www.wikidata.de-de.nina.az

Gelfand Tripel Das auch Gelfandscher Dreier Banach oder ausgerüsteter Hilbert Raum bezeichnet in der Funktionalanalysis

Gelfand-Tripel

Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel bestehend aus einem Hilbert-Raum , einem Banach-Raum (oder allgemeiner topologischen Vektorraum) und seinem Dualraum . Der Raum wird so gewählt, dass ein dicht liegender Unterraum von ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes identifizieren lassen.

Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

Definition Bearbeiten

Sei ein separabler Hilbert-Raum und ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion sei stetig. und bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.

Dann gilt die dichte Inklusion

in dem wir mit über die Riesz-Darstellung identifizieren. Das Tripel nennt man Gelfand-Tripel.

Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist Bearbeiten

Sei ein separabler Hilbert-Raum, ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion sei stetig. Die Separabilität von garantiert uns die Existenz eines in dicht liegenden Unterraumes.

Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt

in dem wir mit identifizieren.

Es gilt nun für alle

wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel ist ein Gelfand-Tripel.

Herleitung der Inklusion Bearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass auch dicht liegt und die Inklusion stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von ). Für ein und definieren wir die duale Paarung

Für jedes existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung , so dass

für alle gilt. Deshalb können wir mit identifizieren und daraus folgt die Inklusion

und auch ist stetig.

Beispiele und Anwendungen Bearbeiten

  • Sei ein Lp-Raum, der Schwartz-Raum und der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel ein Gelfand-Tripel.
  • Seien die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel ein Gelfand-Tripel.
  • Sei offen, ein Lp-Raum. Mit für wird der (beschränkte) Sobolew-Raum und mit sein Dualraum bezeichnet. Dann ist ein Gelfand-Tripel.
  • In der White-Noise-Analysis: sei der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, der Raum des weißen Rauschen, der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist ein Gelfand-Tripel.

Anwendungen Bearbeiten

Sei das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator ist nicht stetig. Sei die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit , dann ist stetig.

Negative Norm Bearbeiten

Ein Gelfandscher Dreier erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes wird durch

definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als .

Es lässt sich folgende Ungleichung für herleiten

für feste Konstanten .

Literatur Bearbeiten

  • Hans G. Feichtinger: Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering. In: AIP Conference Proceedings. Band 1146, 2009, doi:10.1063/1.3183542.
  • Israel M. Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Hrsg.: Academic Press, New York. 1964.
  • Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig: Time-Frequency Partitions for Gelfand Triple (S0,L2,S0'). In: Mathematica Scandinavica. Band 98, Nr. 1, 2006, S. 81–96, JSTOR:24493549.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Claudia Prévôt, Michael Röckner: A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. In: Springer Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. 2007, S. 55–73, doi:10.1007/978-3-540-70781-3 (englisch).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Gelfand Tripel auch Gelfandscher Dreier Banach Gelfand Tripel oder ausgerusteter Hilbert Raum bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum Tripel V H V displaystyle V H V bestehend aus einem Hilbert Raum H displaystyle H einem Banach Raum oder allgemeiner topologischen Vektorraum V displaystyle V und seinem Dualraum V displaystyle V Der Raum V displaystyle V wird so gewahlt dass V displaystyle V ein dicht liegender Unterraum von H displaystyle H ist und seine Inklusion stetig ist Diese Konstruktion hat nun den Vorteil dass sich Elemente aus H displaystyle H mittels des Darstellungssatzes von Frechet Riesz als Elemente des Dualraumes V displaystyle V identifizieren lassen Das Gelfand Tripel ist nach Israel Gelfand benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach Raum ist 1 1 1 Herleitung der Inklusion 2 Beispiele und Anwendungen 3 Anwendungen 4 Negative Norm 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei H H displaystyle H langle cdot cdot rangle H nbsp ein separabler Hilbert Raum und V H displaystyle V subset H nbsp ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion i 1 V H displaystyle i 1 V hookrightarrow H nbsp sei stetig H displaystyle H nbsp und V displaystyle V nbsp bezeichnen die dazugehorigen Dualraume Dann gilt die dichte Inklusion V H V displaystyle V subset H subset V nbsp in dem wir H displaystyle H nbsp mit H displaystyle H nbsp uber die Riesz Darstellung identifizieren Das Tripel V H V displaystyle V H V nbsp nennt man Gelfand Tripel Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach Raum ist Bearbeiten Sei H H displaystyle H langle cdot cdot rangle H nbsp ein separabler Hilbert Raum V H displaystyle V subset H nbsp ein darin dicht liegender reflexiver Banach Raum und die Inklusion i 1 V H displaystyle i 1 V hookrightarrow H nbsp sei stetig Die Separabilitat von H displaystyle H nbsp garantiert uns die Existenz eines in H displaystyle H nbsp dicht liegenden Unterraumes Es folgt aus diesen Eigenschaften dass folgende dichte Inklusion gilt V H V displaystyle V subset H subset V nbsp in dem wir H displaystyle H nbsp mit H displaystyle H nbsp identifizieren Es gilt nun fur alle h H v V displaystyle h in H v in V nbsp h v H V h x V displaystyle langle h v rangle H V langle h x rangle V nbsp wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet Das Tripel V H V displaystyle V H V nbsp ist ein Gelfand Tripel 1 Herleitung der Inklusion Bearbeiten Es lasst sich zeigen dass auch H V displaystyle H subset V nbsp dicht liegt und die Inklusion i 2 H V displaystyle i 2 H hookrightarrow V nbsp stetig ist folgt direkt aus der Reflexivitat von V displaystyle V nbsp Fur ein f H displaystyle varphi in H nbsp und x H displaystyle x in H nbsp definieren wir die duale Paarung H f x H f x displaystyle H langle varphi x rangle H varphi x nbsp Fur jedes f H displaystyle varphi in H nbsp existiert eine eindeutige Riesz Darstellung h f H displaystyle h varphi in H nbsp so dass H f x H x h f H displaystyle H langle varphi x rangle H langle x h varphi rangle H nbsp fur alle x H displaystyle x in H nbsp gilt Deshalb konnen wir H displaystyle H nbsp mit H displaystyle H nbsp identifizieren H H displaystyle H cong H nbsp und daraus folgt die Inklusion V H V displaystyle V subset H subset V nbsp und auch i 3 H V displaystyle i 3 H hookrightarrow V nbsp ist stetig Beispiele und Anwendungen BearbeitenSei L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp ein Lp Raum S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp der Schwartz Raum und S R n displaystyle mathcal S mathbb R n nbsp der Raum der temperierten Distributionen Dann ist das Tripel S L 2 S displaystyle mathcal S L 2 mathcal S nbsp ein Gelfand Tripel Seien ℓ 1 ℓ 2 ℓ displaystyle ell 1 ell 2 ell infty nbsp die Folgenraume der beschrankten Folgen Dann ist das Tripel ℓ 1 ℓ 2 ℓ displaystyle ell 1 ell 2 ell infty nbsp ein Gelfand Tripel Sei W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp offen L 2 W displaystyle L 2 Omega nbsp ein Lp Raum Mit H 0 1 p W displaystyle H 0 1 p Omega nbsp fur p 2 displaystyle p in 2 infty nbsp wird der beschrankte Sobolew Raum H 0 1 p W C c W displaystyle H 0 1 p Omega overline C c infty Omega nbsp und mit H 1 p H 0 1 p W displaystyle H 1 p H 0 1 p Omega nbsp sein Dualraum bezeichnet Dann ist H 0 1 p L 2 H 1 p displaystyle H 0 1 p L 2 H 1 p nbsp ein Gelfand Tripel 1 In der White Noise Analysis sei S 1 displaystyle S 1 nbsp der Kondratiew Raum der stochastischen Test Funktionen W displaystyle mathcal W nbsp der Raum des weissen Rauschen S 1 displaystyle S 1 nbsp der Kondratiew Raum der stochastischen Distributionen Dann ist S 1 W S 1 displaystyle S 1 mathcal W S 1 nbsp ein Gelfand Tripel Anwendungen BearbeitenSei H 0 1 p L 2 H 1 p displaystyle H 0 1 p L 2 H 1 p nbsp das Gelfand Tripel aus dem vorigen Beispiel Der Laplace Operator D C 0 R n L 2 R n displaystyle Delta colon C 0 infty mathbb R n to L 2 mathbb R n nbsp ist nicht stetig Sei A D displaystyle A Delta nbsp die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand Tripel mit A H 0 1 p H 1 p displaystyle A colon H 0 1 p to H 1 p nbsp dann ist A displaystyle A nbsp stetig Negative Norm BearbeitenEin Gelfandscher Dreier V H V displaystyle V H V nbsp erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm Die negative Norm eines Elementes y H displaystyle y in H nbsp wird durch y 1 sup x V x y H x V displaystyle y 1 sup x in V frac langle x y rangle H x V nbsp definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als V 1 displaystyle V 1 nbsp Es lasst sich folgende Ungleichung fur y V displaystyle y in V nbsp herleiten y 1 K y H C y V displaystyle y 1 leq K y H leq C y V nbsp fur feste Konstanten K C gt 0 displaystyle K C gt 0 nbsp Literatur BearbeitenHans G Feichtinger Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering In AIP Conference Proceedings Band 1146 2009 doi 10 1063 1 3183542 Israel M Gelfand Naum Ya Vilenkin Generalized Functions Some Applications of Harmonic Analysis Rigged Hilbert Spaces Hrsg Academic Press New York 1964 Monika Dorfler Hans G Feichtinger Karlheinz Grochenig Time Frequency Partitions for Gelfand Triple S0 L2 S0 In Mathematica Scandinavica Band 98 Nr 1 2006 S 81 96 JSTOR 24493549 Einzelnachweise Bearbeiten a b Claudia Prevot Michael Rockner A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations In Springer Berlin Heidelberg Hrsg Lecture Notes in Mathematics 2007 S 55 73 doi 10 1007 978 3 540 70781 3 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gelfand Tripel amp oldid 233292017