Mit trigonometrischen Funktionen oder auch Winkelfunktionen seltener Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen bezeichnet man rechnerische Zusammenhange zwischen Winkel und Seitenverhaltnissen ursprunglich in rechtwinkligen Dreiecken Tabellen mit Verhaltniswerten fur bestimmte Winkel ermoglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben die Winkel und Seitenlangen in Dreiecken nutzen Die trigonometrischen Funktionen sind ausserdem die grundlegenden Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgange in den Naturwissenschaften Sinus Kosinus und Tangens r 1 Inhaltsverzeichnis 1 Ubersicht der trigonometrischen Funktionen 2 Definition 3 Beziehungen zwischen den Funktionen 4 Ungleichungen zwischen den Funktionen 5 Anwendung der trigonometrischen Funktionen 6 Umkehrung der trigonometrischen Funktionen 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseUbersicht der trigonometrischen Funktionen Bearbeiten nbsp Die Animation zeigt die Beziehung zwischen dem Einheitskreis und der Sinus sowie der Kosinusfunktion nbsp Am Einheitskreis definierbare trigonometrische Funktionen nbsp Die Funktionsgraphen aller trigonometrischen FunktionenDie elementaren trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion abgekurzt sin die Kosinusfunktion abgekurzt cos die Tangensfunktion abgekurzt tan oder tg sowie deren Kehrwerte Kosekansfunktion Kehrwert des Sinus csc Sekansfunktion Kehrwert des Kosinus sec Kotangensfunktion Kehrwert des Tangens cot Zwischen diesen Funktionen bestehen enge Zusammenhange Genau genommen wurde bereits eine der Funktionen ausreichen um beliebige trigonometrische Probleme losen zu konnen Die Verwendung mehrerer verschiedener Funktionen ermoglicht jedoch eine Vereinfachung der Rechnungen und Formeln Die Kotangensfunktion wird in Tabellen mit Funktionswerten von trigonometrischen Funktionen gerne genutzt da man cot x zusammen mit der Tangensfunktion tabellieren kann Insofern ist die Bedeutung von cot x etwas grosser als die von sec x und csc x Es gibt weitere heute eher unubliche Funktionen wie z B sinus versus versin cosinus versus coversin exsecant exsec und excosecant excsc Definition Bearbeiten nbsp Ursprunglich sind die Winkelfunktionen als Seitenverhaltnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur fur Winkel von 0 bis 90 Grad definiert sin a Gegenkathete von a Hypotenuse a c cos a Ankathete von a Hypotenuse b c tan a Gegenkathete von a Ankathete von a a b sin b Gegenkathete von b Hypotenuse b c cos b Ankathete von b Hypotenuse a c tan b Gegenkathete von b Ankathete von b b a displaystyle begin aligned sin alpha amp frac text Gegenkathete von alpha text Hypotenuse amp frac a c cos alpha amp frac text Ankathete von alpha text Hypotenuse amp frac b c tan alpha amp frac text Gegenkathete von alpha text Ankathete von alpha amp frac a b sin beta amp frac text Gegenkathete von beta text Hypotenuse amp frac b c cos beta amp frac text Ankathete von beta text Hypotenuse amp frac a c tan beta amp frac text Gegenkathete von beta text Ankathete von beta amp frac b a end aligned nbsp Diese Definition ist unabhangig von der Wahl des rechtwinkligen Dreiecks das zur Berechnung verwendet wird In jedem rechtwinkligen Dreieck mit gleichem Winkel a displaystyle alpha nbsp ergeben diese Verhaltnisse den gleichen Wert Dies lasst sich z B mit den Strahlensatzen beweisen Aus diesen Beziehungen folgt unmittelbar die Beziehung tan a sin a cos a displaystyle tan alpha frac sin alpha cos alpha nbsp Die Ankathete des Winkels ist gleichzeitig die Gegenkathete des anderen spitzen Winkels b displaystyle beta nbsp des rechtwinkligen Dreiecks da die Winkelsumme im Dreieck 180 betragt und der rechte Winkel 90 zu dieser Summe beitragt ist dieser Winkel b 90 a displaystyle beta 90 circ alpha nbsp und daher cos a sin 90 a displaystyle cos alpha sin 90 circ alpha nbsp nbsp Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis C P sin b displaystyle overline CP sin b nbsp S P cos b displaystyle overline SP cos b nbsp D T tan b displaystyle overline DT tan b nbsp E K cot b displaystyle overline EK cot b nbsp O T sec b displaystyle overline OT operatorname sec b nbsp O K csc b displaystyle overline OK operatorname csc b nbsp Die Winkelfunktionen konnen aber als Sekanten und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf grossere Winkel erweitert werden Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefallt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels Die Tangenten in den Punkten x 1 bzw y 1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls ruckwarts verlangert werden um einen Schnittpunkt zu erzielen Auf diese Weise konnen jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden die nun freilich auch negativ werden konnen siehe Abbildung Die oben angegebenen Beziehungen gelten dabei weiterhin In der Analysis werden Sinus und Kosinus in der Regel uber Potenzreihen definiert wobei der Winkel im Bogenmass angegeben wird Naheres siehe in den Artikeln Sinus und Kosinus sowie Tangens Beziehungen zwischen den Funktionen BearbeitenDie Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in Abhangigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an Quadrant sin und csc cos und sec tan und cotI II III IV Der Betrag wird wie folgt umgerechnet sin cos tan cot sec cscsin x sin x displaystyle sin x nbsp 1 cos 2 x displaystyle pm sqrt 1 cos 2 x nbsp tan x 1 tan 2 x displaystyle pm frac tan x sqrt 1 tan 2 x nbsp 1 cot 2 x 1 displaystyle pm frac 1 sqrt cot 2 x 1 nbsp sec 2 x 1 sec x displaystyle pm frac sqrt sec 2 x 1 sec x nbsp 1 csc x displaystyle frac 1 csc x nbsp cos x 1 sin 2 x displaystyle pm sqrt 1 sin 2 x nbsp cos x displaystyle cos x nbsp 1 1 tan 2 x displaystyle pm frac 1 sqrt 1 tan 2 x nbsp cot x cot 2 x 1 displaystyle pm frac cot x sqrt cot 2 x 1 nbsp 1 sec x displaystyle frac 1 sec x nbsp csc 2 x 1 csc x displaystyle pm frac sqrt csc 2 x 1 csc x nbsp tan x sin x 1 sin 2 x displaystyle pm frac sin x sqrt 1 sin 2 x nbsp 1 cos 2 x cos x displaystyle pm frac sqrt 1 cos 2 x cos x nbsp tan x displaystyle tan x nbsp 1 cot x displaystyle frac 1 cot x nbsp sec 2 x 1 displaystyle pm sqrt sec 2 x 1 nbsp 1 csc 2 x 1 displaystyle pm frac 1 sqrt csc 2 x 1 nbsp cot x 1 sin 2 x sin x displaystyle pm frac sqrt 1 sin 2 x sin x nbsp cos x 1 cos 2 x displaystyle pm frac cos x sqrt 1 cos 2 x nbsp 1 tan x displaystyle frac 1 tan x nbsp cot x displaystyle cot x nbsp 1 sec 2 x 1 displaystyle pm frac 1 sqrt sec 2 x 1 nbsp csc 2 x 1 displaystyle pm sqrt csc 2 x 1 nbsp sec x 1 1 sin 2 x displaystyle pm frac 1 sqrt 1 sin 2 x nbsp 1 cos x displaystyle frac 1 cos x nbsp 1 tan 2 x displaystyle pm sqrt 1 tan 2 x nbsp cot 2 x 1 cot x displaystyle pm frac sqrt cot 2 x 1 cot x nbsp sec x displaystyle sec x nbsp csc x csc 2 x 1 displaystyle pm frac csc x sqrt csc 2 x 1 nbsp csc x 1 sin x displaystyle frac 1 sin x nbsp 1 1 cos 2 x displaystyle pm frac 1 sqrt 1 cos 2 x nbsp 1 tan 2 x tan x displaystyle pm frac sqrt 1 tan 2 x tan x nbsp cot 2 x 1 displaystyle pm sqrt cot 2 x 1 nbsp sec x sec 2 x 1 displaystyle pm frac sec x sqrt sec 2 x 1 nbsp csc x displaystyle csc x nbsp Wenn das displaystyle pm nbsp verwendet wird ist zu beachten dass sin x 0 displaystyle sin x geq 0 nbsp fur 0 x 180 displaystyle 0 circ leq x leq 180 circ nbsp oder 0 x p displaystyle 0 leq x leq pi nbsp sin x 0 displaystyle sin x leq 0 nbsp fur 180 x 360 displaystyle 180 circ leq x leq 360 circ nbsp oder p x 2 p displaystyle pi leq x leq 2 pi nbsp cos x 0 displaystyle cos x geq 0 nbsp fur0 x 90 270 x 360 displaystyle 0 circ leq x leq 90 circ 270 circ leq x leq 360 circ nbsp oder 0 x p 2 3 p 2 x 2 p displaystyle 0 leq x leq tfrac pi 2 tfrac 3 pi 2 leq x leq 2 pi nbsp cos x 0 displaystyle cos x leq 0 nbsp fur90 x 270 displaystyle 90 circ leq x leq 270 circ nbsp oder p 2 x 3 p 2 displaystyle tfrac pi 2 leq x leq tfrac 3 pi 2 nbsp tan x 0 displaystyle tan x geq 0 nbsp fur0 x lt 90 180 x lt 270 displaystyle 0 circ leq x lt 90 circ 180 circ leq x lt 270 circ nbsp oder 0 x lt p 2 p x lt 3 p 2 displaystyle 0 leq x lt tfrac pi 2 pi leq x lt tfrac 3 pi 2 nbsp tan x 0 displaystyle tan x leq 0 nbsp fur90 lt x 180 270 lt x 360 displaystyle 90 circ lt x leq 180 circ 270 circ lt x leq 360 circ nbsp oder p 2 lt x p 3 p 2 lt x 2 p displaystyle tfrac pi 2 lt x leq pi tfrac 3 pi 2 lt x leq 2 pi nbsp cot x 0 displaystyle cot x geq 0 nbsp fur0 lt x 90 180 lt x 270 displaystyle 0 circ lt x leq 90 circ 180 circ lt x leq 270 circ nbsp oder 0 lt x p 2 p lt x 3 p 2 displaystyle 0 lt x leq tfrac pi 2 pi lt x leq tfrac 3 pi 2 nbsp cot x 0 displaystyle cot x leq 0 nbsp fur90 x lt 180 270 x lt 360 displaystyle 90 circ leq x lt 180 circ 270 circ leq x lt 360 circ nbsp oder p 2 x lt p 3 p 2 x lt 2 p displaystyle tfrac pi 2 leq x lt pi tfrac 3 pi 2 leq x lt 2 pi nbsp sec x 0 displaystyle sec x geq 0 nbsp fur0 lt x lt 90 270 lt x lt 360 displaystyle 0 circ lt x lt 90 circ 270 circ lt x lt 360 circ nbsp oder 0 lt x lt p 2 3 p 2 lt x lt 2 p displaystyle 0 lt x lt tfrac pi 2 tfrac 3 pi 2 lt x lt 2 pi nbsp sec x 0 displaystyle sec x leq 0 nbsp fur90 lt x lt 270 displaystyle 90 circ lt x lt 270 circ nbsp oder p 2 lt x lt 3 p 2 displaystyle tfrac pi 2 lt x lt tfrac 3 pi 2 nbsp csc x 0 displaystyle csc x geq 0 nbsp fur0 lt x lt 180 displaystyle 0 circ lt x lt 180 circ nbsp oder 0 lt x lt p displaystyle 0 lt x lt pi nbsp csc x 0 displaystyle csc x leq 0 nbsp fur180 lt x lt 360 displaystyle 180 circ lt x lt 360 circ nbsp oder p lt x lt 2 p displaystyle pi lt x lt 2 pi nbsp Ungleichungen zwischen den Funktionen Bearbeiten nbsp Grafische Veranschaulichung der Ungleichung von AristarchosIn den nachfolgenden Ungleichungen die auf den griechischen Astronomen und Mathematiker Aristarchos von Samos zuruckgehen werden Verhaltnisse zwischen den Argumenten und den Funktionswerten trigonometrischer Funktionen miteinander verglichen Sie lautet 0 lt x 1 lt x 2 lt p 2 sin x 2 sin x 1 lt x 2 x 1 lt tan x 2 tan x 1 displaystyle 0 lt x 1 lt x 2 lt frac pi 2 Rightarrow frac sin x 2 sin x 1 lt frac x 2 x 1 lt frac tan x 2 tan x 1 nbsp Aus der abgebildeten Figur resultieren der Beweisansatze sin x 2 lt sin x 1 x 1 x 2 displaystyle sin x 2 lt frac sin x 1 x 1 cdot x 2 nbsp und tan x 1 x 1 x 2 lt tan x 2 displaystyle frac tan x 1 x 1 cdot x 2 lt tan x 2 nbsp Dividiert man die erste dieser beiden letzten Ungleichungen durch sin x 1 displaystyle sin x 1 nbsp und die zweite durch tan x 1 displaystyle tan x 1 nbsp so erhalt man durch Zusammenfuhrung der so umgeformten Ungleichungen sin x 2 sin x 1 lt x 2 x 1 lt tan x 2 tan x 1 displaystyle frac sin x 2 sin x 1 lt frac x 2 x 1 lt frac tan x 2 tan x 1 nbsp was zu beweisen war 1 2 Anwendung der trigonometrischen Funktionen BearbeitenHauptsachlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt Formeln zur Berechnung von Grossen am Dreieck Dreiecksgeometrie Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik und der Technik wichtig Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird Umkehrung der trigonometrischen Funktionen BearbeitenIn manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benotigt um aus Seitenverhaltnissen Winkel zu berechnen Dazu werden die Arkusfunktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin arccos arctan und arccot die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen verwendet Auf Taschenrechnern sind sie haufig mit sin 1 usw bezeichnet Das stimmt mit der Schreibweise f 1 displaystyle f 1 nbsp fur die Umkehrfunktion von f uberein auch wenn die Arkusfunktionen das genau genommen nicht sind kollidiert allerdings mit der ebenso ublichen Konvention sin k x displaystyle sin k x nbsp fur sin x k displaystyle sin x k nbsp zu schreiben Die Arkusfunktionen werden verwendet um zu einem Seitenverhaltnis den Winkel zu berechnen Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist von Fall zu Fall zu klaren in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Trigonometrie HyperbelfunktionWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Plots Trigonometrischer Funktionen Album mit Bildern Videos und Audiodateien Interaktive Darstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis In GeoGebra Abgerufen am 17 Mai 2023 Inverse WinkelfunktionenEinzelnachweise Bearbeiten Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 146 Mathematics Magazine vol 66 no 1 Feb 1993 S 65Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trigonometrische Funktion amp oldid 233814420
