangle nbsp des zugrundeliegenden Hilbertraums als ϕ ps displaystyle langle phi psi rangle nbsp geschrieben Ist eine Observable als Operator A displaystyle A nbsp mit einem nicht entarteten Eigenwert a displaystyle a nbsp zu einem normierten Eigenvektor u displaystyle u rangle nbsp gegeben das heisst A u a u displaystyle A u rangle a u rangle nbsp so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit in einem Zustand ps displaystyle psi rangle nbsp den Wert a displaystyle a nbsp fur die Observable A displaystyle A nbsp zu messen uber das Betragsquadrat der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsamplitude P a u ps 2 displaystyle mathcal P a left langle u psi rangle right 2 nbsp Das Betragsquadrat im punktweisen Sinne der normierten Wellenfunktion aus der Schrodingergleichung ist gleich der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens r r t ps r t 2 ps r t ps r t displaystyle rho mathbf r t psi mathbf r t 2 psi ast mathbf r t psi mathbf r t nbsp Algebra Bearbeiten In der Korpertheorie ist das Betragsquadrat komplexer Zahlen die Norm der Korpererweiterung C R displaystyle mathbb C mathbb R nbsp Es stellt auch die Norm im quadratischen Zahlkorper Q i displaystyle mathbb Q i nbsp dar und spielt daher beim Rechnen mit gaussschen Zahlen eine wichtige Rolle Einzelnachweise Bearbeiten May Britt Kallenrode Rechenmethoden der Physik Mathematischer Begleiter Zur Experimentalphysik Springer 2005 ISBN 3 540 27482 0 S 91 Klemens Burg Herbert Haf Friedrich Wille Andreas Meister Hohere Mathematik Fur Ingenieure Band II Lineare Algebra Springer 2012 ISBN 3 8348 2267 1 S 46 Klaus Stierstadt Thermodynamik Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik Springer 2010 ISBN 3 642 05098 0 S 83 84 Ilja N Bronstein Konstantin A Semendjajew Gerhard Musiol Heiner Muhlig Taschenbuch der Mathematik 7 Auflage Harri Deutsch 2008 ISBN 3 8171 2007 9 S 37 a b Eric W Weisstein CRC Concise Encyclopedia of Mathematics 2 Auflage CRC Press 2010 ISBN 1 4200 3522 3 S 22 Uwe Kiencke Michael Schwarz Thomas Weickert Signalverarbeitung Zeit Frequenz Analyse und Schatzverfahren Oldenbourg 2008 ISBN 3 486 58668 8 S 401 Peter Burger Ute Diemar Eberhard Kallenbach Bernd Marx Tom Strohla Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik 2 Springer 2006 ISBN 3 519 00525 5 S 103 104 Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik Band 1 3 Auflage de Gruyter 2007 ISBN 3 11 019324 8 S 90 f Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Betragsquadrat Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Absolute Square In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Betragsquadrat amp oldid 183548580