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Kugeldreieck Dieser Artikel behandelt das sphärische Dreieck auf der Kugeloberfläche Der Artikel über das Sphärisches Dr

Kugeldreieck

Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise einander schneiden.

Kugeldreieck

Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Im Bogenmaß ist der Wert dieses Winkels genau die Länge des Kreisbogens geteilt durch den Radius der Kugel:

Zur Definition von Längen auf einer Kugel wählt man also die Skala zunächst so, dass die Kugel eine Einheitskugel ist, und nimmt dann in dieser Skala erst die Länge des Kreisbogens. Eine Seite, die beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge (also 90°). Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Tangenten der Seiten – also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Eulersche Kugeldreiecke Bearbeiten

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d. h. auf Kugeldreiecke, in denen alle Winkel kleiner als bzw. 180° und daraus folgend alle Seiten kleiner als (auf der Einheitskugel: ) sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche, die nicht alle auf einem gemeinsamen Großkreis liegen, mehrere Kugeldreiecke. Anschaulich kann man dies mit der Forderung nach dem kürzesten Bogenstück des Kreises machen, wenn man sich vorstellt, dass zwei Punkte auf einem Kreis genau dann am weitesten voneinander entfernt sind, wenn sie sich (diametral) gegenüberliegen, d. h. also 180° voneinander entfernt sind. Kommt man über die 180° hinaus, ist das Bogenstück zwar in der einen Richtung größer, aber in der anderen Richtung kleiner als 180°, weshalb letzteres wieder als Seite eines eulerschen Dreiecks aufgefasst werden kann.

Eigenschaften Bearbeiten

Flächeninhalt Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln und des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius berechnen:

Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her:

Zur Flächenberechnung am Kugeldreieck

Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Großkreise unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffnungswinkel . Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln bzw. .

Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt:

(Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln und .)

Für die Flächeninhalte des blauen, des grünen und des roten Dreiecks gilt:

Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das grüne und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus:

Setzt man ein, ergibt sich:

Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man:

Für ergibt sich also:

Innenwinkelsumme und sphärischer Exzess Bearbeiten

Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt nach obiger Betrachtung für den Flächeninhalt:

Die Summe wird als sphärischer Exzess (von lat. excedere „überschreiten“) bezeichnet und gibt an, um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert () übersteigt. Im Gegensatz zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck nicht konstant . Für sie gilt (als Konsequenz der Formel für den Flächeninhalt) im allgemeinen Kugeldreieck:

im eulerschen Kugeldreieck:

Bei einem kleinen Kugeldreieck („klein“ im Vergleich zur gesamten Kugeloberfläche) übersteigt die Innenwinkelsumme nur wenig, da sich das Dreieck dem ebenen Fall des Innen-Winkelsummensatzes annähert (Verebnung). Der Satz von Legendre besagt, wie sphärische Dreiecke geringer Größe durch Reduktion der Winkel verebnet werden können. Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (3 Winkel zu fast ), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als und der Exzess daher beinahe .

Seitensumme (auf der Einheitskugel) Bearbeiten

Im allgemeinen sphärischen Dreieck gilt für die Seitensumme:

Im eulerschen Kugeldreieck gilt für die Seitensumme:

Im Allgemeinen ist durch sww ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt.

Kongruenzsätze Bearbeiten

Die Seiten a, b und c bestimmen zwei komplementäre Dreiecke (blau und grün eingefärbt).
Zu den gegebenen Größen a, b und γ gibt es zwei dritte Seiten.

Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsätzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden. Für beide gilt, dass ähnliche Dreiecke bereits kongruent sind (ihr Flächeninhalt ist aufgrund der Proportionalität zum sphärischen Exzess bereits gleich). Der im euklidischen Dreieck gültige Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) hat auf der Kugel hingegen keine Gültigkeit (vgl. Abbildung). Die Kongruenzverhältnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Übersicht zu den Kongruenzsätzen in eulerschen Dreiecken
gegebene Dreiecksstücke dual dazu Kongruenzklasse eindeutig bestimmt?
sss www ja
ssw sww nein
sws wsw ja

(zur Dualisierung vgl. entsprechenden Abschnitt im Artikel Sphärische Geometrie)
In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse (vgl. Abbildungen).

Sinussatz Bearbeiten

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

Dabei sind , und die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und , und die gegenüber liegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

Kosinussatz Bearbeiten

Beim sphärischen Kosinussatz für Kugeldreiecke ist die Länge der Dreiecksseiten im Winkelmaß anzugeben, weshalb statt einer Winkelfunktion deren sechs auftreten. Das Analogon zum ebenen Satz

lautet daher

wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist. Diesem Seiten-Kosinussatz (hier für c, analog für die Seiten a bzw. b) steht der Winkel-Kosinussatz gegenüber:

worin das erste Vorzeichen negativ ist.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Isaac Todhunter: Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools. Macmillan & Co., 1863, Volltext (Google Books)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siehe Definition zum sphärischen Dreieck in Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 4. Springer-Verlag GmbH Deutschland, 2017, ISBN 978-3-662-53499-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt das spharische Dreieck auf der Kugeloberflache Der Artikel uber das Spharisches Dreieck genannte Kunstwerk in Bergheim ist unter Spharisches Dreieck Bergheim zu finden Ein Kugeldreieck oder spharisches Dreieck ist in der spharischen Geometrie Kugelgeometrie ein Teil einer Kugeloberflache der von drei Grosskreisbogen 1 begrenzt wird Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet in denen je zwei dieser Grosskreise einander schneiden KugeldreieckAhnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks Allerdings versteht man unter der Lange einer Seite nicht die Lange des Kreisbogens sondern den zugehorigen Mittelpunktswinkel Zentriwinkel Im Bogenmass ist der Wert dieses Winkels genau die Lange des Kreisbogens geteilt durch den Radius der Kugel Winkel Kreisbogen Radius displaystyle text Winkel frac text Kreisbogen text Radius Zur Definition von Langen auf einer Kugel wahlt man also die Skala zunachst so dass die Kugel eine Einheitskugel ist und nimmt dann in dieser Skala erst die Lange des Kreisbogens Eine Seite die beispielsweise einem Viertel des Kugel und Grosskreisumfangs entspricht hat die Lange p 2 displaystyle tfrac pi 2 also 90 Die Innenwinkel an den drei Ecken sind definiert durch die Tangenten der Seiten also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen in denen die begrenzenden Grosskreisbogen liegen Inhaltsverzeichnis 1 Eulersche Kugeldreiecke 2 Eigenschaften 2 1 Flacheninhalt 2 2 Innenwinkelsumme und spharischer Exzess 2 3 Seitensumme auf der Einheitskugel 2 4 Kongruenzsatze 2 5 Sinussatz 2 6 Kosinussatz 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseEulersche Kugeldreiecke BearbeitenMeist schrankt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke benannt nach Leonhard Euler d h auf Kugeldreiecke in denen alle Winkel kleiner als p displaystyle pi nbsp bzw 180 und daraus folgend alle Seiten kleiner als r p displaystyle r cdot pi nbsp auf der Einheitskugel p displaystyle pi nbsp sind Ohne diese Einschrankung gabe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberflache die nicht alle auf einem gemeinsamen Grosskreis liegen mehrere Kugeldreiecke Anschaulich kann man dies mit der Forderung nach dem kurzesten Bogenstuck des Kreises machen wenn man sich vorstellt dass zwei Punkte auf einem Kreis genau dann am weitesten voneinander entfernt sind wenn sie sich diametral gegenuberliegen d h also 180 voneinander entfernt sind Kommt man uber die 180 hinaus ist das Bogenstuck zwar in der einen Richtung grosser aber in der anderen Richtung kleiner als 180 weshalb letzteres wieder als Seite eines eulerschen Dreiecks aufgefasst werden kann Eigenschaften BearbeitenSiehe auch Spharische Trigonometrie Kugeldreieck Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt A D displaystyle A D nbsp eines Kugeldreiecks lasst sich aus den Winkeln a b displaystyle alpha beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp des Dreiecks im Bogenmass und dem Kugelradius r displaystyle r nbsp berechnen A D a b g p r 2 displaystyle A D alpha beta gamma pi cdot r 2 nbsp Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermassen her nbsp Zur Flachenberechnung am KugeldreieckDie drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Grosskreise unterteilen die Kugeloberflache in acht Dreiecke bzw vier Gegendreieckspaare Das in der Abbildung grun eingefarbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefarbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Offnungswinkel b displaystyle beta nbsp Die blau und rot eingefarbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A B C Zweiecke mit den Offnungswinkeln a displaystyle alpha nbsp bzw g displaystyle gamma nbsp Fur die Flacheninhalte der Zweiecke gilt I A a 2 a r 2 displaystyle I quad A alpha 2 alpha cdot r 2 nbsp Analog fur die Zweiecke mit den Offnungswinkeln b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp Fur die Flacheninhalte A b displaystyle A b nbsp des blauen A g displaystyle A g nbsp des grunen und A r displaystyle A r nbsp des roten Dreiecks gilt A b A a A D displaystyle A b A alpha A D nbsp A g A b A D displaystyle A g A beta A D nbsp A r A g A D displaystyle A r A gamma A D nbsp Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A B C fullen das blaue das grune und das rote Dreieck die Halfte der Kugeloberflache aus A K 2 A b A g A r A D displaystyle frac A K 2 A b A g A r A D nbsp Setzt man I displaystyle I nbsp ein ergibt sich A K 2 A a A D A b A D A g A D A D displaystyle frac A K 2 A alpha A D A beta A D A gamma A D A D nbsp A a A b A g 2 A D displaystyle A alpha A beta A gamma 2A D nbsp Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberflache und der Kugelzweiecke erhalt man 4 p r 2 2 2 a r 2 2 b r 2 2 g r 2 2 A D displaystyle frac 4 pi r 2 2 2 alpha r 2 2 beta r 2 2 gamma r 2 2A D nbsp Fur A D displaystyle A D nbsp ergibt sich also A D a r 2 b r 2 g r 2 p r 2 displaystyle A D alpha r 2 beta r 2 gamma r 2 pi r 2 nbsp a b g p r 2 displaystyle alpha beta gamma pi cdot r 2 nbsp Innenwinkelsumme und spharischer Exzess Bearbeiten Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt nach obiger Betrachtung fur den Flacheninhalt A D a b g p displaystyle A D alpha beta gamma pi nbsp Die Summe a b g p displaystyle alpha beta gamma pi nbsp wird als spharischer Exzess von lat excedere uberschreiten bezeichnet und gibt an um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert p displaystyle pi nbsp 180 displaystyle 180 circ nbsp ubersteigt Im Gegensatz zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck nicht konstant p displaystyle pi nbsp Fur sie gilt als Konsequenz der Formel fur den Flacheninhalt im allgemeinen Kugeldreieck p lt a b g lt 5 p displaystyle pi lt alpha beta gamma lt 5 pi nbsp im eulerschen Kugeldreieck p lt a b g lt 3 p displaystyle pi lt alpha beta gamma lt 3 pi nbsp Bei einem kleinen Kugeldreieck klein im Vergleich zur gesamten Kugeloberflache ubersteigt die Innenwinkelsumme p displaystyle pi nbsp nur wenig da sich das Dreieck dem ebenen Fall des Innen Winkelsummensatzes annahert Verebnung Der Satz von Legendre besagt wie spharische Dreiecke geringer Grosse durch Reduktion der Winkel verebnet werden konnen Uberdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberflache 3 Winkel zu fast p displaystyle pi nbsp so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 3 p displaystyle 3 pi nbsp und der Exzess daher beinahe 2 p displaystyle 2 pi nbsp Seitensumme auf der Einheitskugel Bearbeiten Im allgemeinen spharischen Dreieck gilt fur die Seitensumme 0 lt a b c lt 6 p displaystyle 0 lt a b c lt 6 pi nbsp Im eulerschen Kugeldreieck gilt fur die Seitensumme 0 lt a b c lt 2 p displaystyle 0 lt a b c lt 2 pi nbsp nbsp Im Allgemeinen ist durch sww ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt Kongruenzsatze Bearbeiten nbsp Die Seiten a b und c bestimmen zwei komplementare Dreiecke blau und grun eingefarbt nbsp Zu den gegebenen Grossen a b und g gibt es zwei dritte Seiten Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsatzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden Fur beide gilt dass ahnliche Dreiecke bereits kongruent sind ihr Flacheninhalt ist aufgrund der Proportionalitat zum spharischen Exzess bereits gleich Der im euklidischen Dreieck gultige Kongruenzsatz sww Seite Winkel Winkel hat auf der Kugel hingegen keine Gultigkeit vgl Abbildung Die Kongruenzverhaltnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen Ubersicht zu den Kongruenzsatzen in eulerschen Dreiecken gegebene Dreiecksstucke dual dazu Kongruenzklasse eindeutig bestimmt sss www jassw sww neinsws wsw ja zur Dualisierung vgl entsprechenden Abschnitt im Artikel Spharische Geometrie In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse vgl Abbildungen Sinussatz Bearbeiten Siehe auch Sinussatz fur Kugeldreiecke Fur Kugeldreiecke gelten die Gleichungen sin a sin a sin b sin b sin c sin g displaystyle frac sin a sin alpha frac sin b sin beta frac sin c sin gamma nbsp Dabei sind a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp die Seiten Kreisbogen des Kugeldreiecks und a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp die gegenuber liegenden Winkel auf der Kugeloberflache Kosinussatz Bearbeiten Beim spharischen Kosinussatz fur Kugeldreiecke ist die Lange der Dreiecksseiten im Winkelmass anzugeben weshalb statt einer Winkelfunktion deren sechs auftreten Das Analogon zum ebenen Satz c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2 cdot a cdot b cdot cos gamma nbsp lautet daher cos c cos a cos b sin a sin b cos g displaystyle cos c cos a cdot cos b sin a cdot sin b cdot cos gamma nbsp wobei die Umkehr des Vorzeichens zu beachten ist Diesem Seiten Kosinussatz hier fur c analog fur die Seiten a bzw b steht der Winkel Kosinussatz gegenuber cos g cos a cos b sin a sin b cos c displaystyle cos gamma cos alpha cdot cos beta sin alpha cdot sin beta cdot cos c nbsp worin das erste Vorzeichen negativ ist Siehe auch BearbeitenKugelzweieck Polardreieck Spharische Trigonometrie Spharische Astronomie StandarddreieckLiteratur BearbeitenIsaac Todhunter Spherical Trigonometry For the Use of Colleges and Schools Macmillan amp Co 1863 Volltext Google Books Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Spherical Triangle In MathWorld englisch Flache eines spharischen Dreiecks auf PlanetMath englisch Einzelnachweise Bearbeiten Siehe Definition zum spharischen Dreieck in Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik Band 4 Springer Verlag GmbH Deutschland 2017 ISBN 978 3 662 53499 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugeldreieck amp oldid 238505189