In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz auch Tangentensatz und Regel von Napier eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her Fur die drei Seiten a b und c eines Dreiecks sowie fur die diesen Seiten jeweils gegenuber liegenden Winkel a b und g gilt b c b c tan b g 2 tan b g 2 displaystyle frac b c b c frac tan frac beta gamma 2 tan frac beta gamma 2 Wegen tan b g 2 tan 180 a 2 tan 90 a 2 cot a 2 displaystyle tan frac beta gamma 2 tan frac 180 circ alpha 2 tan left 90 circ frac alpha 2 right cot frac alpha 2 kann man diese Formel auch schreiben als b c b c cot a 2 tan b g 2 displaystyle frac b c b c frac cot frac alpha 2 tan frac beta gamma 2 Analoge Formeln fur a b a b displaystyle frac a b a b und a c a c displaystyle frac a c a c erhalt man durch zyklische Vertauschung a b a b tan a b 2 tan a b 2 cot g 2 tan a b 2 displaystyle frac a b a b frac tan frac alpha beta 2 tan frac alpha beta 2 frac cot frac gamma 2 tan frac alpha beta 2 c a c a tan g a 2 tan g a 2 cot b 2 tan g a 2 displaystyle frac c a c a frac tan frac gamma alpha 2 tan frac gamma alpha 2 frac cot frac beta 2 tan frac gamma alpha 2 Wegen tan x tan x displaystyle tan x tan x bleibt eine dieser Formel gultig wenn sowohl die Seiten als auch die zugehorigen Winkel vertauscht werden also etwa a c a c tan a g 2 tan a g 2 cot b 2 tan a g 2 displaystyle frac a c a c frac tan frac alpha gamma 2 tan frac alpha gamma 2 frac cot frac beta 2 tan frac alpha gamma 2 Inhaltsverzeichnis 1 Beweis mit Sinussatz und Identitaten der Winkelfunktionen 2 Beweis mit Mollweideschen Formeln 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksBeweis mit Sinussatz und Identitaten der Winkelfunktionen BearbeitenNach dem Sinussatz gilt b c sin b sin g displaystyle tfrac b c tfrac sin beta sin gamma nbsp und damit folgt b c b c b c 1 b c 1 sin b sin g sin g sin g sin b sin g sin g sin g sin b sin g sin b sin g displaystyle frac b c b c frac frac b c 1 frac b c 1 frac frac sin beta sin gamma frac sin gamma sin gamma frac sin beta sin gamma frac sin gamma sin gamma frac sin beta sin gamma sin beta sin gamma nbsp nach Einsetzen der Identitaten sin b sin g 2 sin b g 2 cos b g 2 displaystyle sin beta sin gamma 2 sin frac beta gamma 2 cos frac beta gamma 2 nbsp sowie sin b sin g 2 cos b g 2 sin b g 2 displaystyle sin beta sin gamma 2 cos frac beta gamma 2 sin frac beta gamma 2 nbsp die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen ergibt sich per Division die gewunschte Formel Beweis mit Mollweideschen Formeln BearbeitenMit Winkelsumme im Dreieck und Ubergang zum Komplementarwinkel tan b g 2 tan 180 a 2 tan 90 a 2 cot a 2 displaystyle tan frac beta gamma 2 tan frac 180 circ alpha 2 tan left 90 circ frac alpha 2 right cot frac alpha 2 qquad nbsp 1 Aus den Mollweideschen Formeln folgt mit 1 b c b c b c a a b c cos b g 2 sin a 2 cos a 2 sin b g 2 cot b g 2 cot a 2 cot a 2 tan b g 2 tan b g 2 tan b g 2 displaystyle frac b c b c frac b c a cdot frac a b c frac cos frac beta gamma 2 sin frac alpha 2 cdot frac cos frac alpha 2 sin frac beta gamma 2 cot frac beta gamma 2 cdot cot frac alpha 2 frac cot frac alpha 2 tan frac beta gamma 2 frac tan frac beta gamma 2 tan frac beta gamma 2 quad nbsp q e d Siehe auch BearbeitenFormelsammlung TrigonometrieLiteratur BearbeitenMax Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie Springer 2007 S 129 Auszug Google Johannes Tropfke Geschichte der Elementarmathematik Band 5 I Ebene Trigonometrie II Spharik und spharische Trigonometrie Walter de Gruyter 1923 ISBN 3 11 144776 6 S 79 82 doi 10 1515 9783111447766 70 Auszug Google Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Law of Tangents In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tangenssatz amp oldid 212244368
