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Beschränkter Operator In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte line

Beschränkter Operator

In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, wenn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren sind genau dann beschränkt, wenn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren oft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

Definitionen Bearbeiten

Seien und normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung .

Ein beschränkter Operator ist ein linearer Operator, für den es ein mit für alle gibt.

Die kleinste Konstante mit für alle wird als Norm von bezeichnet. Für sie gilt

und für alle die Ungleichung

Stetigkeit Bearbeiten

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist, also eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • falls , so gilt in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik,
  • für alle und alle gibt es ein mit

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn die Linearität vorausgesetzt wird, spricht man häufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschränkten Operatoren. Ist der Bildraum der Skalarenkörper, sagt man Funktional statt Operator.

Weiterhin sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Beispiele Bearbeiten

  • Wenn endlich-dimensional ist, dann ist jeder lineare Operator stetig.
  • Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat, dann sind die Normen genau dann äquivalent, wenn die Identitätsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind.
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit , wobei wie üblich mit der Supremumsnorm versehen ist.
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit .
  • Das durch definierte Funktional ist stetig mit .
  • Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für das durch definierte Funktional stetig ist mit .
  • Der durch eine stetige Funktion und definierte Integraloperator ist stetig und es gilt die Ungleichung .
  • Der Differentialoperator auf ist für die Supremumsnorm kein stetiger Operator. Zum Beispiel ist , aber . Der Operator ist aber stetig als Operator .

Der Raum der stetigen Operatoren Bearbeiten

Seien normierte Vektorräume. Dann ist

mit der Operatornorm ein normierter Vektorraum.

Wenn vollständig ist, dann ist auch vollständig.

Wenn ein dichter Unterraum und vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator eine eindeutige stetige Fortsetzung mit .

Beschränkte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen Bearbeiten

Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator zwischen topologischen Vektorräumen und beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Falls und zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator stetig, genau dann, wenn ein bornologischer Raum ist.

Beschränkte Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen Bearbeiten

Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen auch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.

Sind also und topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. Teubner, Wiesbaden 1975, 4. durchgesehene Auflage ebenda 2006, ISBN 3-8351-0026-2.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, ISBN 3642210163.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Norbert Adasch, Bruno Ernst, Dieter Keim: Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-540-08662-8, S. 60.
  2. Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.
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In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorraumen als beschrankte lineare Operatoren bezeichnet wenn ihre Operatornorm endlich ist Lineare Operatoren sind genau dann beschrankt wenn sie stetig sind weshalb beschrankte lineare Operatoren oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet werden Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Stetigkeit 3 Beispiele 4 Der Raum der stetigen Operatoren 5 Beschrankte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorraumen 6 Beschrankte Abbildungen zwischen topologischen Vektorraumen 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSeien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp normierte Vektorraume Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung T X Y displaystyle T colon X to Y nbsp Ein beschrankter Operator T X Y displaystyle T colon X to Y nbsp ist ein linearer Operator fur den es ein M displaystyle M nbsp mit T x M x displaystyle Vert Tx Vert leq M Vert x Vert nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp gibt Die kleinste Konstante M displaystyle M nbsp mit T x M x displaystyle Vert Tx Vert leq M Vert x Vert nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp wird als Norm T displaystyle Vert T Vert nbsp von T displaystyle T nbsp bezeichnet Fur sie gilt T sup x 1 T x displaystyle Vert T Vert sup Vert x Vert 1 Vert Tx Vert nbsp und fur alle x X displaystyle x in X nbsp die Ungleichung T x T x displaystyle Vert Tx Vert leq Vert T Vert Vert x Vert nbsp Stetigkeit BearbeitenEin linearer Operator ist genau dann beschrankt wenn er stetig ist also eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt falls x n x displaystyle x n to x nbsp so gilt T x n T x displaystyle Tx n to Tx nbsp in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik fur alle x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp und alle ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp gibt es ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp mit x x 0 lt d T x T x 0 lt ϵ displaystyle Vert x x 0 Vert lt delta Rightarrow Vert Tx Tx 0 Vert lt epsilon nbsp dd Urbilder offener Mengen sind offen Beschrankte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet Wenn die Linearitat vorausgesetzt wird spricht man haufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschrankten Operatoren Ist der Bildraum der Skalarenkorper sagt man Funktional statt Operator Weiterhin sind die folgenden Aussagen aquivalent T displaystyle T nbsp ist stetig T displaystyle T nbsp ist stetig in 0 T displaystyle T nbsp ist gleichmassig stetig T displaystyle T nbsp ist beschrankt Beispiele BearbeitenWenn X displaystyle X nbsp endlich dimensional ist dann ist jeder lineare Operator T X Y displaystyle T colon X to Y nbsp stetig Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat dann sind die Normen genau dann aquivalent wenn die Identitatsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind Das durch T f f 0 displaystyle T f f 0 nbsp definierte Funktional T C 0 1 R R displaystyle T colon C left 0 1 right mathbb R to mathbb R nbsp ist stetig mit T 1 displaystyle Vert T Vert 1 nbsp wobei C 0 1 R displaystyle C left 0 1 right mathbb R nbsp wie ublich mit der Supremumsnorm versehen ist Das durch T f f 0 f 0 displaystyle T f f 0 f prime 0 nbsp definierte Funktional T C 1 0 1 R R displaystyle T colon C 1 left 0 1 right mathbb R to mathbb R nbsp ist stetig mit T 1 displaystyle Vert T Vert 1 nbsp Das durch T f 0 1 f x d x displaystyle textstyle T f int 0 1 f x dx nbsp definierte Funktional T C 0 1 R R displaystyle T colon C left 0 1 right mathbb R to mathbb R nbsp ist stetig mit T 1 displaystyle Vert T Vert 1 nbsp Aus der Holder Ungleichung folgt dass fur g L q R displaystyle g in L q mathbb R nbsp das durch T f R f g displaystyle textstyle T f int mathbb R fg nbsp definierte Funktional T L p R R displaystyle T colon L p mathbb R to mathbb R nbsp stetig ist mit T g L q displaystyle Vert T Vert Vert g Vert L q nbsp Der durch eine stetige Funktion k 0 1 2 R displaystyle k colon left 0 1 right 2 to mathbb R nbsp und T f x 0 1 k x y f y d a displaystyle textstyle Tf x int 0 1 k x y f y mathrm d a nbsp definierte Integraloperator T C 0 1 C 0 1 displaystyle T colon C left 0 1 right to C left 0 1 right nbsp ist stetig und es gilt die Ungleichung T k displaystyle Vert T Vert leq Vert k Vert infty nbsp Der Differentialoperator d d x displaystyle tfrac mathrm d mathrm d x nbsp auf C 1 0 1 displaystyle C 1 left 0 1 right nbsp ist fur die Supremumsnorm kein stetiger Operator Zum Beispiel ist x n 1 displaystyle Vert x n Vert infty 1 nbsp aber d d x x n n displaystyle Vert tfrac mathrm d mathrm d x x n Vert infty n nbsp Der Operator ist aber stetig als Operator d d x C 1 0 1 C 0 1 displaystyle tfrac mathrm d mathrm d x colon C 1 0 1 to C 0 1 nbsp Der Raum der stetigen Operatoren BearbeitenSeien X Y displaystyle X Y nbsp normierte Vektorraume Dann ist L X Y T X Y T ist linear und stetig displaystyle L X Y left T colon X to Y mid T mbox ist linear und stetig right nbsp mit der Operatornorm displaystyle Vert cdot Vert nbsp ein normierter Vektorraum Wenn Y displaystyle Y nbsp vollstandig ist dann ist auch L X Y displaystyle L X Y nbsp vollstandig Wenn D X displaystyle D subset X nbsp ein dichter Unterraum und Y displaystyle Y nbsp vollstandig ist dann hat jeder stetige Operator T L D Y displaystyle T in L D Y nbsp eine eindeutige stetige Fortsetzung T L X Y displaystyle widehat T in L X Y nbsp mit T T displaystyle left Vert widehat T right Vert Vert T Vert nbsp Beschrankte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorraumen BearbeitenAnalog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator T X Y displaystyle T colon X to Y nbsp zwischen topologischen Vektorraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp beschrankt falls das Bild jeder beschrankten Teilmenge beschrankt ist 1 Falls X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp zusatzlich lokalkonvexe Vektorraume sind so ist der beschrankte Operator T X Y displaystyle T colon X to Y nbsp stetig genau dann wenn X displaystyle X nbsp ein bornologischer Raum ist Beschrankte Abbildungen zwischen topologischen Vektorraumen Bearbeiten Hauptartikel Beschrankte Abbildung Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorraumen auch als nicht lineare Operatoren bezeichnet 2 Sind also V displaystyle V nbsp und W displaystyle W nbsp topologische Vektorraume so heisst eine Abbildung T V W displaystyle T colon V to W nbsp beschrankt wenn das Bild jeder beschrankten Teilmenge beschrankt ist Literatur BearbeitenHarro Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung Teubner Wiesbaden 1975 4 durchgesehene Auflage ebenda 2006 ISBN 3 8351 0026 2 Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag ISBN 3642210163 Einzelnachweise Bearbeiten Norbert Adasch Bruno Ernst Dieter Keim Topological Vector Spaces The Theory Without Convexity Conditions Springer Verlag Berlin Heidelberg ISBN 978 3 540 08662 8 S 60 Klaus Deimling Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1974 ISBN 3 540 06888 0 Abgerufen von https de wikipedia org 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