Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.
Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; die Strahlen heißen Schenkel des Winkels oder Winkelschenkel. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.
Die physikalische Größe, die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt, wird als Winkelweite oder Winkelabstand (Winkeldistanz) bezeichnet, üblicherweise auch verkürzend als Winkel, wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist, beispielsweise in der Physik. Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben.
Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen Drehung definiert werden.
Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet.
Definition Bearbeiten
In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansätze möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:
- Der ungerichtete Winkel, der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist.
- Der gerichtete Winkel, der über eine Orientierung verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.
Darstellung als Strahlenpaar Bearbeiten
Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden.
Darstellung als Halbgeradenpaar Bearbeiten
Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde bestehend aus zwei Halbgeraden mit demselben Ursprung.
Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.
Darstellung als Teil der Ebene Bearbeiten
Der Winkel (besser: das Winkelfeld) ist ein Teilbereich der Zeichenebene, der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere. Diese Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes und dient – über die Festlegung eines Innen- und Außenraums – der Einführung in die Dreiecksgeometrie: Das Dreieck lässt sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.
Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.
Darstellung als Drehung Bearbeiten
Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch eine Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw. ihren Anfangspunkt entsteht.
Da der Strahl auf zwei verschiedene Möglichkeiten gedreht werden kann, muss zusätzlich die Drehrichtung angegeben werden:
- Linksdrehung: gegen den Uhrzeigersinn, auch mathematisch positiver Drehsinn genannt (Winkel ist positiv) – im Bild grün dargestellt.
- Rechtsdrehung: mit dem Uhrzeigersinn, auch mathematisch negativer Drehsinn genannt (Winkel ist negativ) – im Bild violett dargestellt.
In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn – also im mathematisch positiven Drehsinn – auszuführen. Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.
In der Geodäsie (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezählt. Da in der Geodäsie per Definition keine negativen Winkel existieren, ist der Drehsinn positiv. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24 h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.
Bezeichnung von Winkeln Bearbeiten
Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 80000-2.
- Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B. oder , bezeichnet.
- Ein Winkel ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, Kanten und ähnlichem. Er wird dann von ausgehend Richtung gezählt.
- Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z. B. Winkel ABC, oder veraltet . Dies bezeichnet den Winkel zwischen und , wobei im mathematisch positiven Drehsinn auf gedreht wird.
- Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels bzw. üblich.
Für den Formelsatz steht das Zeichen »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »∡« (TeX \measuredangle, U+2221 measured angle, keine HTML-Entität), die sich beide im Unicode-Block Mathematische Operatoren finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »∢« U+2222 für den Raumwinkel zum Verwechseln ähnlich sieht. »∠« findet auch für Neigung und Winkligkeit (Lagetoleranz, DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den rechten Winkel verwendet man alternativ einen Winkel ohne Zusatz »∟«, einen Winkel mit Bogen und Punkt »⦝« oder einen Winkel mit Bogen »⊾«, in der Technik auch einen Winkel mit Quadrat »⦜« oder das Zeichen für Orthogonalität .
bzw. Winkel allgemein
Winkelmaße und Maßeinheiten für Winkel Bearbeiten
Ausführliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmaß, Umrechnungen sind bei den einzelnen Maßen zu finden.
| Winkelmaß | Maßeinheit | 1 Vollwinkel = | Einheitenzeichen |
|---|---|---|---|
| — | Vollwinkel | 1 | |
| Bogenmaß | Radiant | 2π | rad |
| Gradmaß | Grad (Bogenminute, Bogensekunde) | 360 | ° (′, ″) |
| Geodätisches Winkelmaß | Gon (veraltet: Neugrad) | 400 | gon (veraltet: g) |
| Zeitmaß | Stunden, Minuten, Sekunden | 24 | h, m, s |
| — | Nautischer Strich | 32 | ¯ |
| — | Artilleristischer Strich (Schweiz: Artilleriepromille) | 6400 | mil (A‰) |
| — | Prozent, Promille | nichtlinear | %, ‰ |
Weitere Formen der Angabe eines Winkels:
- Der Tangens der Winkelweite des Steigungswinkels (auch Steigungsmaß genannt, entspricht der Maßangabe in Prozent)
- Ein Paar mit Cosinus und Sinus (entspricht den kartesischen Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis)
Arten von Winkeln Bearbeiten
| [°] | [rad] (mit ) | [rad] (mit ) | [] | |
|---|---|---|---|---|
| Nullwinkel | ||||
| spitzer Winkel < Vollwinkel | ||||
| rechter Winkel = Vollwinkel | ||||
| stumpfer Winkel > Vollwinkel und < Vollwinkel | ||||
| gestreckter Winkel = Vollwinkel | ||||
| überstumpfer (erhabener) Winkel > Vollwinkel und < 1 Vollwinkel | ||||
| voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis) |
Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.
Schnittwinkel Bearbeiten
Zwischen zwei sich schneidenden Geraden existieren vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel null sind.
Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.
Spezielle Winkelpaare Bearbeiten
Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.
Komplementwinkel oder Komplementärwinkel Bearbeiten
Zwei Winkel heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.
Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel Bearbeiten
Zwei Winkel heißen Supplementwinkel (auch: Supplementärwinkel), Supplement, Ergänzungswinkel oder kurz E-Winkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.
Nebenwinkel Bearbeiten
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.
Sie sind also Supplementwinkel.
Scheitelwinkel oder Gegenwinkel Bearbeiten
Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel.
Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.
Stufenwinkel oder F-Winkel Bearbeiten
Schneidet eine Gerade zwei Geraden und , so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von und auf einander entsprechenden Seiten von bzw. liegen, Stufen- oder F-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden und parallel sind, gilt:
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von und auf einander entsprechenden Seiten von und gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Wechselwinkel oder Z-Winkel Bearbeiten
Schneidet eine Gerade zwei Geraden und , so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von und entgegengesetzten Seiten von bzw. liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden und parallel sind, gilt:
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von und unterschiedlichen Seiten von bzw. gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Nachbarwinkel oder E-Winkel Bearbeiten
Schneidet eine Gerade zwei weitere parallele Geraden und , so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von , aber auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.
Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von , aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden und parallel.
Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.
Normalwinkel Bearbeiten
Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen werden Normalwinkel genannt. Sie sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180°. Vergleiche nebenstehende Abbildungen.
Winkel nach Dimensionen Bearbeiten
Zweidimensionale Winkel Bearbeiten
Der einfachste Fall für Winkel sind die in diesem Artikel ausführlich beschriebenen Winkel in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Sie sind meistens die intuitive und umgangssprachliche Vorstellung, wenn von Winkeln die Rede ist.
Dreidimensionale Winkel Bearbeiten
Im dreidimensionalen euklidischen Raum existieren ebenfalls Winkel, die der klassischen Vorstellung von Winkeln entsprechen. Das können zum Beispiel die Innenwinkel der Seitenflächen (Polygone) von Polyedern sein.
Dazu kommen die Neigungswinkel zwischen zwei Flächen oder Halbebenen, die Diederwinkel, Flächenwinkel oder Torsionswinkel. Diese Begriffe hängen vom fachlichen Kontext ab. Diederwinkel werden von zwei Flächen begrenzt, die jeweils von drei Punkten aufgespannt werden. Wenn diese Flächen orthogonal von einer Ebene geschnitten werden, entstehen zwei Strecken, die einen Winkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Auch der Winkel zwischen zwei nicht parallelen Ebenen kann als Diederwinkel verstanden werden. Wenn diese zwei Ebenen orthogonal von einer dritten Ebene geschnitten werden, entstehen zwei Geraden, die zwei Scheitelwinkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Diederwinkel werden ebenfalls in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben und können maximal 360° oder betragen.
Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.
Der Raumwinkel wird zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben. Dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m². Da der Flächeninhalt einer ganzen Kugeloberfläche ist, ist der zugehörige volle Raumwinkel
Winkel nach Geometrien Bearbeiten
Üblicherweise werden Winkel im euklidischen Raum betrachtet. Diese Art von Geometrie wird euklidische Geometrie genannt.
Es können jedoch auch Winkel auf der Kugeloberfläche betrachtet und berechnet werden. Dann gelten andere Sätze und Gleichungen für die Winkel und Längen. Für die Berechnung der Winkel eines Kugeldreiecks ist zum Beispiel der Sinussatz für Kugeldreiecke und der Kosinussatz für Kugeldreiecke wichtig. Weitere Sätze sind unter Sphärische Trigonometrie – Kugeldreieck zu finden.
In einem hyperbolischer Raum gelten ebenfalls andere Sätze und Gleichungen für die betrachteten Winkel und Längen. Diese Art von Geometrie wird hyperbolische Geometrie genannt.
Berechnung von Winkeln Bearbeiten
Winkel im Dreieck Bearbeiten
Rechtwinkliges Dreieck Bearbeiten
Wenn im rechtwinkligen Dreieck einer der spitzen Winkel und gegeben ist, ist der andere eindeutig bestimmt, denn es gilt .
Sind zwei der drei Seitenlängen , und bekannt, dann können die Winkel und mithilfe einer inversen Winkelfunktion (Arkusfunktion) berechnet werden. Es gilt
Allgemeines Dreieck Bearbeiten
Wenn im allgemeinen Dreieck zwei der drei Innenwinkel , und gegeben sind, ist der dritte eindeutig bestimmt, denn es gilt .
Sind zwei Seitenlängen und ein gegenüberliegender Winkel gegeben, dann kann der andere gegenüberliegende Winkel mithilfe des Sinussatz berechnet werden. Es gilt zum Beispiel . Anwenden der Umkehrfunktion des Sinus (Arkussinus) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt .
Sind alle drei Seitenlängen gegeben, dann können die Winkel mithilfe des Kosinussatz berechnet werden. Es gilt zum Beispiel . Anwenden der Umkehrfunktion des Kosinus (Arkuskosinus) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt .
Sind die Koordinaten der drei Ecken , , eines Dreiecks gegeben, dann können die Innenwinkel als Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden. Sind und die von ausgehenden Vektoren, dann ergibt sich der Innenwinkel . Dabei ist das Skalarprodukt und das Produkt der Längen der Vektoren.
Kugeldreieck Bearbeiten
Zur Berechnung der Winkel im Kugeldreieck kann entsprechend der Sinussatz für Kugeldreiecke und der Kosinussatz für Kugeldreiecke verwendet werden, indem die Gleichung durch Anwenden von Arkussinus oder Arkuskosinus nach dem gesuchten Winkel aufgelöst wird.
Winkel im Tetraeder Bearbeiten
Im allgemeinen Tetraeder kommen zweidimensionale Winkel vor, zum Beispiel als Innenwinkel der dreieckigen Seitenflächen. Außerdem hat ein Tetraeder Diederwinkel zwischen benachbarten Seitenflächen und Raumwinkel in den Ecken. Das regelmäßige Tetraeder und seine Winkel sind ein Spezialfall des allgemeinen Tetraeders.
Neigungswinkel einer Geraden Bearbeiten
Ist eine Gerade in der Ebene mit in Koordinatenform gegeben, dann gilt für den Neigungswinkel dieser Geraden:
Das folgt aus der Definition des Tangens. Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt
Für den Spezialfall verläuft die Gerade senkrecht und diese Gleichungen sind nicht definiert. Die Funktion (Tangens) hat Polstellen bei und .
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden Bearbeiten
Sind die zwei sich schneidenden Geraden und mit den Ortsvektoren und und den linear unabhängigen Richtungsvektoren und gegeben, dann ist der Schnittwinkel zwischen diesen Geraden der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:
Die Geraden sind orthogonal zueinander, wenn der Schnittwinkel ein rechter Winkel ist, also . Das ist genau dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich 0 ist, also .
Sind zwei Geraden in der Ebene mit und in Koordinatenform gegeben, dann ist der Schnittwinkel die Differenz der Neigungswinkel und der Geraden:
Anwenden des Additionstheorems für den Tangens ergibt
Wegen und folgt daraus
Insgesamt ergibt sich
Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt
Die Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn der Nenner gleich 0 ist, also . Für diese Spezialfälle, nämlich für und , sind die genannten Gleichungen nicht definiert. Die Funktion (Tangens) hat Polstellen bei und .
Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Bearbeiten
Der Schnittwinkel zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor und einer Ebene mit dem Normalenvektor ist gegeben durch
Schnittwinkel zweier Ebenen Bearbeiten
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren und ist entsprechend
Winkelkonstruktion Bearbeiten
Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90-Grad-, 60-Grad-, 72-Grad- und 54-Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.
Die Winkel sind in Dezimalgrad als Näherungskonstruktion mithilfe des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlengeraden konstruierbar.
Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels) Bearbeiten
Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke .
Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden Bearbeiten
- Zeichne einen Kreis um mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet in zwei Punkten.
- Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis. Die Radien der beiden Kreise müssen so gewählt sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden.
- Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade. Die so gezeichnete Gerade schneidet im rechten Winkel und zwar genau im Punkt .
Konstruktion für vorgegebenen Punkt außerhalb der Geraden (Fällen des Lotes) Bearbeiten
- Zeichne einen Kreis um mit einem Radius größer als der Abstand des Punkts von der Geraden. Dieser Kreis schneidet in zwei Punkten.
- Die weitere Vorgehensweise entspricht der Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt.
Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf oder außerhalb der Geraden Bearbeiten
- Wähle einen Punkt in der Nähe des gegebenen Punktes bzw. (siehe nebenstehendes Bild).
- Ziehe einen etwas größeren Halbkreis mit Radius bzw. bis dieser die Gerade in schneidet. Falls gegeben ist, ergibt sich zusätzlich als Schnittpunkt.
- Zeichne den Durchmesser des Halbkreises ein.
- Die abschließende Gerade durch die Punkte und liefert den rechten Winkel am Scheitel .
Konstruktion (ohne vorgegebenen Schnittpunkt) Bearbeiten
Bei beliebigem Schnittpunkt entfällt die Festlegung symmetrischer Punkte auf der Geraden
- Wähle zwei Punkte und auf der Geraden, und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien groß genug, dass die entsprechenden Kreise um und sich in zwei Punkten – im Weiteren und genannt – schneiden.
- Zeichne diese beiden Kreise (sie müssen nur soweit gezeichnet werden, dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden).
- Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte und gehende Gerade. Diese Gerade ist senkrecht zu .
Hinweise Bearbeiten
Man muss die Kreise nicht vollständig zeichnen. Es reicht, wenn die Schnittpunkte erkennbar sind. Prinzipiell wird die Konstruktion umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden.
Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte Bearbeiten
Man halbiert eine gegebene Strecke, indem man die Endpunkte und der Strecke als Mittelpunkte zweier gleicher Kreisbögen wählt und deren zwei gemeinsamen Kreuzungspunkte und miteinander verbindet. Der dadurch erzeugte Schnittpunkt liefert somit die gesuchte Mitte der Strecke .
Konstruktion eines 60-Grad-Winkels Bearbeiten
Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bearbeiten
- Ziehe einen Kreis auf der Geraden um den gegebenen Punkt (Bild 1). Es ergeben sich die zwei Schnittpunkte und .
- Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius z. B. um den Schnittpunkt (alternativ um ) und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden als Schnittpunkt .
- Zeichne eine Gerade durch den Punkt und den Schnittpunkt . Somit schneidet die Gerade im Scheitelpunkt die Gerade im Winkel von 60°.
Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden Bearbeiten
- Fälle das Lot vom gegebenen Punkt auf die Gerade (Bild 2). Du erhältst die Hilfspunkte und sowie den Gegenpunkt . Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt .
- Ziehe einen Kreis () um den Fußpunkt durch den gegebenen Punkt.
- Ziehe mit gleichem Radius einen Kreisbogen () um den Gegenpunkt , du bekommst die Punkte und , deren Verbindungsgerade die Mittelsenkrechte der Strecke ist.
- Zeichne das gleichseitige Dreieck . Die an anliegenden Seiten schneiden die Gerade auf gewünschte Weise.
Die nebenstehende Abbildung (Bild 3) zeigt eine alternative Vorgehensweise, die neben dem gegebenen Punkt und der gegebenen Geraden nur vier Kreise mit gleichem Radius und die Gerade für die Lösung benötigt. Im Verlauf der Konstruktion werden für das Ziehen eines Kreises stets zwei Punkte genutzt. Der Abstand der beiden Punkte ist gleich dem Kreisradius, aufgrund dessen könnte auch ein sogenannter euklidischer oder kollabierender Zirkel eingesetzt werden.
- Ziehe einen Kreis mit einem beliebigen Radius um , es ergibt den Schnittpunkt auf der Geraden .
- Ziehe den zweiten Kreis um Punkt durch sowie den dritten Kreis um den soeben erzeugten Punkt auf durch , er schneidet den Kreis um in . Die Abstände von den Punkten und zu der Geraden sind gleich.
- Schließlich ziehe den vierten Kreis um durch , der den Kreis um in schneidet, und zeichne die Gerade durch die Punkte und . Sie schneidet die Gerade im Scheitelpunkt und liefert somit den Winkel mit der gesuchten Winkelweite 60°.
Konstruktion eines 45-Grad-Winkels Bearbeiten
Antragen eines 45-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bearbeiten
Eine Möglichkeit wäre die Konstruktion des 90-Grad-Winkels als Basis zu verwenden, doch die folgende Lösung (Bild 4) ist mit sechs Konstruktionsschritten etwas kürzer.
- Bestimme den Punkt beliebig auf der Geraden und ziehe einen Kreis mit dem beliebigen Radius um .
- Ziehe den nächsten Kreis mit gleichem Radius um und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden als Schnittpunkt .
- Um den Punkt folgt der dritte Kreis mit gleichem Radius, ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Ziehe eine Gerade durch die Punkte und , ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Der vierte Kreis mit gleichem Radius hat den Mittelpunkt , markiere den Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Die abschließende Halbgerade , ab dem Punkt durch , liefert den Winkel mit der gesuchten Winkelweite .
Antragen eines 45-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden Bearbeiten
- Bestimme den Punkt beliebig unterhalb der Geraden (Bild 5), ziehe einen Kreis mit dem beliebigen Radius um und markiere den Schnittpunkt auf .
- Ziehe den nächsten Kreis mit gleichem Radius um und markiere den Schnittpunkt auf .
- Um den Punkt folgt der dritte Kreis mit gleichem Radius, ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Der vierte Kreis mit gleichem Radius hat den Mittelpunkt , ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Ziehe den nächsten Kreis mit gleichem Radius um .
- Es folgt eine Gerade durch die Punkte und , ist der Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Der sechste Kreis mit gleichem Radius hat den Mittelpunkt , markiere den Schnittpunkt mit dem Kreis um .
- Die abschließende Halbgerade , ab dem Punkt durch , liefert den Winkel mit der gesuchten Winkelweite .
Konstruktion eines 30-Grad-Winkels Bearbeiten
Der erste Gedanke ist vielleicht, die Konstruktionen des 60-Grad-Winkels zu verwenden, um den 30-Grad-Winkel durch einfache Halbierung des 60-Grad-Winkels zu erreichen. Die ersten beiden im Folgenden beschriebenen Vorgehensweisen zeigen aber, es geht auch mit weniger Konstruktionsschritten.
Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bearbeiten
- Bestimme den Punkt beliebig auf der Geraden und ziehe einen Kreis um durch den gegebenen Punkt (siehe Bild 6). Es ergibt sich der Schnittpunkt .
- Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius um und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden als Schnittpunkt .
- Zeichne eine Gerade durch den Punkt und den Schnittpunkt . Somit schneidet die Gerade im Scheitelpunkt die Gerade im Winkel von 30°.
Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden Bearbeiten
- Fälle das Lot vom gegebenen Punkt auf die Gerade folgendermaßen (siehe Bild 7): Mit einem beliebigen Radius um ergeben sich die Hilfspunkte und , zwei kleine Kreisbögen mit dem Radius um bzw. schneiden sich im Gegenpunkt . Die Verbindung mit liefert den Fußpunkt
- Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius um den Gegenpunkt und einen mit gleichem Radius um den Fußpunkt , dabei ergibt sich der Punkt
- Verbinde den Punkt mit , dabei ergibt sich der Punkt und am Scheitel der Winkel 30°.
- Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius