Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel Es bildet die Grundlage fur den Satz des Pythagoras fur Sinus und Kosinus und weitere trigonometrische Funktionen Dreieck mit dem rechten Winkel g displaystyle gamma und der Ankathete und der Gegenkathete von a displaystyle alpha Inhaltsverzeichnis 1 Bezeichnungen 2 Berechnung und Konstruktion 3 Satze 3 1 Pythagoras 3 2 Thales 3 3 Hohensatz Kathetensatz und trigonometrische Funktion 3 4 Satz von Eddy 3 5 Weitere Satze 4 Ungleichungen 5 Ausgezeichnete Punkte 6 Andere Dreiecke 7 Weblinks 8 Anmerkungen und EinzelnachweiseBezeichnungen BearbeitenAls Hypotenuse bezeichnet man die langste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks Sie liegt dem rechten Winkel gegenuber Als Kathete aus dem griechischen kathetos das Herabgelassene Senkblei wird jede der beiden kurzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks die den rechten Winkel bilden In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel in der Skizze a displaystyle alpha nbsp des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels die dem Winkel anliegende Kathete und die Gegenkathete die dem Winkel gegenuberliegende Kathete Berechnung und Konstruktion Bearbeiten nbsp Konstruktion SWW Fall gegeben sind Hypotenuse c displaystyle c nbsp und Winkel b displaystyle beta nbsp nbsp SSS Fall kleinster Tripel 3 4 5 displaystyle 3 4 5 nbsp Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstucke vollstandig bestimmt den rechten Winkel eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel Des Weiteren ist die Hohe h a displaystyle h a nbsp gleich der Kathete b displaystyle b nbsp sowie die Hohe h b displaystyle h b nbsp gleich der Kathete a displaystyle a nbsp Sind beide Katheten gegeben so lasst sich das Dreieck nach dem SWS Fall behandeln Die Kathete b displaystyle b nbsp senkrecht auf die Kathete a displaystyle a nbsp anordnen Der Abstand A B displaystyle AB nbsp ergibt die fehlende Hypotenuse c displaystyle c nbsp und somit das Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben so wird der SSW Fall angewandt Die Hypotenuse halbieren und uber den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp den Thaleskreis ziehen Ist z B die Kathete b displaystyle b nbsp gegeben schneidet der Kreisbogen um A displaystyle A nbsp mit dem Radius b displaystyle b nbsp den Thaleskreis in C displaystyle C nbsp Die Verbindung C displaystyle C nbsp mit B displaystyle B nbsp vollendet das Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Sind eine Seite und ein nicht rechter Winkel gegeben so lasst sich uber die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen Danach kann man das Dreieck nach dem WSW bzw SWW Fall behandeln Ist z B die Kathete a displaystyle a nbsp und der Winkel b displaystyle beta nbsp gegeben WSW Fall wird ab B displaystyle B nbsp eine gerade Linie gezogen die mit der Kathete a displaystyle a nbsp den Winkel b displaystyle beta nbsp bildet Die abschliessende Senkrechte auf a displaystyle a nbsp ab C displaystyle C nbsp schneidet die gerade Linie in A displaystyle A nbsp und erzeugt somit das Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Ist z B wie im nebenstehenden Bild zu sehen die Hypotenuse c displaystyle c nbsp und der Winkel b displaystyle beta nbsp gegeben SWW Fall wird c displaystyle c nbsp halbiert und uber den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp der Thaleskreis gezogen Beim Festlegen des Winkels b displaystyle beta nbsp mit Scheitel B displaystyle B nbsp ergibt sich C displaystyle C nbsp auf dem Thaleskreis und damit die Kathete a displaystyle a nbsp Die Verbindung C displaystyle C nbsp mit A displaystyle A nbsp liefert die Kathete b displaystyle b nbsp und vollendet somit das rechtwinklige Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Stehen im SSS Fall die Seiten zueinander im Verhaltnis gleich dem eines pythagoreischen Tripels beispielsweise 3 4 5 displaystyle 3 4 5 nbsp ist das Dreieck rechtwinklig Mathematische Formeln zum rechtwinkligen DreieckFlacheninhalt A a b 2 A r r 2 r displaystyle begin aligned A amp frac a cdot b 2 A amp rho cdot rho 2 cdot r end aligned nbsp nbsp Hypotenuse c a 2 b 2 c a 2 a 2 h c 2 c b 2 b 2 h c 2 displaystyle begin aligned c amp sqrt a 2 b 2 c amp frac a 2 sqrt a 2 h c 2 c amp frac b 2 sqrt b 2 h c 2 end aligned nbsp c a sin a b cos a c b sin b a cos b displaystyle begin aligned c amp frac a sin alpha frac b cos alpha c amp frac b sin beta frac a cos beta end aligned nbsp Kathete a c 2 b 2 a b h c b 2 h c 2 a c 2 c c 2 4 h c 2 displaystyle begin aligned a amp sqrt c 2 b 2 a amp frac b cdot h c sqrt b 2 h c 2 a amp sqrt frac c 2 cdot left c sqrt c 2 4 cdot h c 2 right end aligned nbsp a c sin a c cos b a b tan a b cot b displaystyle begin aligned a amp c cdot sin alpha c cdot cos beta a amp b cdot tan alpha b cdot cot beta end aligned nbsp b c 2 a 2 b a h c a 2 h c 2 b c 2 c c 2 4 h c 2 displaystyle begin aligned b amp sqrt c 2 a 2 b amp frac a cdot h c sqrt a 2 h c 2 b amp sqrt frac c 2 cdot left c sqrt c 2 4 cdot h c 2 right end aligned nbsp b c cos a c sin b b a cot a a tan b displaystyle begin aligned b amp c cdot cos alpha c cdot sin beta b amp a cdot cot alpha a cdot tan beta end aligned nbsp Umfang U a b c U 2 r 4 r displaystyle begin aligned U amp a b c U amp 2 cdot rho 4 cdot r end aligned nbsp Hohe h c a b c 1 h c 2 1 a 2 1 b 2 displaystyle begin aligned h c amp frac a cdot b c frac 1 h c 2 amp frac 1 a 2 frac 1 b 2 end aligned nbsp h c b sin a a cos a h c a sin b b cos b displaystyle begin aligned h c amp b cdot sin alpha a cdot cos alpha h c amp a cdot sin beta b cdot cos beta end aligned nbsp Winkel a b g 90 displaystyle alpha beta gamma 90 circ nbsp a arcsin a c arccos b c a arctan a b arccot b a displaystyle begin aligned alpha amp arcsin left frac a c right arccos left frac b c right alpha amp arctan left frac a b right operatorname arccot left frac b a right end aligned nbsp b arcsin b c arccos a c b arctan b a arccot a b displaystyle begin aligned beta amp arcsin left frac b c right arccos left frac a c right beta amp arctan left frac b a right operatorname arccot left frac a b right end aligned nbsp Inkreisradius r a b c 2 a b a b c displaystyle rho frac a b c 2 frac a cdot b a b c nbsp Ankreisradien r a a b c a b c a b 2 r b a b c a b c a b 2 r c a b a b c a b c 2 U 2 displaystyle begin aligned rho a amp frac a cdot b c a b frac c a b 2 rho b amp frac a cdot b c a b frac c a b 2 rho c amp frac a cdot b a b c frac a b c 2 frac U 2 end aligned nbsp r r c r a r b A r c r r a r b c r c r a b r a r b a b displaystyle begin aligned rho cdot rho c rho a cdot rho b A rho c rho rho a rho b c rho c rho a b rho a rho b a b end aligned nbsp Umkreisradius r c 2 displaystyle r frac c 2 nbsp Satze BearbeitenPythagoras Bearbeiten Hauptartikel Satz des Pythagoras Die Beziehung zwischen den Langen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird Der Satz lautet Sind a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp die Seitenlangen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist c displaystyle c nbsp die Seitenlange der Hypotenuse so gilt die Gleichung a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes Der Kosinus von 90 displaystyle 90 circ nbsp ist 0 wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras dass die Summe der Flacheninhalte der beiden Quadrate uber den Katheten gleich dem Flacheninhalt des Quadrats uber der Hypotenuse ist Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Hohensatz siehe auch Satzgruppe des Pythagoras Die Hohe h h c displaystyle h h c nbsp eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten p displaystyle p nbsp a displaystyle a nbsp h displaystyle h nbsp und q displaystyle q nbsp h displaystyle h nbsp b displaystyle b nbsp wiederum rechtwinklig sind Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp p displaystyle p nbsp q displaystyle q nbsp und h displaystyle h nbsp lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgefuhrten Formeln berechnen Satz des Pythagoras c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp nbsp Kathetensatz a 2 c p displaystyle a 2 c cdot p nbsp b 2 c q displaystyle b 2 c cdot q nbsp Hohensatz h 2 p q displaystyle h 2 p cdot q nbsp Thales Bearbeiten Hauptartikel Satz des Thales Der Satz des Thales besagt dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks Hohensatz Kathetensatz und trigonometrische Funktion Bearbeiten Hauptartikel Hohensatz Kathetensatz und Trigonometrische Funktion Der Fusspunkt der Hohe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte Der Kathetensatz und der Hohensatz machen Aussagen uber die Langen dieser Teilstrecken Die trigonometrischen Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhange zwischen den Winkeln und den Seitenverhaltnissen Satz von Eddy Bearbeiten Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert ist aber sicher schon sehr viel alter 1 nbsp Bild 2 Beweis durch Kreiswinkelsatz Zentriwinkelsatz nbsp Bild 1 Beweis durch Symmetrie Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flachen Es sei ein beliebiges Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp mit der Hypotenuse c displaystyle c nbsp dem Hypotenusenquadrat c 2 displaystyle c 2 nbsp und mit der Winkelhalbierenden w h displaystyle wh nbsp des rechten Winkels am Scheitel C displaystyle C nbsp Die Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp schneidet im Punkt F displaystyle F nbsp sowie im Punkt G displaystyle G nbsp das Hypotenusenquadrat c 2 displaystyle c 2 nbsp in zwei Vierecke A D G F displaystyle ADGF nbsp und G E B F displaystyle GEBF nbsp BeweiseA Beweis durch Symmetrie Bild 1 1 2 gleichermassen der Geometrischer Beweis durch Erganzung fur den Satz des Pythagoras B Ansatz fur einen alternativen Beweis Bild 2 Die beiden Dreiecke I F M displaystyle IFM nbsp und I G J displaystyle IGJ nbsp mussen kongruent sein Dies trifft nur zu wenn die Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates c 2 displaystyle c 2 nbsp verlauft Zuerst wird der Mittelpunkt M displaystyle M nbsp der Hypotenuse c displaystyle c nbsp bestimmt anschliessend der Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp mit dem Radius M B displaystyle overline MB nbsp um M displaystyle M nbsp eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers A B displaystyle overline AB nbsp mit den soeben erzeugten Schnittpunkten H displaystyle H nbsp I displaystyle I nbsp und J displaystyle J nbsp eingetragen Der Schnittpunkt I displaystyle I nbsp entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates c 2 displaystyle c 2 nbsp Abschliessend noch den Punkt A displaystyle A nbsp mit I displaystyle I nbsp verbinden Das einbeschriebene Dreieck A I C displaystyle AIC nbsp hat am Scheitel M displaystyle M nbsp den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich 90 displaystyle 90 circ nbsp Nach dem Kreiswinkelsatz Zentriwinkelsatz hat der Winkel A C I displaystyle ACI nbsp folglich die Winkelweite 45 displaystyle 45 circ nbsp damit verlauft die Winkelhalbierende w h displaystyle wh nbsp ebenfalls durch den Mittelpunkt I displaystyle I nbsp des Hypotenusenquadrates c 2 displaystyle c 2 nbsp Somit bestatigt sich die beiden Dreiecke I F M displaystyle IFM nbsp und I G J displaystyle IGJ nbsp sind kongruent demzufolge haben auch die Vierecke A D G F displaystyle ADGF nbsp und G E B F displaystyle GEBF nbsp gleiche Flacheninhalte Weitere Satze Bearbeiten In dem rechtwinkligen Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp schneiden die Kreise um A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp mit den Radien A C displaystyle overline AC nbsp bzw B C displaystyle overline BC nbsp die Hypotenuse A B displaystyle AB nbsp in den Punkten D displaystyle D nbsp und E displaystyle E nbsp Dann hat die Strecke D E displaystyle DE nbsp dieselbe Lange wie der Durchmesser des Inkreises Figuren 1 und 2 Beweis Die Differenz aus der Summe der Kathetenlangen und der Hypotenusenlange betragt x r y r x y 2 r displaystyle x r y r x y 2r nbsp Figur 2 Somit hat die Uberlappung der bis zur Hypotenuse gedrehten Katheten die Lange 2 r D E displaystyle 2r overline DE nbsp Figuren 1 und 2 In dem rechtwinkligen Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp ist die Summe der Inkreisradien r displaystyle r nbsp r 1 displaystyle r 1 nbsp und r 2 displaystyle r 2 nbsp der Dreiecke A B C displaystyle ABC nbsp A D C displaystyle ADC nbsp und D B C displaystyle DBC nbsp gleich der Lange der Hohe C D displaystyle CD nbsp Figuren 2 3 und 4 Beweis 2 r 2 r 1 2 r 2 A C B C A B A D C D A C B D C D B C 2 C D displaystyle 2r 2r 1 2r 2 overline AC overline BC overline AB overline AD overline CD overline AC overline BD overline CD overline BC 2 overline CD nbsp Figuren 2 3 und 4 Hieraus folgt die Behauptung namlich r r 1 r 2 C D displaystyle r r 1 r 2 overline CD nbsp 3 4 nbsp Figur 1 nbsp Figur 2 nbsp Figur 3 nbsp Figur 4In einem rechtwinkligen Dreieck halbiert die Winkelhalbierende des rechten Winkels auch den von der Hohe und der Seitenhalbierenden auf der Hypotenuse eingeschlossenen Winkel Figur 5 nbsp Figur 5 nbsp Figur 6Beweis In dem gelben rechtwinkligen Dreieck sind C D displaystyle CD nbsp die Winkelhalbierende C H displaystyle CH nbsp die Hohe und C M displaystyle CM nbsp die Seitenhalbierende des rechten Winkels Es ist zu zeigen dass C D displaystyle CD nbsp auch den Winkel M C H displaystyle angle MCH nbsp halbiert Das Dreieck ist dargestellt als Teil eines Quadrats mit der Seitenlange b displaystyle b nbsp Die Strecken C H displaystyle CH nbsp C D displaystyle CD nbsp und C M displaystyle CM nbsp sind bis zu ihren jeweiligen Schnittpunkten Q displaystyle Q nbsp bzw R displaystyle R nbsp bzw S displaystyle S nbsp mit den Quadratseiten verlangert Die Behauptung folgt dann aus der paarweisen Kongruenz der rechtwinkligen Dreiecke A B C displaystyle ABC nbsp C Q P displaystyle CQP nbsp und C A S displaystyle CAS nbsp Ubereinstimmung in ihren Kathetenlangen a und b und dem eingeschlossenen rechten Winkel sowie der daraus resultierenden Kongruenz der Dreiecke C R Q displaystyle CRQ nbsp und C S R displaystyle CSR nbsp aus denen sich das zu der Diagonalen C R displaystyle CR nbsp symmetrische Drachen Viereck C S R Q displaystyle CSRQ nbsp zusammensetzt Verbindet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenmittelpunkte mit dem Hohenfusspunkt auf der Hypotenuse so hat das aus den beiden Verbindungsstrecken und den beiden jeweils halben Katheten gebildete Viereck einen rechten Innenwinkel beim Hohenfusspunkt Figur 6 Beweis H K displaystyle HK nbsp ist die Seitenhalbierende von C A displaystyle CA nbsp im rechtwinkligen Dreieck C A H displaystyle CAH nbsp und H L displaystyle HL nbsp die Seitenhalbierende von C B displaystyle CB nbsp im rechtwinkligen Dreieck B C H displaystyle BCH nbsp Deshalb ist H K displaystyle overline HK nbsp Thaleskreisradius von C A H displaystyle CAH nbsp und H L displaystyle HL nbsp Thaleskreisradius von B C H displaystyle BCH nbsp Daraus folgt dass das Dreieck A H K displaystyle AHK nbsp gleichschenklig mit der Schenkellange b 2 displaystyle tfrac b 2 nbsp und den Basiswinkeln H A K displaystyle angle HAK nbsp und K A H displaystyle angle KAH nbsp und das Dreieck H B L displaystyle HBL nbsp gleichschenklig mit der Schenkellange a 2 displaystyle tfrac a 2 nbsp und den Basiswinkeln B H L displaystyle angle BHL nbsp und L B H displaystyle angle LBH nbsp ist Da die Winkel H A K displaystyle angle HAK nbsp und K H A displaystyle angle KHA nbsp bzw L B H displaystyle angle LBH nbsp und B H L displaystyle angle BHL nbsp jeweils dieselben Weiten haben und das Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp rechtwinklig ist addieren sich die Winkelweiten von K H A displaystyle angle KHA nbsp und B H L displaystyle angle BHL nbsp zu 90 displaystyle 90 circ nbsp Damit hat auch der Winkel L H K displaystyle angle LHK nbsp die Weite 90 displaystyle 90 circ nbsp woraus die Behauptung folgt 5 Folgerung Wegen der Langengleichheit der Strecken C L displaystyle CL nbsp und L H displaystyle LH nbsp sowie der Strecken C K displaystyle CK nbsp und K H displaystyle KH nbsp ist das grune Viereck C K H L displaystyle CKHL nbsp ein spezielles Drachenviereck mit zwei gegenuberliegenden rechten Winkeln Seine diagonale Symmetrieachse L K displaystyle LK nbsp teilt es in die rechtwinkligen Dreiecke K L C displaystyle KLC nbsp und L K H displaystyle LKH nbsp die einen gemeinsamen Thaleskreis besitzen Hieraus folgt dass das Drachenviereck C K H L displaystyle CKHL nbsp auch ein Sehnenviereck ist Der Inkreisradius r eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlangen a und b und der Hypotenusenlange c ist auf zwei Arten in Abhangigkeit von den drei Seitenlangen darstellbar Figur 7 r a b a b c displaystyle r frac ab a b c nbsp r a b c 2 displaystyle r frac a b c 2 nbsp dd nbsp Figur 8 nbsp Figur 7 Der Beweis basiert auf den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck Mit Hilfe von Figur 7 ergibt sicha b r a b c displaystyle ab r a b c nbsp dd woraus unmittelbar die erste Behauptung folgt In Figur 8 lasst sichc a r b r displaystyle c a r b r nbsp dd ablesen Durch einfache Umformung erhalt man sofort die zweite Behauptung 6 Ungleichungen Bearbeiten Hauptartikel Ungleichung nbsp Abb 1 a b c 2 displaystyle a b leq c sqrt 2 nbsp nbsp Abb 2 a b c 2 displaystyle a b c sqrt 2 nbsp Fur die Katheten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp gilt a b 2 0 displaystyle a b 2 geq 0 nbsp also a 2 b 2 2 a b displaystyle a 2 b 2 geq 2 cdot a cdot b nbsp Addition von a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp ergibt 2 a 2 2 b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle 2 cdot a 2 2 cdot b 2 geq a 2 2 cdot a cdot b b 2 nbsp also 2 a 2 b 2 a b 2 displaystyle 2 cdot a 2 b 2 geq a b 2 nbsp Nach dem Satz des Pythagoras folgt daraus c 2 a b 2 2 displaystyle c 2 geq frac a b 2 2 nbsp und die Ungleichungen c a b 2 2 a b displaystyle c geq frac a b sqrt 2 geq sqrt 2 cdot a cdot b nbsp Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Die linke Ungleichung wird auch als Dreiecksungleichung fur rechtwinklige Dreiecke bezeichnet siehe Abb 1 fur den Fall der Ungleichheit und Abb 2 fur den Fall der Gleichheit 7 8 Division von 4 a b a b 2 displaystyle 4 cdot a cdot b leq a b 2 nbsp durch die linke Ungleichung ergibt 4 a b c 2 a b displaystyle frac 4 cdot a cdot b c leq sqrt 2 cdot a b nbsp Wegen h c a b c displaystyle h c frac a cdot b c nbsp folgt daraus h c a b 2 2 displaystyle h c leq frac a b 2 cdot sqrt 2 nbsp Aus c 2 a 2 b 2 2 a b displaystyle c 2 a 2 b 2 geq 2 cdot a cdot b nbsp folgt wegen a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp fur die Kehrwerte 1 c 2 1 2 a b displaystyle frac 1 c 2 leq frac 1 2 cdot a cdot b nbsp also 1 c 1 2 a b displaystyle frac 1 c leq frac 1 sqrt 2 cdot a cdot b nbsp Multiplikation mit a b displaystyle a cdot b nbsp auf beiden Seiten ergibt a b c a b 2 displaystyle frac a cdot b c leq frac sqrt a cdot b sqrt 2 nbsp Wegen h c a b c displaystyle h c frac a cdot b c nbsp folgen daraus die genaueren Ungleichungen h c a b 2 a b 2 2 displaystyle h c leq frac sqrt a cdot b sqrt 2 leq frac a b 2 cdot sqrt 2 nbsp Die Gleichungen c a b 2 2 a b displaystyle c frac a b sqrt 2 sqrt 2 cdot a cdot b nbsp und h c a b 2 a b 2 2 displaystyle h c frac sqrt a cdot b sqrt 2 frac a b 2 cdot sqrt 2 nbsp gelten genau dann wenn a b displaystyle a b nbsp also fur ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln 45 displaystyle 45 circ nbsp 45 displaystyle 45 circ nbsp und 90 displaystyle 90 circ nbsp Ausgezeichnete Punkte Bearbeiten nbsp Rechtwinkliges Dreieck mit den vier klassischen ausgezeichneten Punkten U displaystyle U nbsp S displaystyle S nbsp I displaystyle I nbsp und H displaystyle H nbsp daruber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises F displaystyle F nbsp mit dessen neun ausgezeichneten Punkten davon nur funf sichtbar und der Eulerschen Geraden e displaystyle e nbsp Hauptartikel Kreise am Dreieck und Ausgezeichnete Punkte im Dreieck Wie aus dem Bild ersichtlich liegt von den vier klassischen ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck der Hohenschnittpunkt H displaystyle H nbsp hellbraun direkt im Scheitel des rechten Winkles Eckpunkt C displaystyle C nbsp und der Umkreismittelpunkt U displaystyle U nbsp hellgrun in der Mitte der Dreieckseite c displaystyle c nbsp Der Schwerpunkt S displaystyle S nbsp dunkelblau sowie der Inkreismittelpunkt I displaystyle I nbsp rot sind innerhalb des Dreiecks Der Mittelpunkt F displaystyle F nbsp des Feuerbachkreises beides hellblau ist in der Mitte der Strecke H U displaystyle overline HU nbsp und ebenfalls innerhalb des Dreiecks Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte von denen aber aufgrund der Position des Hohenschnittpunktes H displaystyle H nbsp nur funf zu sehen sind Es sind dies die Seitenmittelpunkte J M displaystyle J M nbsp und O displaystyle O nbsp sowie die Hohenfusspunkte D displaystyle D nbsp und G displaystyle G nbsp Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Hohenabschnitte namlich E displaystyle E nbsp und N displaystyle N nbsp liegen auf den Seitenmittelpunkten J displaystyle J nbsp bzw M displaystyle M nbsp Der dazugehorende dritte Mittelpunkt K displaystyle K nbsp liegt auf dem Scheitelpunkt C displaystyle C nbsp Schliesslich findet man den dritten Hohenfusspunkt L displaystyle L nbsp auf dem Hohenschnittpunkt H displaystyle H nbsp Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar 9 Die Punkte U displaystyle U nbsp S displaystyle S nbsp F displaystyle F nbsp und H displaystyle H nbsp befinden sich wie bei allen Dreiecken auf der Eulerschen Gerade e displaystyle e nbsp rot Andere Dreiecke BearbeitenGleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Spitzwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges DreieckWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Rechtwinkliges Dreieck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Hypotenuse Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wiktionary Kathete Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Rechtwinkliges Dreieck auf Webseite der TU Freiberg Rechner fur interaktive Dreiecksberechnungen Eric W Weisstein rechtwinkliges Dreieck In MathWorld englisch Anmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten a b Wolfgang Zeuge Nutzliche und schone Geometrie Eine etwas andere Einfuhrung in die Euklidische Geometrie Springer Spektrum Wiesbaden 2018 ISBN 978 3 658 22832 3 2 7 Der Satz von Eddy S 30 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 16 August 2019 Jorg Meyer Symmetrie PDF 3 Symmetrie beim Problemlosen Universitat des Saarlandes Fachrichtung Mathematik S 4 abgerufen am 15 August 2019 Ross Honsberger Gitter Reste Wurfel Friedrich Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig 1984 ISBN 978 3 528 08476 9 Seite 29 Huseyin Demir Leon Bankoff Problem E 1197 American Mathematical Monthly Los Angeles Kalifornien 1956 Seite 493 Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seite 81 83 Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 28 Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 18 Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3 veroffentlicht von der Canadian Mathematical Society Arne Madincea Der Feuerbachkreis Der Satz uber den 9 Punkte Kreis Aufgabe 1 S 2 ff PDF In Materialien fur Mathematikunterricht Herder Gymnasium Berlin S 7 abgerufen am 25 November 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rechtwinkliges Dreieck amp oldid 237994329 Bezeichnungen
