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Kosinussatz Der ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig Er i

Kosinussatz

Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras.

Für ebene Dreiecke ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Kosinussatz für ebene Dreiecke Bearbeiten

Allgemeine Formulierung Bearbeiten

Bezeichnungen im Dreieck

Für die drei Seiten , und eines Dreiecks sowie für den der Seite gegenüberliegenden Winkel (d. h. den zwischen den Seiten und liegenden Winkel) gilt:

Umkehrung für den Winkel:

Die beiden anderen Kosinus-Gleichungen:

Gegeben seien die Seiten und sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel , dann gilt für die dem Winkel gegenüberliegende Seite :

Gegeben seien die Seiten und sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel , dann gilt für die dem Winkel gegenüberliegende Seite :

Entsprechend gilt für die beiden anderen Winkel:

Gleichwertige Formulierung Bearbeiten

Die zuvor genannten drei Identitätsgleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus den folgenden drei Kosinusformeln und im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene sogar gleichwertig mit

Man fasst diese Formeln unter dem Stichwort Projektionssatz oder Projektionssätze zusammen.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes Bearbeiten

Mit , also bei einem rechtwinkligen Dreieck, gilt . Dadurch ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

Der Kosinussatz stellt daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras dar und wird auch erweiterter Satz des Pythagoras genannt.

Kosinussatz für Kugeldreiecke Bearbeiten

Beim sphärischen Kosinussatz für Kugeldreiecke ist die Länge der Dreiecksseiten im Winkelmaß anzugeben, weshalb statt einer Winkelfunktion deren sechs auftreten. Das Analogon zum ebenen Satz

lautet daher

wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist. Diesem Seiten-Kosinussatz (hier für c, analog für die Seiten a bzw. b) steht der Winkel-Kosinussatz gegenüber:

worin das erste Vorzeichen negativ ist.

Anwendungen Bearbeiten

Zahlenbeispiel Bearbeiten

In einem Dreieck ABC sind folgende Seitengrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

Gesucht ist die Winkelgröße (Bezeichnungen wie üblich).

Kongruenzsätze Bearbeiten

Die Kongruenzsätze SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Mit Vektoren in reellen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen mit Skalarprodukt , kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet

die Skalarproduktnorm, also die Länge, eines Vektors und mit

den Winkel zwischen den beiden Vektoren , dann gilt für die Norm des Vektors :

Beweis Bearbeiten

Elementargeometrischer Beweis Bearbeiten

Im folgenden Beweis wird vorausgesetzt. Für muss der Beweis geringfügig modifiziert werden. Für ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem Satz des Pythagoras.

Dreieck

In den Teildreiecken soll der Satz des Pythagoras angewandt werden, um einen Rechenausdruck für zu finden. Dazu benötigt man die Quadrate der Kathetenlängen dieses Teildreiecks:

Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:

Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:

Zusätzlich gilt

mit der Folgerung

Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für ergibt die Behauptung:

Trigonometrischer Beweis Bearbeiten

Variante 1 Bearbeiten

Figur 1

Zeichnet man das Lot auf der Seite ein (Figur 1), dann wird diese in zwei Abschnitte geteilt und es gilt:

Multiplikation mit ergibt

Analog erhält man für die beiden anderen Seiten die Gleichungen

Addiert man diese beiden Gleichungen, dann folgt daraus

Weil die rechte Seite der letzten Gleichung und die rechte Seite von übereinstimmen, kann man die beiden linken Seiten gleichsetzen:

Variante 2 Bearbeiten

Figur 2

Hier ist der Rechenaufwand geringer, da die benötigten Informationen großenteils in die Beweisfigur (Figur 2) verlagert sind.

Nach dem Sehnensatz ergibt sich folgende Äquivalenzkette:

Beweis mittels Vektorrechnung Bearbeiten

Anschließend an die Darstellung von Gericke und Raith wird zunächst der Beweis der drei Kosinusformeln geführt:

Dazu macht man die Festlegungen

Man erhält daraus die Gleichungen

sowie unter Benutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts

und

Nun zieht man die für das Dreieck charakteristische Grundgleichung

heran und gewinnt

und weiter

Folglich ergibt sich

und damit die erste der obigen drei Kosinusformeln.

Die beiden anderen erhält man auf gleiche Art und Weise.

Auf die drei Formeln der allgemeinen Formulierung kann man dann mittels elementarer algebraischer Operationen schließen. So erhält man die erste Gleichung, indem man die zuvor stehenden drei Kosinusformeln nacheinander mit , und multipliziert, aufaddiert und nach auflöst.

Siehe auch Bearbeiten

Quellen und Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Kosinussatz – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Law of cosines – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. Beweis siehe auch: Wikibooks-Beweisarchiv
  2. ↑ Helmuth Gericke, F. Raith: Vektoren und Trigonometrie. in: H. Behnke et al.: Grundzüge der Mathematik. Band II. Geometrie., 1960, S. 266 ff
  3. Hanfried Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik., 1976, S. 236
  4. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 146
  5. Als Folgerung aus dem Projektionssatz ergibt sich noch eine weitere interessante Kosinusformel; siehe Beweisarchiv.
  6. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 41
  7. Der Beweis des Projektionssatzes lässt sich auch, und zwar in ähnlicher Weise wie der vorangehende Beweis, im Rahmen der Elementargeometrie führen.
  8. Es soll o.B.d.A. vorausgesetzt sein, dass ein nicht-ausgeartetes Dreieck vorliegt, also keine der drei Seiten und damit auch keiner der drei Vektoren die Länge hat.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsatze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehorig Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras Fur ebene Dreiecke ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren fur spharische benotigt er sechs Winkelfunktionen In beiden Fallen beinhaltet er drei Identitatsgleichungen welche die Beziehungen zwischen den Langen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen Inhaltsverzeichnis 1 Kosinussatz fur ebene Dreiecke 1 1 Allgemeine Formulierung 1 2 Gleichwertige Formulierung 1 3 Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes 2 Kosinussatz fur Kugeldreiecke 3 Anwendungen 3 1 Zahlenbeispiel 3 2 Kongruenzsatze 4 Verallgemeinerung 5 Beweis 5 1 Elementargeometrischer Beweis 5 2 Trigonometrischer Beweis 5 2 1 Variante 1 5 2 2 Variante 2 5 3 Beweis mittels Vektorrechnung 6 Siehe auch 7 Quellen und Literatur 8 Weblinks 9 Einzelnachweise und FussnotenKosinussatz fur ebene Dreiecke BearbeitenAllgemeine Formulierung Bearbeiten nbsp Bezeichnungen im DreieckFur die drei Seiten a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp eines Dreiecks sowie fur den der Seite c displaystyle c nbsp gegenuberliegenden Winkel g displaystyle gamma nbsp d h den zwischen den Seiten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp liegenden Winkel gilt c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp Umkehrung fur den Winkel g arccos a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle gamma arccos frac a 2 b 2 c 2 2 cdot a cdot b nbsp Die beiden anderen Kosinus Gleichungen Gegeben seien die Seiten a displaystyle a nbsp und c displaystyle c nbsp sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel b displaystyle beta nbsp dann gilt fur die dem Winkel gegenuberliegende Seite b displaystyle b nbsp b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2 cdot a cdot c cdot cos beta nbsp Gegeben seien die Seiten b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel a displaystyle alpha nbsp dann gilt fur die dem Winkel gegenuberliegende Seite a displaystyle a nbsp a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle a 2 b 2 c 2 2 cdot b cdot c cdot cos alpha nbsp Entsprechend gilt fur die beiden anderen Winkel b arccos a 2 c 2 b 2 2 a c displaystyle beta arccos frac a 2 c 2 b 2 2 cdot a cdot c nbsp a arccos b 2 c 2 a 2 2 b c displaystyle alpha arccos frac b 2 c 2 a 2 2 cdot b cdot c nbsp 1 Gleichwertige Formulierung Bearbeiten Die zuvor genannten drei Identitatsgleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus den folgenden drei Kosinusformeln und im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene sogar gleichwertig mit 2 3 a b cos g c cos b displaystyle a b cdot cos gamma c cdot cos beta nbsp b c cos a a cos g displaystyle b c cdot cos alpha a cdot cos gamma nbsp c a cos b b cos a displaystyle c a cdot cos beta b cdot cos alpha nbsp Man fasst diese Formeln unter dem Stichwort Projektionssatz 4 oder Projektionssatze 2 zusammen 5 Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes Bearbeiten Mit g 90 p 2 displaystyle textstyle gamma 90 circ frac pi 2 nbsp also bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt cos g cos p 2 0 displaystyle textstyle cos gamma cos frac pi 2 0 nbsp Dadurch ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras c 2 a 2 b 2 displaystyle c 2 a 2 b 2 nbsp Der Kosinussatz stellt daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras dar und wird auch erweiterter Satz des Pythagoras genannt Kosinussatz fur Kugeldreiecke BearbeitenBeim spharischen Kosinussatz fur Kugeldreiecke ist die Lange der Dreiecksseiten im Winkelmass anzugeben weshalb statt einer Winkelfunktion deren sechs auftreten Das Analogon zum ebenen Satz c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp lautet daher cos c cos a cos b sin a sin b cos g displaystyle cos c cos a cdot cos b sin a cdot sin b cdot cos gamma nbsp wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist Diesem Seiten Kosinussatz hier fur c analog fur die Seiten a bzw b steht der Winkel Kosinussatz gegenuber cos g cos a cos b sin a sin b cos c displaystyle cos gamma cos alpha cdot cos beta sin alpha cdot sin beta cdot cos c nbsp worin das erste Vorzeichen negativ ist Anwendungen BearbeitenZahlenbeispiel Bearbeiten In einem Dreieck ABC sind folgende Seitengrossen bekannt Bezeichnungen wie ublich a 4 00 c m displaystyle a 4 00 rm cm nbsp b 2 00 c m displaystyle b 2 00 rm cm nbsp c 3 70 c m displaystyle c 3 70 rm cm nbsp Gesucht ist die Winkelgrosse b displaystyle beta nbsp Bezeichnungen wie ublich b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2 cdot a cdot c cdot cos beta nbsp 2 a c cos b a 2 c 2 b 2 displaystyle 2 cdot a cdot c cdot cos beta a 2 c 2 b 2 nbsp cos b a 2 c 2 b 2 2 a c 4 0 c m 2 3 7 c m 2 2 0 c m 2 2 4 0 c m 3 7 c m 0 868 displaystyle cos beta frac a 2 c 2 b 2 2 cdot a cdot c frac 4 0 rm cm 2 3 7 rm cm 2 2 0 rm cm 2 2 cdot 4 0 rm cm cdot 3 7 rm cm 0 868 nbsp b 29 8 displaystyle beta 29 8 circ nbsp Kongruenzsatze Bearbeiten Die Kongruenzsatze SSS und SWS besagen dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollstandig bestimmt ist Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fallen aus den drei gegebenen Stucken ein viertes Stuck namlich einen Winkel im Fall SSS beziehungsweise die dritte Seite im Fall SWS zu berechnen Wenn man anschliessend auch die ubrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln mochte kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen oder den Sinussatz anwenden Den letzten Winkel berechnet man am zweckmassigsten uber die Winkelsumme von 180 Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind Kongruenzsatze SWW oder WSW oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der grosseren Seite Kongruenzsatz SsW so berechnet man zunachst eines der fehlenden Stucke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel uber die Winkelsumme bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann Verallgemeinerung BearbeitenMit Vektoren in reellen Skalarproduktraumen also Vektorraumen V displaystyle V nbsp mit Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden Bezeichnet a a a displaystyle a sqrt langle a a rangle nbsp die Skalarproduktnorm also die Lange eines Vektors a V displaystyle a in V nbsp und 8 a b displaystyle theta a b nbsp mit cos 8 a b a b a b displaystyle cos theta a b frac langle a b rangle a cdot b nbsp den Winkel zwischen den beiden Vektoren a b V displaystyle a b in V nbsp dann gilt fur die Norm des Vektors c b a displaystyle c b a nbsp c 2 b a 2 b a b a b b b a a b a a a 2 b 2 2 a b a 2 b 2 2 a b cos 8 a b displaystyle begin aligned c 2 amp b a 2 langle b a b a rangle langle b b rangle langle b a rangle langle a b rangle langle a a rangle amp a 2 b 2 2 cdot langle a b rangle a 2 b 2 2 cdot a cdot b cos theta a b end aligned nbsp Beweis BearbeitenElementargeometrischer Beweis Bearbeiten Im folgenden Beweis wird g lt 90 displaystyle gamma lt 90 circ nbsp vorausgesetzt Fur g gt 90 displaystyle gamma gt 90 circ nbsp muss der Beweis geringfugig modifiziert werden Fur g 90 displaystyle gamma 90 circ nbsp ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem Satz des Pythagoras nbsp DreieckIn den Teildreiecken soll der Satz des Pythagoras angewandt werden um einen Rechenausdruck fur c 2 displaystyle c 2 nbsp zu finden Dazu benotigt man die Quadrate der Kathetenlangen dieses Teildreiecks h 2 b 2 e 2 displaystyle h 2 b 2 e 2 nbsp Satz des Pythagoras fur das rechte Teildreieck d 2 a e 2 a 2 2 a e e 2 displaystyle d 2 a e 2 a 2 2 cdot a cdot e e 2 nbsp binomische Formel Nach Pythagoras gilt fur das linke Teildreieck c 2 h 2 d 2 displaystyle c 2 h 2 d 2 nbsp Es mussen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrucke addiert werden c 2 b 2 e 2 a 2 2 a e e 2 a 2 b 2 2 a e displaystyle c 2 b 2 e 2 a 2 2 cdot a cdot e e 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot e nbsp Zusatzlich gilt cos g e b displaystyle cos gamma frac e b nbsp mit der Folgerung e b cos g displaystyle e b cdot cos gamma nbsp Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung fur c 2 displaystyle c 2 nbsp ergibt die Behauptung c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp Trigonometrischer Beweis Bearbeiten Variante 1 Bearbeiten nbsp Figur 1Zeichnet man das Lot auf der Seite c displaystyle c nbsp ein Figur 1 dann wird diese in zwei Abschnitte geteilt und es gilt c a cos b b cos a displaystyle c a cdot cos beta b cdot cos alpha nbsp Multiplikation mit c displaystyle c nbsp ergibt c 2 a c cos b b c cos a displaystyle c 2 a cdot c cdot cos beta b cdot c cdot cos alpha nbsp Analog erhalt man fur die beiden anderen Seiten die Gleichungen a 2 a c cos b a b cos g displaystyle a 2 a cdot c cdot cos beta a cdot b cdot cos gamma nbsp b 2 b c cos a a b cos g displaystyle b 2 b cdot c cdot cos alpha a cdot b cdot cos gamma nbsp Addiert man diese beiden Gleichungen dann folgt daraus a 2 b 2 a c cos b b c cos a 2 a b cos g displaystyle a 2 b 2 a cdot c cdot cos beta b cdot c cdot cos alpha 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp a 2 b 2 2 a b cos g a c cos b b c cos a displaystyle a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma a cdot c cdot cos beta b cdot c cdot cos alpha nbsp Weil die rechte Seite der letzten Gleichung und die rechte Seite von c 2 a c cos b b c cos a displaystyle c 2 a cdot c cdot cos beta b cdot c cdot cos alpha nbsp ubereinstimmen kann man die beiden linken Seiten gleichsetzen c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp Variante 2 Bearbeiten nbsp Figur 2Hier ist der Rechenaufwand geringer da die benotigten Informationen grossenteils in die Beweisfigur Figur 2 verlagert sind Nach dem Sehnensatz ergibt sich folgende Aquivalenzkette 2 a cos g b b a c a c 2 a b cos g b 2 a 2 c 2 c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle left 2a cos gamma b right cdot b a c a c Leftrightarrow 2ab cos gamma b 2 a 2 c 2 Leftrightarrow c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma nbsp 6 Beweis mittels Vektorrechnung Bearbeiten Anschliessend an die Darstellung von Gericke und Raith wird zunachst der Beweis der drei Kosinusformeln gefuhrt 2 7 Dazu macht man die Festlegungen a B C b C A c A B displaystyle vec a overrightarrow BC quad vec b overrightarrow CA quad vec c overrightarrow AB nbsp Man erhalt daraus die Gleichungen a C B b A C c B A displaystyle vec a overrightarrow CB quad vec b overrightarrow AC quad vec c overrightarrow BA nbsp sowie unter Benutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts a a a b b b c c c displaystyle a vec a vec a quad b vec b vec b quad c vec c vec c nbsp und cos a b c b c b c b c cos b c a c a c a c a cos g a b a b a b a b displaystyle cos alpha frac langle vec b vec c rangle vec b cdot vec c frac langle vec b vec c rangle b cdot c quad cos beta frac langle vec c vec a rangle vec c cdot vec a frac langle vec c vec a rangle c cdot a quad cos gamma frac langle vec a vec b rangle vec a cdot vec b frac langle vec a vec b rangle a cdot b nbsp 8 Nun zieht man die fur das Dreieck charakteristische Grundgleichung a b c 0 displaystyle vec a vec b vec c vec 0 nbsp heran und gewinnt a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp und weiter a 2 a 2 a a b a c a displaystyle a 2 vec a 2 langle vec a vec a rangle langle vec b vec a rangle langle vec c vec a rangle nbsp Folglich ergibt sich a b a a c a a a b a c a a b cos g c cos b displaystyle a frac langle vec b vec a rangle a frac langle vec c vec a rangle a frac langle vec a vec b rangle a frac langle vec c vec a rangle a b cdot cos gamma c cdot cos beta nbsp und damit die erste der obigen drei Kosinusformeln Die beiden anderen erhalt man auf gleiche Art und Weise Auf die drei Formeln der allgemeinen Formulierung kann man dann mittels elementarer algebraischer Operationen schliessen So erhalt man die erste Gleichung indem man die zuvor stehenden drei Kosinusformeln nacheinander mit a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp multipliziert aufaddiert und nach c 2 displaystyle c 2 nbsp auflost Siehe auch BearbeitenSinussatz Tangenssatz Geometrie auf der Kugeloberflache Dschamschid Masʿud al Kaschi Formelsammlung TrigonometrieQuellen und Literatur BearbeitenIlka Agricola Thomas Friedrich Elementargeometrie Fachwissen fur Studium und Mathematikunterricht Studium 4 uberarbeitete Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 658 06730 4 doi 10 1007 978 3 658 06731 1 Heinrich Behnke Friedrich Bachmann Kuno Fladt Wilhelm Suss Hrsg Grundzuge der Mathematik Band II Geometrie Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1960 I N Bronstein K A Semendjajev G Musiol H Muhlig Hrsg Taschenbuch der Mathematik 7 vollstandig uberarbeitete und erganzte Auflage Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main 2008 ISBN 978 3 8171 2007 9 Hanfried Lenz Grundlagen der Elementarmathematik 3 uberarbeitete Auflage Hanser Verlag 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Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 41 Der Beweis des Projektionssatzes lasst sich auch und zwar in ahnlicher Weise wie der vorangehende Beweis im Rahmen der Elementargeometrie fuhren Es soll o B d A vorausgesetzt sein dass ein nicht ausgeartetes Dreieck vorliegt also keine der drei Seiten und damit auch keiner der drei Vektoren die Lange 0 displaystyle 0 nbsp hat Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kosinussatz amp oldid 231155924