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Differentialoperator Ein ist in der Mathematik eine Funktion die als Operator einer Funktion eine Funktion zuordnet und

Differentialoperator

Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion, die als Operator einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die Regularität der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildung (gesprochen: „d nach dx“), die einer differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnet:

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem Artikel eine beschränkte und offene Menge. Außerdem wird mit die Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktionen und mit die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Die Beschränkung, dass zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andere Definitions- und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der schwachen Ableitung und damit zu den Sobolev-Räumen, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der Funktionalanalysis in der Operatortheorie zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der Pseudo-Differentialoperator.

Linearer Differentialoperator erster Ordnung Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine offene Teilmenge. Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

die durch

dargestellt werden kann, wobei eine stetige Funktion ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung
in -Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.
  • Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch
definierte Operator ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.
hat.
und
sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen auf Holomorphie untersucht, gilt nämlich so ist die Funktion holomorph.

Gewöhnlicher Differentialoperator Bearbeiten

Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen auf.

Definition Bearbeiten

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung eine Abbildung

die durch

gegeben ist. Hier ist für alle wieder eine stetige Funktion. Im Fall für alle nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

Beispiel Bearbeiten

  • Die Ableitung -ter Ordnung
ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich aus für und ergebenden Spezialfall.

Linearer partieller Differentialoperator Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung ist ein linearer Operator

der durch

dargestellt werden kann. Wobei für alle Multiindizes eine stetige Funktion ist.

Beispiele Bearbeiten

Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.
Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.
wobei einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet.

Partieller Differentialoperator Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung ist ebenfalls wieder eine Abbildung

Diese ist gegeben durch

Hier sind für alle und stetige Funktionen.

Lineare Differentialoperatoren Bearbeiten

In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition der linearen Abbildung. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

Definition Bearbeiten

Sei ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

für alle Funktionen und alle Konstanten gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Nach Fouriertransformation lassen sie sich häufig auf algebraische Gleichungen und Konzepte der linearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der Differentialoperatoren Bearbeiten

Mit wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung bezeichnet, die auf operieren. Die Menge

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

zu einer -graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen . Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.

Koordinaten-invariante Definition Bearbeiten

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit und seien Vektorbündel. Ein Differentialoperator der Ordnung zwischen den Schnitten von und ist eine lineare Abbildung

mit den folgenden Eigenschaften:

  • Der Operator ist lokal, das heißt, es gilt
  • Für existieren eine offene Umgebung von , Bündelkarten und sowie ein Differentialoperator sodass das Diagramm

    kommutiert. Mit ist der Pullback eines glatten Vektorfeldes in den Raum bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

Symbol eines Differentialoperators Bearbeiten

Die in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2. Ordnung entsprechen, wenn man die partiellen Ableitungen formal durch Variablen ersetzt und nur die Terme höchster – also zweiter – Ordnung betrachtet, einer quadratischen Form in den . Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form dasselbe Vorzeichen, im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen, im parabolischen Fall fehlt für eines der der Term höchster Ordnung. Die entsprechenden partiellen Differentialgleichungen zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten. Die Namen kommen von den Analoga zu Kegelschnittgleichungen.

Das lässt sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Fälle erweitern. Man behält nur Terme der höchsten Ordnung bei, ersetzt Ableitungen durch neue Variable und erhält ein Polynom in diesen neuen Variablen, mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann. Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ, wenn gilt: das Hauptsymbol ist ungleich Null, wenn mindestens ein ungleich Null ist. Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2. Ordnung „gemischte“ Fälle, die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind.

Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Präzision fest.

Symbol Bearbeiten

Es sei

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung . Die Koeffizientenfunktion kann matrixwertig sein. Das Polynom

in heißt das Symbol von . Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

Hauptsymbol Bearbeiten

Sei wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung . Das homogene Polynom

in heißt Hauptsymbol von . Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

Beispiele Bearbeiten

Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbündeln Bearbeiten

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

Sei ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Sei , und . Wähle und mit , und . Dann ist der Ausdruck

unabhängig von der Wahl von und . Die Funktion

heißt dann das Hauptsymbol von .

Bidifferentialoperator Bearbeiten

Einen Differentialoperator, der auf zwei Funktionen wirkt,

nennt man auch Bidifferentialoperator.

Pseudo-Differentialoperatoren Bearbeiten

Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv. In der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert. Lineare Differentialoperatoren der Ordnung mit glatten und beschränkten Koeffizienten können als Pseudo-Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden. Sei ein solcher Differentialoperator, dann kann man auf die Fourier-Transformation und danach die inverse Fourier-Transformation anwenden. Das heißt, es gilt

Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo-Differentialoperators

Hieran sieht man auch, dass gewisse Differentialoperatoren als Integraloperatoren dargestellt werden können und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensätzlich sind.

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl., 2006, ISBN 3-528-47231-6.
  • Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-43580-8.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
  • Lawrence Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. World Scientific Pub Co (für Differentialoperatoren zwischen Vektorbündeln).
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Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion die als Operator einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthalt Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die Regularitat der Funktion auf die sie angewendet werden Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewohnliche Ableitung d h die Abbildung d d x displaystyle textstyle frac mathrm d mathrm d x gesprochen d nach dx die einer differenzierbaren Funktion f displaystyle f ihre Ableitung f displaystyle f prime zuordnet d d x f d d x f d f d x f displaystyle frac mathrm d mathrm d x colon f mapsto frac mathrm d mathrm d x f frac mathrm d f mathrm d x f Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknupfen Durch Weglassen der Funktion auf die sie wirken erhalt man reine Operatorgleichungen Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators die alle Spezialfalle oder Verallgemeinerungen voneinander sind Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verstandlich ist werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingultigkeit gegeben So bestehen gewohnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen wahrend in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen Soweit nicht anders angegeben sei in diesem Artikel M R n displaystyle M subset mathbb R n eine beschrankte und offene Menge Ausserdem wird mit C k M displaystyle C k M die Menge der k displaystyle k mal stetig differenzierbaren Funktionen f M R displaystyle f colon M to mathbb R und mit C M C 0 M displaystyle C M C 0 M die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet Die Beschrankung dass f displaystyle f zwischen reellen Teilmengen abbildet ist nicht notwendig wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt Sind andere Definitions und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll so wird dies im Folgenden explizit angegeben Dieser Artikel beschrankt sich ausserdem weitestgehend auf Differentialoperatoren die auf den gerade erwahnten Raumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren Es gibt Abschwachungen der Definitionen So fuhrte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der schwachen Ableitung und damit zu den Sobolev Raumen die eine Verallgemeinerung der Raume der stetig differenzierbaren Funktionen sind Dies fuhrte weiter zu dem Gedanken lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der Funktionalanalysis in der Operatortheorie zu untersuchen Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der Pseudo Differentialoperator Inhaltsverzeichnis 1 Linearer Differentialoperator erster Ordnung 1 1 Definition 1 2 Beispiele 2 Gewohnlicher Differentialoperator 2 1 Definition 2 2 Beispiel 3 Linearer partieller Differentialoperator 3 1 Definition 3 2 Beispiele 4 Partieller Differentialoperator 4 1 Definition 5 Lineare Differentialoperatoren 5 1 Definition 5 2 Algebra der Differentialoperatoren 6 Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit 6 1 Koordinaten invariante Definition 6 2 Beispiele 7 Symbol eines Differentialoperators 7 1 Symbol 7 2 Hauptsymbol 7 3 Beispiele 7 4 Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbundeln 8 Bidifferentialoperator 9 Pseudo Differentialoperatoren 10 LiteraturLinearer Differentialoperator erster Ordnung BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei M R n displaystyle M subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung D C 1 M C 0 M displaystyle D colon C 1 M to C 0 M nbsp die durch u i 1 n a i x x i u displaystyle u mapsto sum i 1 n a i x partial x i u nbsp dargestellt werden kann wobei a i displaystyle a i nbsp eine stetige Funktion ist Beispiele Bearbeiten Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewohnliche Ableitungd d x f f displaystyle frac mathrm d mathrm d x colon f mapsto f nbsp dd Die partielle Ableitung x i f f x i displaystyle frac partial partial x i colon f mapsto frac partial f partial x i nbsp dd in x i displaystyle x i nbsp Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhalt man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion Sei dazu a C 0 M displaystyle a in C 0 M nbsp eben so eine stetige Funktion dann ist der durchD a d d x f a f d h D f x a x f x displaystyle D a frac mathrm d mathrm d x colon f mapsto af quad text d h quad Df x a x f x nbsp dd definierte Operator D displaystyle D nbsp ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung Drei weitere Beispiele sind die Operatoren Gradient grad Divergenz div und Rotation rot aus der Vektoranalysis Sie werden durch das Nabla Symbol displaystyle nabla nbsp bezeichnet das im dreidimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten die Gestalt x 1 x 2 x 3 displaystyle nabla begin pmatrix frac partial partial x 1 frac partial partial x 2 frac partial partial 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Abbildung D C k M C 0 M displaystyle D colon C k M to C 0 M nbsp die durch D f x i 0 k a i x d i f d x i x b i displaystyle D f x sum i 0 k a i x left frac mathrm d i f mathrm d x i x right beta i nbsp gegeben ist Hier ist a i displaystyle a i nbsp fur alle i displaystyle i nbsp wieder eine stetige Funktion Im Fall b i 1 displaystyle beta i 1 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp nennt man diesen Operator einen gewohnlichen linearen Differentialoperator Beispiel Bearbeiten Die Ableitung k displaystyle k nbsp ter Ordnungd k d x k f f k displaystyle frac mathrm d k mathrm d x k colon f mapsto f k nbsp dd ist der einfachste Fall eines gewohnlichen Differentialoperators Es handelt sich um den sich aus a i 0 displaystyle a i equiv 0 nbsp fur i lt k a k 1 displaystyle i lt k a k equiv 1 nbsp und b k 1 displaystyle beta k 1 nbsp ergebenden Spezialfall Linearer partieller Differentialoperator BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei M R n displaystyle M subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung k displaystyle k nbsp ist ein linearer Operator D C k M C 0 M displaystyle D colon C k M to C 0 M nbsp der durch D f x a k a a x a f x a x displaystyle D f x sum alpha leq k a alpha x frac partial alpha f partial x alpha x nbsp dargestellt werden kann Wobei a a displaystyle a alpha nbsp fur alle Multiindizes a N n displaystyle alpha in mathbb N n nbsp eine stetige Funktion ist Beispiele Bearbeiten Der Laplace Operator in kartesischen Koordinaten lautetD 2 k 1 n 2 x k 2 displaystyle Delta nabla 2 sum k 1 n frac partial 2 partial x k 2 nbsp dd Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators Ausserdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren Der der Warmeleitungs oder Diffusionsgleichung entsprechende Operator istD t displaystyle Delta frac partial partial t nbsp dd Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators Der D Alembert Operator f x y z t 1 c 2 2 f t 2 x y z t D x y z f x y z t displaystyle Box varphi x y z t frac 1 c 2 frac partial 2 varphi partial t 2 x y z t Delta x y z varphi x y z t nbsp dd wobei c displaystyle c nbsp einer Geschwindigkeit entspricht ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet Partieller Differentialoperator BearbeitenDefinition Bearbeiten Ein nicht linearer partieller Differentialoperator der Ordnung k displaystyle k nbsp ist ebenfalls wieder eine Abbildung D C k M C 0 M displaystyle D colon C k M to C 0 M nbsp Diese ist gegeben durch D f x i a k a a i x a f x a x i displaystyle D f x sum i sum alpha leq k a alpha i x left frac partial alpha f partial x alpha x right i nbsp Hier sind a a i displaystyle a alpha i nbsp fur alle a N n displaystyle alpha in mathbb N n nbsp und i displaystyle i nbsp stetige Funktionen Lineare Differentialoperatoren BearbeitenIn den obigen Definitionen wurde schon kurz erwahnt wann ein gewohnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird Der Vollstandigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt Diese ist analog zur Definition der linearen Abbildung Alle oben angefuhrten Beispiele soweit nichts anderes dabei steht sind lineare Differentialoperatoren Definition Bearbeiten Sei D displaystyle D nbsp ein beliebiger Differentialoperator Dieser heisst linear falls D f g D f D g displaystyle D f g D f D g nbsp D c f c D f displaystyle D cf c D f nbsp fur alle Funktionen f g C 1 M displaystyle f g in C 1 M nbsp und alle Konstanten c displaystyle c nbsp gilt Prominentestes Beispiel hierfur ist der Differentialoperator d d x f f displaystyle frac mathrm d mathrm d x colon f mapsto f nbsp dd der einer Funktion f displaystyle f nbsp ihre Ableitung zuordnet Der Losungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum Nach Fouriertransformation lassen sie sich haufig auf algebraische Gleichungen und Konzepte der linearen Algebra zuruckfuhren Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln Algebra der Differentialoperatoren Bearbeiten Mit Diff k C k M displaystyle operatorname Diff k C k M nbsp wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung k displaystyle k nbsp bezeichnet die auf C k M displaystyle C k M nbsp operieren Die Menge Diff C k M k 0 Diff k C k M displaystyle operatorname Diff C k M bigoplus k geq 0 operatorname Diff k C k M nbsp wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation D 1 D 2 f D 1 D 2 f displaystyle mathrm D 1 circ mathrm D 2 f mathrm D 1 mathrm D 2 f nbsp zu einer Z displaystyle mathbb Z nbsp graduierten Algebra Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten bei denen die Kommutativitat aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren D displaystyle D nbsp bilden und daruber z B Exponentialfunktionen exp D displaystyle exp D nbsp Fur das Rechnen mit solchen Exponentialausdrucken von linearen Operatoren gelten die Baker Campbell Hausdorff Formeln Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit BearbeitenDa man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gultigen Koordinatensysteme zur Verfugung hat muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhangig definieren Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt Koordinaten invariante Definition Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine glatte Mannigfaltigkeit und seien E F M displaystyle E F to M nbsp Vektorbundel Ein Differentialoperator der Ordnung k displaystyle k nbsp zwischen den Schnitten von E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp ist eine lineare Abbildung D G M E G M F displaystyle D colon Gamma infty M E to Gamma infty M F nbsp mit den folgenden Eigenschaften Der Operator D displaystyle D nbsp ist lokal das heisst es giltsupp D s supp s displaystyle operatorname supp Ds subseteq operatorname supp s nbsp dd Fur x M displaystyle x in M nbsp existieren eine offene Umgebung U M displaystyle U subseteq M nbsp von x displaystyle x nbsp Bundelkarten ϕ E U U C r displaystyle phi colon E U to U times mathbb C r nbsp und ps F U U C s displaystyle psi colon F U to U times mathbb C s nbsp sowie ein Differentialoperator D Diff k U C r C s displaystyle tilde D in operatorname Diff k U mathbb C r mathbb C s nbsp sodass das DiagrammG 0 E U D G 0 F U ϕ ps C U C r D C U C s displaystyle begin array ccc Gamma 0 infty E vert U amp xrightarrow D amp Gamma 0 infty F vert U big downarrow phi amp amp big downarrow psi C infty U mathbb C r amp xrightarrow tilde D amp C infty U mathbb C s end array nbsp kommutiert Mit ϕ displaystyle phi nbsp ist der Pullback eines glatten Vektorfeldes in den Raum C U C r displaystyle C infty U mathbb C r nbsp bezeichnet Beispiele Bearbeiten Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt Die Menge der Differentialformen bildet ein glattes Vektorbundel uber einer glatten Mannigfaltigkeit Die Cartan Ableitung und ihr adjungierter Operator sind Differentialoperatoren auf diesem Vektorbundel Der Laplace Beltrami Operator sowie andere verallgemeinerte Laplace Operatoren sind Differentialoperatoren Das Tensorbundel ist ein Vektorbundel Fur jedes fest gewahlte Vektorfeld X displaystyle X nbsp ist die Abbildung X G T l k M G T l k M displaystyle nabla X colon Gamma infty T l k M rightarrow Gamma infty T l k M nbsp definiert durch T X T displaystyle T mapsto nabla X T nbsp wobei displaystyle nabla nbsp die kovariante Ableitung ist ein Differentialoperator Die Lie Ableitung ist ein Differentialoperator auf den Differentialformen Symbol eines Differentialoperators BearbeitenDie in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2 Ordnung entsprechen wenn man die partiellen Ableitungen i displaystyle partial i nbsp formal durch Variablen y i displaystyle y i nbsp ersetzt und nur die Terme hochster also zweiter Ordnung betrachtet einer quadratischen Form in den y i displaystyle y i nbsp Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form dasselbe Vorzeichen im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen im parabolischen Fall fehlt fur eines der y i displaystyle y i nbsp der Term hochster Ordnung Die entsprechenden partiellen Differentialgleichungen zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten Die Namen kommen von den Analoga zu Kegelschnittgleichungen Das lasst sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Falle erweitern Man behalt nur Terme der hochsten Ordnung bei ersetzt Ableitungen durch neue Variable y i displaystyle y i nbsp und erhalt ein Polynom in diesen neuen Variablen mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ wenn gilt das Hauptsymbol ist ungleich Null wenn mindestens ein y i displaystyle y i nbsp ungleich Null ist Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2 Ordnung gemischte Falle die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Prazision fest Symbol Bearbeiten Es sei P u x a m b a x a x a u x displaystyle P u x sum alpha leq m b alpha x frac partial alpha partial x alpha u x nbsp ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung m displaystyle m nbsp Die Koeffizientenfunktion b a C R n displaystyle b alpha in C infty mathbb R n nbsp kann matrixwertig sein Das Polynom p x 3 a m b a x i 3 a displaystyle p x xi sum alpha leq m b alpha x left i xi right alpha nbsp in 3 R n displaystyle xi in mathbb R n nbsp heisst das Symbol von P displaystyle P nbsp Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet die wichtigsten Informationen im Term der hochsten Ordnung zu finden sind wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet Hauptsymbol Bearbeiten Sei P displaystyle P nbsp wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung m displaystyle m nbsp Das homogene Polynom p m x 3 a m b a x i 3 a displaystyle p m x xi sum alpha m b alpha x left i xi right alpha nbsp in 3 R n displaystyle xi in mathbb R n nbsp heisst Hauptsymbol von P displaystyle P nbsp Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind Beispiele Bearbeiten Das Symbol und das Hauptsymbol des Laplace Operators D displaystyle Delta nbsp lauten i 1 n 3 i 2 3 2 displaystyle sum i 1 n xi i 2 xi 2 nbsp dd Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbundeln Bearbeiten Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen Dabei muss in der Definition naturlich berucksichtigt werden dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist beschrankt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols Sei D G M E G M F displaystyle D colon Gamma infty M E to Gamma infty M F nbsp ein koordinaten invarianter Differentialoperator der zwischen Schnitten von Vektorbundeln operiert Sei p M displaystyle p in M nbsp 3 T p M displaystyle xi in T p M nbsp und e E p displaystyle e in E p nbsp Wahle f C c M displaystyle f in C c infty M nbsp und s G c M E displaystyle s in Gamma c infty M E nbsp mit f p 0 displaystyle f p 0 nbsp d f p 3 displaystyle textstyle mathrm d f p xi nbsp und s p e displaystyle s p e nbsp Dann ist der Ausdruck s D k p 3 e i k k D f k s p displaystyle sigma D k p xi e frac i k k D f k s p nbsp unabhangig von der Wahl von f displaystyle f nbsp und s displaystyle s nbsp Die Funktion s D k p 3 Hom E p F p displaystyle sigma D k p xi in operatorname Hom E p F p nbsp heisst dann das Hauptsymbol von D displaystyle D nbsp Bidifferentialoperator BearbeitenEinen Differentialoperator der auf zwei Funktionen wirkt D C k M C k M C 0 M displaystyle D colon C k M times C k M to C 0 M nbsp nennt man auch Bidifferentialoperator Pseudo Differentialoperatoren Bearbeiten Hauptartikel Pseudo Differentialoperator Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv In der Theorie der Pseudo Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert Lineare Differentialoperatoren der Ordnung k displaystyle k nbsp mit glatten und beschrankten Koeffizienten konnen als Pseudo Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden Sei D C c k R n C c R n displaystyle D colon C c k mathbb R n to C c mathbb R n nbsp ein solcher Differentialoperator dann kann man auf D f displaystyle Df nbsp die Fourier Transformation F displaystyle mathcal F nbsp und danach die inverse Fourier Transformation F 1 displaystyle mathcal F 1 nbsp anwenden Das heisst es gilt D u x F 1 F D u x 1 2 p n R n R n e i x y 3 D 3 u y d y d 3 displaystyle Du x mathcal F 1 mathcal F Du x frac 1 2 pi n int mathbb R n int mathbb R n e mathrm i x y xi D xi u y mathrm d y mathrm d xi nbsp Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo Differentialoperators P u x 1 2 p n R n R n e i x y 3 a x y 3 u y d y d 3 displaystyle Pu x frac 1 2 pi n int mathbb R n int mathbb R n e mathrm i x y xi a x y xi u y mathrm d y mathrm d xi nbsp Hieran sieht man auch dass gewisse Differentialoperatoren als Integraloperatoren dargestellt werden konnen und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensatzlich sind Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis 2 Differentialrechnung im Rn Gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Verlag 7 Aufl 2006 ISBN 3 528 47231 6 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8 Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Lawrence Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society ISBN 0 8218 0772 2 Liviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds World Scientific Pub Co fur Differentialoperatoren zwischen Vektorbundeln Normdaten Sachbegriff GND 4012251 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differentialoperator amp oldid 232653066