Differentiationsklasse Die 1 ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis Sie ist ein

Differentiationsklasse

Die Differentiationsklasse ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis. Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen, die mindestens -mal stetig differenzierbar sind, wobei eine natürliche Zahl ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels .

Definition Bearbeiten

Sei eine Zahl und eine nichtleere, offene Teilmenge der reellen Zahlen. Eine stetige Funktion gehört dann zur Differentiationsklasse beziehungsweise genauer , wenn auf ganz mindestens -mal stetig differenzierbar ist.

Entsprechend der Definition wird mit die Klasse der stetigen Funktionen und mit die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Die Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit bezeichnet.

Für stetige Funktionen im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog übernommen. Die Funktion gehört also zur Differentiationsklasse , wenn sie auf ganz mindestens -mal stetig differenzierbar ist.

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen () bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden:

Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die -Differentiationsklassen analog definiert.

Teilmengenrelation Bearbeiten

Sei eine offene Teilmenge, dann gilt

Je höher also der Index der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

Beispiele Bearbeiten

Die Exponentialfunktion ist analytisch und gehört somit zur Klasse .
Die Betragsfunktion ist stetig, aber nicht differenzierbar. Sie gehört also zur Klasse , aber nicht zur Klasse .
Die Funktion , ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal. Es gilt also .
Die Funktion mit für und ist beliebig oft differenzierbar und gehört somit zur Klasse , aber sie ist nicht analytisch.
Die Funktion mit für und ist überall differenzierbar, aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig. Somit gehört die Funktion nicht zur Klasse , sondern nur zur Klasse .

Genügend glatt Bearbeiten

Im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen, dass eine Funktion genügend glatt sei. Dies bedeutet, dass im jeweiligen Kontext genügend oft differenzierbar ist, man sich also sozusagen keine zusätzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss. Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung glatte Funktion für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab.

Einzelnachweise Bearbeiten

Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 3. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-020960-0, S. 59, 147ff.
↑ Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 155.
Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 62.
Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019540-8, S. 64, 448.
Prof. Martin Keller-Ressel: Stochastische Analysis. In: TU Dresden, Fakultät Mathematik. 23. Mai 2015, S. 46, abgerufen am 9. Januar 2020.
Dirk Langemann, Cordula Reisch: So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57501-7, S. 101.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 02:24 am

Die Differentiationsklasse 1 ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen die mindestens k displaystyle k mal stetig differenzierbar sind wobei k displaystyle k eine naturliche Zahl ist Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels C k displaystyle C k Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Verallgemeinerungen 3 Teilmengenrelation 4 Beispiele 5 Genugend glatt 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei k N 0 displaystyle k in mathbb N cup 0 nbsp eine Zahl und D R displaystyle D subset mathbb R nbsp eine nichtleere offene Teilmenge der reellen Zahlen Eine stetige Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp gehort dann zur Differentiationsklasse C k D displaystyle C k D nbsp beziehungsweise genauer C k D R displaystyle C k D mathbb R nbsp wenn f displaystyle f nbsp auf ganz D displaystyle D nbsp mindestens k displaystyle k nbsp mal stetig differenzierbar ist 2 Entsprechend der Definition wird mit C D C 0 D displaystyle C D C 0 D nbsp die Klasse der stetigen Funktionen und mit C D displaystyle C infty D nbsp die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet 2 Verallgemeinerungen BearbeitenDie Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit C w D displaystyle C omega D nbsp bezeichnet Fur stetige Funktionen g D R n R m displaystyle g colon tilde D subset mathbb R n to mathbb R m nbsp im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog ubernommen Die Funktion g displaystyle g nbsp gehort also zur Differentiationsklasse C k D R m displaystyle C k tilde D mathbb R m nbsp wenn sie auf ganz D displaystyle tilde D nbsp mindestens k displaystyle k nbsp mal stetig differenzierbar ist 3 4 Wenn sich die Anzahl der moglichen Differentiationen k l displaystyle k l nbsp bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden C k l D displaystyle C k l D nbsp 5 Auch fur Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die C k displaystyle C k nbsp Differentiationsklassen analog definiert Teilmengenrelation BearbeitenSei D R n displaystyle D subset mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge dann gilt C w D C D C k D C 1 D C 0 D displaystyle C omega D subset C infty D subset dotsb subset C k D subset dotsb subset C 1 D subset C 0 D nbsp Je hoher also der Index k displaystyle k nbsp der Differentiationsklasse ist desto weniger Funktionen umfasst sie Beispiele BearbeitenDie Exponentialfunktion exp R R displaystyle exp colon mathbb R rightarrow mathbb R nbsp ist analytisch und gehort somit zur Klasse C w R displaystyle C omega mathbb R nbsp Die Betragsfunktion R R displaystyle cdot colon mathbb R to mathbb R nbsp ist stetig aber nicht differenzierbar Sie gehort also zur Klasse C 0 R displaystyle C 0 mathbb R nbsp aber nicht zur Klasse C 1 R displaystyle C 1 mathbb R nbsp Die Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp x x 3 displaystyle x mapsto x 3 nbsp ist zweimal stetig differenzierbar aber nicht dreimal Es gilt also f C 2 R C 3 R displaystyle f in C 2 mathbb R setminus C 3 mathbb R nbsp Die Funktion g R R displaystyle g colon mathbb R to mathbb R nbsp mit g x exp 1 x 2 displaystyle g x exp left tfrac 1 x 2 right nbsp fur x 0 displaystyle x neq 0 nbsp und g 0 0 displaystyle g 0 0 nbsp ist beliebig oft differenzierbar und gehort somit zur Klasse C R displaystyle C infty mathbb R nbsp aber sie ist nicht analytisch Die Funktion h R R displaystyle h colon mathbb R to mathbb R nbsp mit h x x 2 sin 1 x displaystyle h x x 2 sin 1 x nbsp fur x 0 displaystyle x neq 0 nbsp und h 0 0 displaystyle h 0 0 nbsp ist uberall differenzierbar aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig Somit gehort die Funktion nicht zur Klasse C 1 R displaystyle C 1 mathbb R nbsp sondern nur zur Klasse C 0 R displaystyle C 0 mathbb R nbsp Genugend glatt BearbeitenIm Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen dass eine Funktion genugend glatt sei Dies bedeutet dass im jeweiligen Kontext genugend oft differenzierbar ist man sich also sozusagen keine zusatzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss 6 Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung glatte Funktion fur eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab Einzelnachweise Bearbeiten Rolf Walter Einfuhrung in die Analysis Band 3 Walter de Gruyter Berlin u a 2009 ISBN 978 3 11 020960 0 S 59 147ff a b Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer Verlag Berlin u a 2004 ISBN 3 540 41282 4 S 155 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8 S 62 Rolf Walter Einfuhrung in die Analysis 2 de Gruyter 2007 ISBN 978 3 11 019540 8 S 64 448 Prof Martin Keller Ressel Stochastische Analysis In TU Dresden Fakultat Mathematik 23 Mai 2015 S 46 abgerufen am 9 Januar 2020 Dirk Langemann Cordula Reisch So einfach ist Mathematik Partielle Differenzialgleichungen fur Anwender 1 Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2018 ISBN 978 3 662 57501 7 S 101 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differentiationsklasse amp oldid 196324910