Eine Inklusionsabbildung (kurz auch Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teil- in ihre Grundmenge einbettet.
Definition Bearbeiten
Für Mengen und mit ist die Inklusionsabbildung durch die Abbildungsvorschrift
gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann .
Man spricht von einer echten Inklusion, falls eine echte Teilmenge von ist, das heißt, wenn es Elemente in gibt.
Im Fall mathematischer Strukturen ist die so definierte Abbildung einer Unterstruktur strukturtreu, d. h. ein Monomorphismus.
Eigenschaften Bearbeiten
- Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.
- Ist , so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.
- Eine beliebige Funktion lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als , wobei surjektiv und injektiv ist: Sei die Bildmenge von und die Funktion, die auf mit übereinstimmt, also . Für nimmt man die Inklusionsabbildung.
- Ist eine beliebige Funktion und eine Teilmenge der Definitionsmenge , dann versteht man unter der Einschränkung von auf diejenige Funktion , die auf mit übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als
- Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen:
Weblinks Bearbeiten
Wiktionary: Inklusion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
- Eric W. Weisstein: Inclusion Map. In: MathWorld (englisch).
- Koro: Inclusion mapping. In: PlanetMath. (englisch)