Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der ebenen Geometrie eine Aussage anhand derer sich einfach die Kongruenz von Dreiecken nachweisen lasst Dreiecke sind kongruent deckungsgleich wenn sie in Form und Flacheninhalt gleich sind Die Dreieckskongruenz also die Kongruenz von Dreiecken bildet eine Aquivalenzrelation 1 das heisst kongruente Dreiecke konnen als gleich angesehen werden Inhaltsverzeichnis 1 Kongruenzsatze 2 Beweise 3 Bemerkungen 4 Kongruenzbeweise 5 Literatur 6 EinzelnachweiseKongruenzsatze BearbeitenIn den ublichen Bezeichnungen der vier Kongruenzsatze steht jeweils S fur die Ubereinstimmung einer Seitenlange und W fur die Ubereinstimmung eines Winkels SSS Satz erster Kongruenzsatz Zwei Dreiecke die in ihren drei Seitenlangen ubereinstimmen sind kongruent SWS Satz zweiter Kongruenzsatz Zwei Dreiecke die in zwei Seitenlangen und in dem eingeschlossenen Winkel ubereinstimmen sind kongruent WSW Satz dritter Kongruenzsatz Zwei Dreiecke die in einer Seitenlange und in den dieser Seite anliegenden Winkeln ubereinstimmen sind kongruent Dies schliesst uber den Satz von der Summe der Innenwinkel im Dreieck auch den folgenden Satz mit ein SWW Satz Zwei Dreiecke die in einer Seitenlange einem dieser Seite anliegenden Winkel und dem dieser Seite gegenuberliegenden Winkel ubereinstimmen sind kongruent Bemerkung Nicht zwingend kongruent sind jedoch zwei Dreiecke die in zwei Winkeln und in einer Seitenlange ubereinstimmen wenn nicht bekannt ist welche der gegebenen Winkel an der gegebenen Seite anliegen Aus Angaben zu einer Seite und zwei Winkeln konnen somit drei im Allgemeinen nicht kongruente Dreiecke konstruiert werden je nachdem ob der erste zweite oder beide Winkel der Seite anliegen SSW Satz vierter Kongruenzsatz Zwei Dreiecke die in zwei Seitenlangen und in jenem Winkel ubereinstimmen der der langeren Seite gegenuberliegt sind kongruent Hierbei wird die Einschrankung gegenuber einem nicht allgemein existierenden SSW Satz durch eine entsprechende Schreibweise oder Kennzeichnung etwa SsW Ssw oder SSWg siehe die Abbildung unten zum Ausdruck gebracht Stimmen zwei Dreiecke in zwei und damit zugleich allen drei Innenwinkeln uberein so sind sie dennoch nicht notwendigerweise kongruent Sie sind jedoch ahnlich Die nachfolgende Abbildung zeigt fur jeden der vier Kongruenzsatze die Grossen in denen zwei Dreiecke ubereinstimmen mussen Von links nach rechts SSS WSW SWS SSW nbsp Beweise BearbeitenKlassisch beweist man die Kongruenzsatze indem man Konstruktionen mit Zirkel und Lineal angibt die aus den entsprechenden gegebenen Grossen eines Dreiecks ein zweites konstruieren Geht dies nur auf genau eine Weise so sind die beiden Dreiecke kongruent Mit Bezeichnungen wie in obiger Abbildung geht dies wie folgt SSS Gegeben a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp Trage eine Strecke B C displaystyle BC nbsp der Lange a displaystyle a nbsp ab der Kreis um C displaystyle C nbsp mit Radius b displaystyle b nbsp und der um B displaystyle B nbsp mit Radius c displaystyle c nbsp schneiden sich in zwei Punkten A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp wodurch sich zwei spiegelsymmetrische also kongruente Dreiecke A 1 B C displaystyle A 1 BC nbsp und A 2 B C displaystyle A 2 BC nbsp ergeben Legt man sich auf eine Orientierung fest ist das Dreieck sogar eindeutig Dies gilt entsprechend auch fur die folgenden Konstruktionen WSW Gegeben a displaystyle a nbsp b displaystyle beta nbsp und g displaystyle gamma nbsp Trage eine Strecke B C displaystyle BC nbsp der Lange a displaystyle a nbsp ab die Halbgerade der Strahl die bei B displaystyle B nbsp mit B C displaystyle BC nbsp den Winkel b displaystyle beta nbsp einschliesst und die die bei C displaystyle C nbsp mit B C displaystyle BC nbsp den Winkel g displaystyle gamma nbsp einschliesst schneiden sich in einem Punkt A displaystyle A nbsp SWS Gegeben a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und g displaystyle gamma nbsp Auf zwei Halbgeraden Strahlen die mit C displaystyle C nbsp als Scheitel den Winkel g displaystyle gamma nbsp einschliessen trage die Lange b displaystyle b nbsp bzw a displaystyle a nbsp ab um A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zu finden nbsp SSW KongruenzsatzSSW Gegeben b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp und g displaystyle gamma nbsp wobei c gt b displaystyle c gt b nbsp Konstruiere zwei Halbgeraden die mit C displaystyle C nbsp als Scheitel den Winkel g displaystyle gamma nbsp einschliessen trage auf einem Schenkel die kurzere Strecke b displaystyle b nbsp ab um A displaystyle A nbsp zu finden der Kreis um A displaystyle A nbsp mit Radius c displaystyle c nbsp schneidet den anderen Schenkel in einem Punkt B displaystyle B nbsp Das nebenstehende Bild zeigt dass der Winkel beim SSW Satz der langeren Seite gegenuberliegen muss Andernfalls hatte man Dreiecke die zwar in drei Teilen SSW ubereinstimmen aber nicht kongruent sind Die beiden Dreiecke A 1 B C displaystyle A 1 BC nbsp und A 2 B C displaystyle A 2 BC nbsp stimmen in den Seitenlangen a displaystyle a nbsp und c displaystyle c nbsp sowie im Winkel g A C B displaystyle gamma angle ACB nbsp uberein Die Seitenlangen b 1 displaystyle b 1 nbsp und b 2 displaystyle b 2 nbsp unterscheiden sich aber Bemerkungen BearbeitenIn Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie hat SWS den Rang eines Axioms die anderen werden aus diesem und den ubrigen Axiomen bewiesen Das erkannte Hilbert als notig weil im uberlieferten Aufbau Euklids Beweisideen verwendet wurden die nicht aus seinen Axiomen und Postulaten rein logisch abzuleiten waren sondern sich auf die anschaulich einleuchtende freie Beweglichkeit der Dreiecke beriefen Es ist unter Umstanden auch moglich ein Dreieck aus anderen drei Bestimmungsstucken zu konstruieren unter denen beispielsweise Inkreisradius Umkreisradius Flache oder Hohen auftreten Die zugehorigen Kongruenzaussagen werden jedoch nicht zu den klassischen Kongruenzsatzen gezahlt In der spharischen Geometrie weicht die Sachlage teilweise ab So sind dort zwei spharische Dreiecke bereits kongruent und nicht nur ahnlich wenn sie in den drei Innenwinkeln ubereinstimmen Die Angabe des dritten Winkels ist auch nicht mehr redundant Spharischer Exzess Kongruenzbeweise BearbeitenDie vier Kongruenzsatze bilden die Grundlage eines Beweisverfahrens das in der Elementargeometrie haufig verwendet wird In einem Kongruenzbeweis begrundet man die Gleichheit zweier Streckenlangen oder zweier Winkelgrossen dadurch dass man zunachst die Kongruenz zweier geeigneter Dreiecke zeigt und anschliessend die Gleichheit entsprechender Seitenlangen bzw Winkel folgert Literatur BearbeitenHans Schupp Elementargeometrie UTB Stuttgart 1977 ISBN 3 506 99189 2 S 76 Einzelnachweise Bearbeiten Hartmut Wellstein Elementargeometrie Vieweg Teubner Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0856 1 S 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kongruenzsatz amp oldid 236461959
