Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen Der Sekans wird mit sec x displaystyle sec x bezeichnet der Kosekans mit csc x displaystyle csc x oder cosec x displaystyle operatorname cosec x 1 Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis Die Funktionswerte entsprechen der Lange von Sekantenabschnitten Definitionen am EinheitskreisO T sec b O K csc b displaystyle overline OT sec b overline OK csc b O T sec b O K csc b displaystyle overline OT sec b qquad qquad overline OK csc b Ein rechtwinkliges DreieckIm rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhaltnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert Funktion der Kosinusfunktion Der Kosekans ist das Verhaltnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert Funktion der Sinusfunktion sec a l Hy l AK c b csc a l Hy l GK c a sec x 1 cos x csc x 1 sin x displaystyle begin aligned sec alpha amp frac l text Hy l text AK frac c b quad amp quad csc alpha amp frac l text Hy l text GK frac c a sec x amp frac 1 cos x quad amp quad csc x amp frac 1 sin x end aligned Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Graphen 1 2 Definitionsbereich 1 3 Wertebereich 1 4 Periodizitat 1 5 Symmetrien 1 6 Polstellen 1 7 Extremstellen 1 8 Nullstellen 1 9 Asymptoten 1 10 Sprungstellen 1 11 Wendepunkte 1 12 Wichtige Funktionswerte 1 13 Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte 2 Umkehrfunktionen 3 Reihenentwicklung 3 1 Summenreihen 3 2 Fakultat und Produktreihe 4 Ableitung 5 Integral 6 Komplexes Argument 7 Anwendung fur numerische Berechnungen Bedeutung historisch 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenGraphen Bearbeiten nbsp Graph der Sekansfunktion nbsp Graph der KosekansfunktionDefinitionsbereich Bearbeiten Sekans lt x lt x n 1 2 p n Z displaystyle infty lt x lt infty quad quad x neq left n frac 1 2 right cdot pi n in mathbb Z nbsp Kosekans lt x lt x n p n Z displaystyle infty lt x lt infty quad quad x neq n cdot pi n in mathbb Z nbsp Wertebereich Bearbeiten lt f x 1 1 f x lt displaystyle infty lt f x leq 1 quad quad 1 leq f x lt infty nbsp Periodizitat Bearbeiten Periodenlange 2 p f x 2 p f x displaystyle 2 cdot pi f x 2 pi f x nbsp Symmetrien Bearbeiten Sekans Achsensymmetrie f x f x displaystyle f x f x nbsp Kosekans Punktsymmetrie f x f x displaystyle f x f x nbsp Polstellen Bearbeiten Sekans x n 1 2 p n Z displaystyle x left n frac 1 2 right cdot pi n in mathbb Z nbsp Kosekans x n p n Z displaystyle x n cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Extremstellen Bearbeiten Sekans Minima x 2 n p n Z displaystyle x 2n cdot pi n in mathbb Z nbsp Maxima x 2 n 1 p n Z displaystyle x 2n 1 cdot pi n in mathbb Z nbsp Kosekans Minima x 2 n 1 2 p n Z displaystyle x left 2n frac 1 2 right cdot pi n in mathbb Z nbsp Maxima x 2 n 1 2 p n Z displaystyle x left 2n frac 1 2 right cdot pi n in mathbb Z nbsp Nullstellen Bearbeiten Beide Funktionen haben keine Nullstellen Asymptoten Bearbeiten Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten Sprungstellen Bearbeiten Beide Funktionen haben Sprungstellen Wendepunkte Bearbeiten Beide Funktionen haben keine Wendepunkte Wichtige Funktionswerte Bearbeiten Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode 2 p displaystyle 2 pi nbsp entspricht im Gradmass 360 displaystyle 360 circ nbsp sind reicht es die Funktionswerte des Sekans fur den Bereich 0 x 2 p x p 2 x 3 p 2 displaystyle 0 leq x leq 2 pi quad x neq frac pi 2 x neq frac 3 pi 2 nbsp und die des Kosekans fur den Bereich 0 x 2 p x 0 x p x 2 p displaystyle 0 leq x leq 2 pi quad x neq 0 x neq pi x neq 2 pi nbsp zu kennen Funktionswerte ausserhalb dieses Bereichs konnen also aufgrund der Periodizitat durch den Zusammenhang sec x sec x 2 k p und csc x csc x 2 k p displaystyle sec x sec x 2k pi quad text und quad csc x csc x 2k pi nbsp bestimmt werden In Gradmass lautet der Zusammenhang analog sec x sec x k 360 und csc x csc x k 360 displaystyle sec x sec x k cdot 360 circ quad text und quad csc x csc x k cdot 360 circ nbsp Hierbei bezeichnet k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp eine ganze Zahl Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf 2 Winkel Grad Bogenmass Sekans Kosekans0 displaystyle 0 circ nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 2 4 1 displaystyle frac 2 sqrt 4 1 nbsp displaystyle nbsp 30 displaystyle 30 circ nbsp p 6 displaystyle frac pi 6 nbsp 2 3 2 3 3 displaystyle frac 2 sqrt 3 frac 2 3 sqrt 3 nbsp 2 1 2 displaystyle frac 2 sqrt 1 2 nbsp 45 displaystyle 45 circ nbsp p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp 2 2 2 displaystyle frac 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp 2 2 2 displaystyle frac 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp 60 displaystyle 60 circ nbsp p 3 displaystyle frac pi 3 nbsp 2 1 2 displaystyle frac 2 sqrt 1 2 nbsp 2 3 2 3 3 displaystyle frac 2 sqrt 3 frac 2 3 sqrt 3 nbsp 90 displaystyle 90 circ nbsp p 2 displaystyle frac pi 2 nbsp displaystyle nbsp 1 2 4 1 displaystyle frac 1 2 sqrt 4 1 nbsp Weitere wichtige Werte sind Winkel Grad Bogenmass Sekans Kosekans15 displaystyle 15 circ nbsp p 12 displaystyle tfrac pi 12 nbsp 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 nbsp 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 nbsp 18 displaystyle 18 circ nbsp p 10 displaystyle tfrac pi 10 nbsp 1 5 50 10 5 displaystyle tfrac 1 5 sqrt 50 10 sqrt 5 nbsp 1 5 displaystyle 1 sqrt 5 nbsp 36 displaystyle 36 circ nbsp p 5 displaystyle tfrac pi 5 nbsp 5 1 displaystyle sqrt 5 1 nbsp 1 5 50 10 5 displaystyle tfrac 1 5 sqrt 50 10 sqrt 5 nbsp 54 displaystyle 54 circ nbsp 3 p 10 displaystyle tfrac 3 pi 10 nbsp 1 5 50 10 5 displaystyle tfrac 1 5 sqrt 50 10 sqrt 5 nbsp 5 1 displaystyle sqrt 5 1 nbsp 72 displaystyle 72 circ nbsp 2 p 5 displaystyle tfrac 2 pi 5 nbsp 1 5 displaystyle 1 sqrt 5 nbsp 1 5 50 10 5 displaystyle tfrac 1 5 sqrt 50 10 sqrt 5 nbsp 75 displaystyle 75 circ nbsp 5 p 12 displaystyle tfrac 5 pi 12 nbsp 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 nbsp 6 2 displaystyle sqrt 6 sqrt 2 nbsp 180 displaystyle 180 circ nbsp p displaystyle pi nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle nbsp 270 displaystyle 270 circ nbsp 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 nbsp displaystyle nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 360 displaystyle 360 circ nbsp 2 p displaystyle 2 pi nbsp 1 displaystyle 1 nbsp displaystyle nbsp Beweisskizzen sec 45 csc 45 2 displaystyle sec 45 circ csc 45 circ sqrt 2 nbsp weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis mit der Hypotenuse 1 dann gleichschenklig ist und nach Pythagoras gilt 1 2 1 2 x 2 x 2 displaystyle 1 2 1 2 x 2 Rightarrow x sqrt 2 nbsp sec 60 csc 30 2 displaystyle sec 60 circ csc 30 circ 2 nbsp weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis mit der Hypotenuse 1 gespiegelt an der x displaystyle x nbsp Achse dann gleichseitig ist mit Seitenlange 1 und somit die Seitenlange die doppelte Lange der Gegenkathete ist sec 30 csc 60 2 3 3 displaystyle sec 30 circ csc 60 circ tfrac 2 3 sqrt 3 nbsp weil fur das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis mit der Hypotenuse 1 wegen sin 30 1 2 displaystyle sin 30 circ tfrac 1 2 nbsp fur den Sekans nach Pythagoras gilt 1 x 2 1 2 2 1 2 1 x 2 3 4 x 2 4 3 x 2 3 3 displaystyle tfrac 1 x 2 left tfrac 1 2 right 2 1 2 Rightarrow tfrac 1 x 2 tfrac 3 4 Rightarrow x 2 tfrac 4 3 Rightarrow x tfrac 2 3 sqrt 3 nbsp sec 72 csc 18 1 1 4 5 1 1 5 displaystyle sec 72 circ csc 18 circ frac 1 tfrac 1 4 sqrt 5 1 1 sqrt 5 nbsp weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18 ist sec 36 csc 54 1 1 4 1 5 5 1 displaystyle sec 36 circ csc 54 circ frac 1 tfrac 1 4 1 sqrt 5 sqrt 5 1 nbsp weil im regelmassigen Funfeck der Goldene Schnitt auftritt wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54 ist sec 75 csc 15 displaystyle sec 75 circ csc 15 circ nbsp und sec 15 csc 75 displaystyle sec 15 circ csc 75 circ nbsp lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln fur Sinus und Kosinus herleiten Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte Bearbeiten Siehe auch Sinus und Kosinus Weitere mit Quadratwurzeln angebbare FunktionswerteWeil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist lassen sich die Funktionswerte sec x displaystyle sec x nbsp und sec x displaystyle sec x nbsp genau dann mit Quadratwurzeln darstellen wenn das auch fur sin x displaystyle sin x nbsp und cos x displaystyle cos x nbsp moglich ist Generell gilt dass csc a displaystyle csc alpha nbsp und sec a displaystyle sec alpha nbsp genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind wenn der Winkel a displaystyle alpha nbsp mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist insbesondere also wenn a displaystyle alpha nbsp von der Gestalt a k 360 2 n p 1 p r displaystyle alpha k frac 360 circ 2 n p 1 dots p r nbsp ist wobei k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp und die p i displaystyle p i nbsp fur i 1 r displaystyle i 1 dots r nbsp Fermatsche Primzahlen sind 3 Umkehrfunktionen BearbeitenSekans Auf einer halben Periodenlange z B x 0 p displaystyle x in 0 pi nbsp ist die Funktion umkehrbar Arkussekans x arcsec y displaystyle x operatorname arcsec y nbsp Kosekans Auf einer halben Periodenlange z B x p 2 p 2 displaystyle x in left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp ist die Funktion umkehrbar Arkuskosekans x arccsc y displaystyle x operatorname arccsc y nbsp Reihenentwicklung BearbeitenSummenreihen Bearbeiten Sekans sec x 4 p k 0 1 k 2 k 1 2 k 1 2 p 2 4 x 2 displaystyle sec x 4 pi sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 2k 1 2 pi 2 4x 2 nbsp Kosekans csc x 1 x 2 x k 1 1 k k 2 p 2 x 2 k 1 k x x 2 k 2 p 2 displaystyle csc x frac 1 x 2x sum k 1 infty frac 1 k k 2 pi 2 x 2 sum k infty infty frac 1 k x x 2 k 2 pi 2 nbsp Fakultat und Produktreihe Bearbeiten Mit Hilfe der Fakultatsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion konnen Sekans und Kosekans wie folgt dargestellt werden Sekans sec p x 4 P 1 2 x P 1 2 x p 1 2 x 1 2 x displaystyle sec pi x frac 4 Pi tfrac 1 2 x Pi tfrac 1 2 x pi 1 2 x 1 2 x nbsp Kosekans csc p x P x P 1 x p x 1 x displaystyle csc pi x frac Pi x Pi 1 x pi x 1 x nbsp Die Fakultatsfunktion entspricht der Eulerschen Gammafunktion von der Nachfolgerfunktion und kann demnach fur alle reellen Zahlen x R displaystyle x in mathbb R nbsp so definiert werden x P x G x 1 exp g x n 1 1 x n 1 exp x n displaystyle x Pi x Gamma x 1 exp gamma x prod n 1 infty left left 1 frac x n right 1 exp left frac x n right right nbsp Die nun gezeigte Produktreihe wird Weierstrasssches Produkt genannt und dient der Ermittlung von Sekans und Kosekans mittels Produktentwicklungen Mit dem griechischen Buchstaben g displaystyle gamma nbsp wird die Euler Mascheroni Konstante dargestellt Ableitung BearbeitenSekans d d x sec x d d x 1 cos x sin x cos 2 x sec x tan x sec 2 x csc x displaystyle frac mathrm d mathrm d x sec x frac mathrm d mathrm d x frac mathrm 1 cos x frac sin x cos 2 x sec x cdot tan x frac sec 2 x csc x nbsp Kosekans d d x csc x d d x 1 sin x cos x sin 2 x csc x cot x csc 2 x sec x displaystyle frac mathrm d mathrm d x csc x frac mathrm d mathrm d x frac mathrm 1 sin x frac cos x sin 2 x csc x cdot cot x frac csc 2 x sec x nbsp Integral BearbeitenSekans sec x d x ln 1 sin x cos x C ln sec x tan x C ln tan x 2 p 4 C 1 2 ln 1 sin x 1 sin x C displaystyle int sec x mathrm d x ln left frac 1 sin x cos x right C ln Big sec x tan x Big C ln left tan left frac x 2 frac pi 4 right right C frac 1 2 ln left frac 1 sin x 1 sin x right C nbsp Kosekans csc x d x ln sin x 1 cos x C ln tan x 2 C displaystyle int csc x mathrm d x ln left frac sin x 1 cos x right C ln left tan left frac x 2 right right C nbsp Komplexes Argument Bearbeitensec x i y 2 cos x cosh y cos 2 x cosh 2 y i 2 sin x sinh y cos 2 x cosh 2 y displaystyle sec x mathrm i cdot y frac 2 cos x cosh y cos 2x cosh 2y mathrm i frac 2 sin x sinh y cos 2x cosh 2y nbsp mit x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp csc x i y 2 sin x cosh y cos 2 x cosh 2 y i 2 cos x sinh y cos 2 x cosh 2 y displaystyle csc x mathrm i cdot y frac 2 sin x cosh y cos 2x cosh 2y mathrm i frac 2 cos x sinh y cos 2x cosh 2y nbsp mit x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp Anwendung fur numerische Berechnungen Bedeutung historisch BearbeitenBevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwartig waren verwendete man fur die Winkelfunktionen Tabellen meist in gedruckten Buchern Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer als durch so einen Wert zu dividieren dies gilt ubrigens auch fur nicht aufgehende Wurzelwerte usw wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht ist es bequem statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans bzw Sekanswerte in den Zahler zu schreiben Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfugbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwahnt und auch nicht als Funktionen mit eigener Taste in den Rechnern implementiert Fur diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht uberflussig geworden sie losten ein Problem das nicht mehr besteht Siehe auch BearbeitenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Trigonometrische Funktion Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus Formelsammlung TrigonometrieWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Secant und Cosecant auf MathWorldEinzelnachweise Bearbeiten Konstantin A Semendjajew Taschenbuch der Mathematik Verlag Harri Deutsch 2008 ISBN 3 8171 2007 9 S 1220 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Georg Hoever Hohere Mathematik kompakt Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 662 43994 4 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Emil Artin Galoissche Theorie Verlag Harri Deutsch Zurich 1973 ISBN 3 87144 167 8 S 85 Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sekans und Kosekans amp oldid 233530329
