Arkusfunktionen von lat arcus Bogen auch zyklometrische Funktionen genannt sind wie es ihre alternative Bezeichnung als inverse Winkelfunktionen andeutet Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen die Arkusfunktionen liefern also zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehorigen Winkel Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion die in mathematischen Formeln und Gleichungen durch ein vorangestelltes arc displaystyle operatorname arc oder a displaystyle operatorname a vom Kurzel der zugehorigen trigonometrischen Funktion unterschieden wird Vor allem im englischsprachigen Raum aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner findet sich immer haufiger eine Schreibweise mit einem in spitze Klammern gesetzten Exponenten 1 displaystyle langle 1 rangle der signalisieren soll dass es sich um die minus erste Iteration also die Umkehrfunktion der Winkelfunktion handelt Leider werden die spitzen Klammern oft weggelassen wodurch eine Schreibung 1 displaystyle 1 entsteht die leicht mit dem Kehrwert verwechselt werden kann Winkelfunktion Arkusfunktion Kurzel als minus erste IterationSinus Arkussinus arcsin displaystyle arcsin oder asin displaystyle operatorname asin sin 1 displaystyle sin langle 1 rangle oder sin 1 displaystyle sin 1 Kosinus Arkuskosinus arccos displaystyle arccos oder acos displaystyle operatorname acos cos 1 displaystyle cos langle 1 rangle oder cos 1 displaystyle cos 1 Tangens Arkustangens arctan displaystyle arctan oder atan displaystyle operatorname atan tan 1 displaystyle tan langle 1 rangle oder tan 1 displaystyle tan 1 Kotangens Arkuskotangens arccot displaystyle operatorname arccot oder acot displaystyle operatorname acot cot 1 displaystyle cot langle 1 rangle oder cot 1 displaystyle cot 1 Sekans Arkussekans arcsec displaystyle operatorname arcsec sec 1 displaystyle sec langle 1 rangle oder sec 1 displaystyle sec 1 Kosekans Arkuskosekans arccsc displaystyle operatorname arccsc csc 1 displaystyle csc langle 1 rangle oder csc 1 displaystyle csc 1 Die Hauptwerte der arcsin x rot und arccos x Funktionen blau Die Hauptwerte der arctan x rot und arccot x Funktionen blau Die Hauptwerte der arcsec x and arccsc x Funktion Riemannsche Flache des komplexen Logarithmus Die Blatter haben einen Abstand von 2 p displaystyle 2 pi Da die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen sind sind sie zunachst einmal nicht invertierbar Beschrankt man sich jedoch auf ein Monotonieintervall der jeweiligen Ausgangsfunktion z B auf das Intervall p 2 p 2 displaystyle pi 2 pi 2 oder 0 p displaystyle 0 pi kann die so erhaltene eingeschrankte Funktion sehr wohl invertiert werden Allerdings uberdecken die Monotonieintervalle jeweils nur eine halbe Periode siehe Abbildung oben Kennt man jedoch sowohl den Sinus als auch den Kosinus eines Winkels allgemeiner komplexe Komponenten so kann man den Winkel bis auf ganze Perioden 2 p displaystyle 2 pi ermitteln siehe Abbildung rechts fur die Anschauung und arctan2 fur die Berechnung Beziehungen zwischen den Funktionen BearbeitenSiehe auch Trigonometrische Funktion Beziehungen zwischen den FunktionenArkusfunktionen lassen sich wie folgt ineinander umrechnen wobei sgn displaystyle operatorname sgn nbsp die Vorzeichenfunktion bezeichnet arcsin arccos arctan arccot arcsec arccscarcsin x arcsin x displaystyle arcsin x nbsp p 2 arccos x displaystyle frac pi 2 arccos x nbsp arctan x 1 x 2 displaystyle arctan left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp p 2 arccot x 1 x 2 displaystyle frac pi 2 operatorname arccot left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp p 2 arcsec 1 x displaystyle frac pi 2 operatorname arcsec left frac 1 x right nbsp arccsc 1 x displaystyle operatorname arccsc left frac 1 x right nbsp arccos x p 2 arcsin x displaystyle frac pi 2 arcsin x nbsp arccos x displaystyle arccos x nbsp p 2 arctan x 1 x 2 displaystyle frac pi 2 arctan left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp arccot x 1 x 2 displaystyle operatorname arccot left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp arcsec 1 x displaystyle operatorname arcsec left frac 1 x right nbsp p 2 arccsc 1 x displaystyle frac pi 2 operatorname arccsc left frac 1 x right nbsp arctan x arcsin x 1 x 2 displaystyle arcsin left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp p 2 arccos x 1 x 2 displaystyle frac pi 2 arccos left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp arctan x displaystyle arctan x nbsp p 2 arccot x displaystyle frac pi 2 operatorname arccot x nbsp p 2 arcsec 1 x 2 x displaystyle frac pi 2 operatorname arcsec left frac sqrt 1 x 2 x right nbsp arccsc 1 x 2 x displaystyle operatorname arccsc left frac sqrt 1 x 2 x right nbsp arccot x p 2 arcsin x 1 x 2 displaystyle frac pi 2 arcsin left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp arccos x 1 x 2 displaystyle arccos left frac x sqrt 1 x 2 right nbsp p 2 arctan x displaystyle frac pi 2 arctan x nbsp arccot x displaystyle operatorname arccot x nbsp arcsec 1 x 2 x displaystyle operatorname arcsec left frac sqrt 1 x 2 x right nbsp p 2 arccsc 1 x 2 x displaystyle frac pi 2 operatorname arccsc left frac sqrt 1 x 2 x right nbsp arcsec x p 2 arcsin 1 x displaystyle frac pi 2 arcsin left frac 1 x right nbsp arccos 1 x displaystyle arccos left frac 1 x right nbsp p 2 arctan sgn x x 2 1 displaystyle frac pi 2 arctan left frac operatorname sgn x sqrt x 2 1 right nbsp arccot sgn x x 2 1 displaystyle operatorname arccot left frac operatorname sgn x sqrt x 2 1 right nbsp arcsec x displaystyle operatorname arcsec x nbsp p 2 arccsc x displaystyle frac pi 2 operatorname arccsc x nbsp arccsc x arcsin 1 x displaystyle arcsin left frac 1 x right nbsp p 2 arccos 1 x displaystyle frac pi 2 arccos left frac 1 x right nbsp arctan sgn x x 2 1 displaystyle arctan left frac operatorname sgn x sqrt x 2 1 right nbsp p 2 arccot sgn x x 2 1 displaystyle frac pi 2 operatorname arccot left frac operatorname sgn x sqrt x 2 1 right nbsp p 2 arcsec x displaystyle frac pi 2 operatorname arcsec x nbsp arccsc x displaystyle operatorname arccsc x nbsp Bei den fur x 1 0 1 displaystyle x in 1 0 1 nbsp verschwindenden Nennern sind die entsprechenden Grenzwerte zu wahlen z B arcsin 1 lim x 1 arctan x 1 x 2 lim y arctan y p 2 displaystyle arcsin 1 lim x to 1 arctan left frac x sqrt 1 x 2 right lim y to infty arctan y frac pi 2 nbsp Siehe auch BearbeitenTrigonometrische Funktion Hyperbelfunktion Formelsammlung TrigonometrieWeblinks BearbeitenInformation auf Mathe Online Eric W Weisstein Inverse Trigonometric Functions In MathWorld englisch Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus 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