In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).
Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis .
Definition Bearbeiten
Die Exponentialfunktion zu der Basis kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.
Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe
wobei die Fakultät von bezeichnet.
Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit :
Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen geeignet (s. weiter unten).
Die reelle Exponentialfunktion ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv. Dabei bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen.
Sie ist folglich bijektiv. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus .
Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.
Konvergenz der Reihe, Stetigkeit Bearbeiten
Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe
lässt sich für alle reellen und komplexen einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig.
Rechenregeln Bearbeiten
Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:
für alle und alle reellen oder komplexen .
Generell gilt diese Umformung von auch für beliebige andere Werte als neue Basis:
Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Potenzgesetze:
Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen und und alle reellen und . Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:
Siehe auch Rechenregeln für Logarithmus.
Ableitung Bearbeiten
Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis , beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Funktion selbst ergibt:
Wenn man zusätzlich
fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion , die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit dieser Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.
Allgemeiner folgt für reelles aus
und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:
In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.
Stammfunktion Bearbeiten
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich die Stammfunktion der e-Funktion:
Für beliebige Exponentialfunktionen mit und gilt:
Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen Bearbeiten
Mit Hilfe der Reihendarstellung
lässt sich die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen definieren. Die Reihe konvergiert für alle absolut.
Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen Zahlen , folgende wichtige Eigenschaften:
Die Exponentialfunktion ist somit ein surjektiver, aber nicht injektiver Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe auf die abelsche Gruppe , also von der additiven auf die multiplikative Gruppe des Körpers .
In hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h., sie ist eine ganze Funktion. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode , es gilt also
Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen
mit , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.
Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:
Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel
Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung
der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz und der Frequenz .
Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:
Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:
Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche. Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung
entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion mit reellem Argument . Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.
Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren Bearbeiten
Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren, zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm, verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe
definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.
Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion
ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte und , die kommutieren, also für Werte mit (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.
Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix , so dass , wobei eine Diagonalmatrix und eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit
Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension der Matrix ist.
Numerische Berechnungsmöglichkeiten Bearbeiten
Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.
Der Rest der -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf
Die einfachste Reduktion benutzt die Identität , d. h. zu gegebenem wird bestimmt, wobei nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, berechnet und -fach quadriert: . wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als zurückgegeben.
Effizientere Verfahren setzen voraus, dass , besser zusätzlich und (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten
benutzt werden, um auf ein aus dem Intervall oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.
Bei Implementierung in Hardware werden für deren Belange geeignete Verfahren genutzt, zum Beispiel:
Hintergründe und Beweise Bearbeiten
Motivation Bearbeiten
Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung mit . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck
Was bedeutet nun ? Nennt man diesen Grenzwert , so gilt für die durch
definierte Zahl (bzw. , muss dann also der Logarithmus zur Basis sein) nach der Kettenregel formal
erfüllt dann vermutlich
Wie kann man diese Zahl berechnen? Setzt man rein formal und löst die Gleichung
ist also zu vermuten, dass
gilt.
Für erhält man mit auch rein formal die Darstellung
also die eine Definition der Exponentialfunktion.
Taylorreihe Bearbeiten
Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion
in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch
gelten muss, also , erhält man für die Taylorreihe an der Stelle
also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat. Diese Taylorreihe lässt sich auch als Kettenbruch darstellen:
Konvergenz der Folgendarstellung Bearbeiten
Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge
ist für reelle punktweise konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.
Beweis der Monotonie Bearbeiten
Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für
die Folge ist daher für fast alle monoton steigend.
Beweis der Beschränktheit Bearbeiten
Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt für
Für und ist die Folge daher für alle beschränkt:
Für und gilt offensichtlich die Schranke
Funktionalgleichung Bearbeiten
Da und konvergieren, konvergiert auch deren Produkt
Ist nun , so liefert die bernoullische Ungleichung für hinreichend große
für erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung für und ebenfalls der bernoullischen Ungleichung für hinreichend große
die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung .
Ungleichungen Bearbeiten
Abschätzung nach unten Bearbeiten
Für reelle lässt sich die Exponentialfunktion mit
nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition
und der Tatsache, dass für hinreichend große . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.
Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung
verschärfen. Für folgt sie aus , für ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die bernoullische Ungleichung auf die Definition
anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.
Abschätzung nach oben Bearbeiten
Setzt man in der Abschätzung nach unten statt ein und verwendet , so erhält man durch Umstellen der Ungleichung die für alle gültige Abschätzung nach oben .
Ableitung der Exponentialfunktion Bearbeiten
Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:
Gemeinsam mit der Funktionalgleichung folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:
Wachstum der e-Funktion im Vergleich zu Polynomfunktionen Bearbeiten
Oft wird die Aussage benötigt, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker wächst als jede Potenzfunktion, d. h.
Für ist dies klar, für kann entweder induktiv die Regel von de L’Hospital benutzt werden, oder auch elegant abgeschätzt werden:
Zunächst gilt
Wegen gilt
Dies konvergiert gegen und somit der obige Grenzwert gegen 0.
Basiswechsel Bearbeiten
Wie bereits zuvor erwähnt, gilt
Beweis: Nach Definition des Logarithmus ist äquivalent zu , woraus die Identität folgt. Ersetzen von durch liefert
wobei im zweiten Schritt die Logarithmus-Rechenregel für Potenzen angewendet wurde.
Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion Bearbeiten
Will man die einfache Differentialgleichung: lösen und setzt noch voraus, so erhält man daraus eine Definition von .
Umkehrfunktion Bearbeiten
Setzt man nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion von
Denn , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist
und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält
Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist und bei der Umkehrfunktion nach Eigenschaft der Umkehrfunktion: .
Differentialgleichung Bearbeiten
Erweitert man die Differentialgleichung auf für und löst sie, so erhält man für die Form
Speziell für ist
Ist dann eine Lösung und , dann ist
und nach Voraussetzung
Für beliebiges führen wir
ein. Es ergibt sich
und nach Voraussetzung wieder
Man besitzt nun ein Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, in denen man mittels eines Ansatzes vom Typ ein Ergebnis der Form erhält, welches auf der Exponentialfunktion basiert.
Beispiele für Exponentialfunktionen Bearbeiten
Physik Bearbeiten
Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:
- der radioaktive Zerfall von Teilchen
- der Luftdruckverlauf in der Atmosphäre siehe barometrische Höhenformel
- zeitliche Ladungskurven eines elektrischen Kondensators
- zeitliche Energiekurve beim Einschaltvorgang einer Spule durch Selbstinduktion
- Thermodynamik und Statistik: Boltzmann-Faktor, Fermi-Dirac-Statistik, Bose-Einstein-Statistik
- die Abkühlung und Erwärmung eines Körpers
Chemie Bearbeiten
Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt (hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:
Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit , so ist die Reaktionsgeschwindigkeit , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung
mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante . Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge des übriggebliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:
wobei die Konstante die zur Zeit vorhandene Menge bezeichnet. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).
Biologie, Epidemien Bearbeiten
Beschreibung des exponentiellen Wachstums in der Anfangszeit einer Population von z. B. Mikroorganismen, Ausbreitung von Infektionen im Rahmen einer Epidemie und Fortpflanzung von Lebewesen, siehe r-Strategie oder SIR-Modell.
Stochastik Bearbeiten
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn Münzen zufällig auf Empfänger verteilt werden und sehr groß ist?
Die Definitionsformel für die Exponentialfunktion
die daraus abgeleitete Näherungsformel
und die eulersche Zahl erlauben eine einfache Abschätzung.
Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt und , keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: . Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, -mal erfolglos zu sein:
Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten , wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten …):
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:
Wie viele Münzen müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit , keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus obiger Näherungsformel folgt:
Oder anders gefragt: Wie viele Münzen müssen es mehr sein als Empfänger ?
Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.
Wirtschaft Bearbeiten
- Stetige Verzinsung
- Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden“ Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen).
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Wenn eine Größe ist, deren Potenzen für beliebiges nicht-negatives ganzzahliges existieren, und wenn der Grenzwert existiert, ist es sinnvoll, die abstrakte Größe durch die oben angegebene Exponentialreihe zu definieren. Ähnliches gilt für Operatoren , die, einschließlich ihrer Potenzen, eine lineare Abbildung eines Definitionsbereichs eines abstrakten Raumes (mit Elementen ) in einen Wertebereich der reellen Zahlen ergeben: Hier ist es sogar für alle reellen sinnvoll, in ganz (genauer: im zugehörigen Abschlussbereich) Exponentialoperatoren durch den Ausdruck zu definieren, wobei die Konvergenz dieses Ausdrucks zunächst offenbleibt.
Iteration der Exponentiation führt auf die Verallgemeinerte Exponentialfunktion, die in der Gleitkomma-Arithmetik verwendet wird.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Christian Blatter, Analysis II. 1. Auflage, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3, Kap. 18, § 182, Potenzreihen
- Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall
- Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: A.2.2 The exponential function. In: Continued Fractions – Convergence Theory (= Atlantis Studies in Mathematics for Engineering and Science. Band 1). Atlantis Press, 2008, ISBN 978-94-91216-37-4, ISSN 1875-7642, Abschnitt: Appendix A – Some continued fraction expansions, S. 268, doi:10.2991/978-94-91216-37-4 (link.springer.com [PDF]).