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Ähnlichkeit Geometrie In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich wenn sie durch eine Ähnlichkeitsa

Ähnlichkeit (Geometrie)

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können. Das heißt, es gibt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen (also Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.

Ähnliche Figuren

In der Tabelle sind die ersten drei Kongruenz-Abbildungen. Man beachte, dass eine Spiegelung Orientierungen umkehrt. Nur zentrische Streckungen ändern Längen.

Verschieb.
Drehung
Spiegelung
Streckung

Eigenschaften Bearbeiten

Alle gleichfarbigen Figuren in dieser Abbildung sind zueinander ähnlich. Beachte: Zwei der Dreiecke haben keine Ähnlichkeit zu den anderen Figuren.

Winkel und Streckenverhältnisse stimmen in ähnlichen Figuren überein; somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmäßigen Vielecke gleicher Eckenzahl, wie gleichseitige Dreiecke oder Quadrate, zueinander ähnlich.

Es gilt, dass kongruente Figuren stets ähnlich sind. Das Umgekehrte ist hingegen falsch: Ähnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent, da sie verschieden groß sein können.

Als mathematisches Zeichen für geometrische Ähnlichkeit wird (die Tilde) verwendet, z.B: bedeutet, dass die Dreiecke und ähnlich sind. Will man dagegen Kongruenz ausdrücken, so kann stattdessen oder (eine „Mischung“ mit dem Gleichheitszeichen) verwendet werden.

Ähnlichkeit bei Dreiecken Bearbeiten

Dreiecke spielen hier eine zentrale Rolle, da sich sehr viele Figuren auf solche zurückführen lassen. Es gilt:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn

  • sie in zwei (und somit in allen drei) Winkeln übereinstimmen; oder
  • sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen; oder
  • sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen; oder
  • sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

Diese Sätze werden Ähnlichkeitssätze genannt.

Ähnlichkeit bei den Strahlensätzen

Strahlensätze Bearbeiten

Die Strahlensätze machen über die Verhältnisse der Dreiecksseiten bestimmter ähnlicher Dreiecke wichtige Aussagen.

Ähnliche Kegelschnitte Bearbeiten

  • Zwei nicht ausgeartete Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) sind ähnlich, wenn sie dieselbe Exzentrizität besitzen.

Die Ähnlichkeit aller Parabeln (ihre Exzentrizität ist 1) wird in dem Artikel Parabeln gezeigt.

Eine Ellipse/Hyperbel mit Halbachsen besitzt die Exzentrizität Eine Streckung um den Faktor am Mittelpunkt ändert die Exzentrizität nicht.

Selbstähnlichkeit logarithmischer Spiralen Bearbeiten

Beispiele für und

Die logarithmische Spirale kann man einerseits als Bild der Spirale unter der Streckung am Nullpunkt mit dem Faktor , aber auch als Bild von unter der Rotation um den Winkel auffassen.

Eine Kurve, deren Bilder unter zentrischen Streckungen zu ihr selbst kongruent sind, nennt man selbstähnlich. Also:

  • Die Spirale ist selbstähnlich.

Im Bild: Die Spiralen für können auch durch Drehung der roten Spirale um erhalten werden.

Zusammengesetzte ähnliche Figuren (Reptiles) Bearbeiten

Definitionen Bearbeiten

Ähnliche Figuren, die sich lückenlos zu einer größeren Figur, die zu den kleineren Figuren ähnlich ist, zusammensetzen lassen, werden im Englischen als Reptiles (Abkürzung für replicating tiles) bezeichnet.

Ist die Anzahl der ähnlichen Teilfiguren, so wird die zusammengesetzte Figur rep--Figur genannt.

Beispiele Bearbeiten

Im Folgenden sei .

  • Jedes Dreieck ist eine rep--Figur (Figuren 1 und 2).
  • Jedes gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ist zusätzlich eine rep--Figur (Figur 3).
  • Jedes Dreieck mit den Innenwinkeln 30°, 60° und 90° ist zusätzlich eine rep--Figur (Figur 4).
  • Jedes rechtwinklige Dreieck, bei dem eine Kathete die doppelte Länge der anderen hat, ist zusätzlich eine rep--Figur (Figur 5).
  • Unter den gleichschenkligen Trapezen gibt es rep--Figuren und rep--Figuren (Figuren 6 und 7).
  • Es gibt besondere konkave Fünfecke, die an die Form der Sphinx erinnern und deshalb in der englischsprachigen Wikipedia unter Sphinx tiling zu finden sind. Unter diesen Fünfecken gibt es ebenfalls rep--Figuren und rep--Figuren (Figuren 8 und 9).
  • Unter den verschiedenen Arten von Polyominos gibt es rep--Figuren und rep--Figuren (Figuren 10, 11 und 12).

Ähnlichkeit in der fraktalen Geometrie Bearbeiten

Ausschnitt aus der Mandelbrot-Menge

Skaleninvariante Ähnlichkeit in gebrochenen, „fraktalen“ Dimensionen ist Gegenstand der fraktalen Geometrie.

Die Ähnlichkeit ist dabei das Ergebnis der Rekursion nichtlinearer Algorithmen. Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge, deren Grenzlinie an jeder Stelle Ähnlichkeit mit den angrenzenden Abschnitten in allen Größenordnungen aufweist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 51 bis 54
  2. George E. Martin: Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling, AMS/MAA, Washington 1991
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Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ahnlich wenn sie durch eine Ahnlichkeitsabbildung auch diese Abbildung wird haufig als Ahnlichkeit bezeichnet ineinander uberfuhrt werden konnen Das heisst es gibt eine geometrische Abbildung die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen also Verschiebungen Drehungen Spiegelungen zusammensetzen lasst und die eine Figur auf die andere abbildet Ahnlichkeit erweitert somit die Kongruenz Deckungsgleichheit von Figuren um die Moglichkeit der Streckung Ahnliche FigurenIn der Tabelle sind die ersten drei Kongruenz Abbildungen Man beachte dass eine Spiegelung Orientierungen umkehrt Nur zentrische Streckungen andern Langen Verschieb Drehung Spiegelung StreckungInhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 1 1 Ahnlichkeit bei Dreiecken 1 2 Strahlensatze 1 3 Ahnliche Kegelschnitte 1 4 Selbstahnlichkeit logarithmischer Spiralen 2 Zusammengesetzte ahnliche Figuren Reptiles 2 1 Definitionen 2 2 Beispiele 3 Ahnlichkeit in der fraktalen Geometrie 4 EinzelnachweiseEigenschaften Bearbeiten nbsp Alle gleichfarbigen Figuren in dieser Abbildung sind zueinander ahnlich Beachte Zwei der Dreiecke haben keine Ahnlichkeit zu den anderen Figuren Winkel und Streckenverhaltnisse stimmen in ahnlichen Figuren uberein somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmassigen Vielecke gleicher Eckenzahl wie gleichseitige Dreiecke oder Quadrate zueinander ahnlich Es gilt dass kongruente Figuren stets ahnlich sind Das Umgekehrte ist hingegen falsch Ahnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent da sie verschieden gross sein konnen Als mathematisches Zeichen fur geometrische Ahnlichkeit wird displaystyle sim nbsp die Tilde verwendet z B D A B C D A B C displaystyle Delta ABC sim Delta A B C nbsp bedeutet dass die Dreiecke D A B C displaystyle Delta ABC nbsp und D A B C displaystyle Delta A B C nbsp ahnlich sind Will man dagegen Kongruenz ausdrucken so kann stattdessen displaystyle simeq nbsp oder displaystyle cong nbsp eine Mischung mit dem Gleichheitszeichen verwendet werden Ahnlichkeit bei Dreiecken Bearbeiten Dreiecke spielen hier eine zentrale Rolle da sich sehr viele Figuren auf solche zuruckfuhren lassen Es gilt Zwei Dreiecke sind zueinander ahnlich wenn sie in zwei und somit in allen drei Winkeln ubereinstimmen oder sie in allen Verhaltnissen entsprechender Seiten ubereinstimmen oder sie in einem Winkel und im Verhaltnis der anliegenden Seiten ubereinstimmen oder sie im Verhaltnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der grosseren Seite ubereinstimmen Diese Satze werden Ahnlichkeitssatze genannt nbsp Ahnlichkeit bei den StrahlensatzenStrahlensatze Bearbeiten Die Strahlensatze machen uber die Verhaltnisse der Dreiecksseiten bestimmter ahnlicher Dreiecke wichtige Aussagen Ahnliche Kegelschnitte Bearbeiten Zwei nicht ausgeartete Kegelschnitte Ellipse Hyperbel Parabel sind ahnlich wenn sie dieselbe Exzentrizitat besitzen Die Ahnlichkeit aller Parabeln ihre Exzentrizitat ist 1 wird in dem Artikel Parabeln gezeigt Eine Ellipse Hyperbel mit Halbachsen a b displaystyle a b nbsp besitzt die Exzentrizitat e a 2 b 2 a displaystyle varepsilon frac sqrt a 2 mp b 2 a nbsp Eine Streckung um den Faktor c displaystyle c nbsp am Mittelpunkt andert die Exzentrizitat nicht Selbstahnlichkeit logarithmischer Spiralen Bearbeiten nbsp Beispiele fur a 1 2 3 4 5 displaystyle a 1 2 3 4 5 nbsp und k tan 20 displaystyle k tan 20 circ nbsp Die logarithmische Spirale r a e k f displaystyle r ae k varphi nbsp kann man einerseits als Bild der Spirale r e k f displaystyle r e k varphi nbsp unter der Streckung am Nullpunkt mit dem Faktor a 0 displaystyle a neq 0 nbsp aber auch als Bild von r e k f displaystyle r e k varphi nbsp unter der Rotation um den Winkel f 0 ln a k displaystyle varphi 0 tfrac ln a k nbsp auffassen Eine Kurve deren Bilder unter zentrischen Streckungen zu ihr selbst kongruent sind nennt man selbstahnlich Also Die Spirale r e k f displaystyle r e k varphi nbsp ist selbstahnlich Im Bild Die Spiralen fur a 2 3 4 5 displaystyle a 2 3 4 5 nbsp konnen auch durch Drehung der roten Spirale um 109 173 218 253 displaystyle 109 circ 173 circ 218 circ 253 circ nbsp erhalten werden Zusammengesetzte ahnliche Figuren Reptiles BearbeitenDefinitionen Bearbeiten Ahnliche Figuren die sich luckenlos zu einer grosseren Figur die zu den kleineren Figuren ahnlich ist zusammensetzen lassen werden im Englischen als Reptiles Abkurzung fur replicating tiles bezeichnet Ist n displaystyle n nbsp die Anzahl der ahnlichen Teilfiguren so wird die zusammengesetzte Figur rep n displaystyle n nbsp Figur genannt Beispiele Bearbeiten Im Folgenden sei k N displaystyle k in mathbb N nbsp Jedes Dreieck ist eine rep k 2 displaystyle k 2 nbsp Figur Figuren 1 und 2 Jedes gleichschenklig rechtwinklige Dreieck ist zusatzlich eine rep 2 k displaystyle 2 k nbsp Figur Figur 3 Jedes Dreieck mit den Innenwinkeln 30 60 und 90 ist zusatzlich eine rep 3 k displaystyle 3 k nbsp Figur Figur 4 Jedes rechtwinklige Dreieck bei dem eine Kathete die doppelte Lange der anderen hat ist zusatzlich eine rep 5 k displaystyle 5 k nbsp Figur Figur 5 Unter den gleichschenkligen Trapezen gibt es rep 4 k displaystyle 4 k nbsp Figuren und rep 9 k displaystyle 9 k nbsp Figuren Figuren 6 und 7 Es gibt besondere konkave Funfecke die an die Form der Sphinx erinnern und deshalb in der englischsprachigen Wikipedia unter Sphinx tiling zu finden sind Unter diesen Funfecken gibt es ebenfalls rep 4 k displaystyle 4 k nbsp Figuren und rep 9 k displaystyle 9 k nbsp Figuren Figuren 8 und 9 Unter den verschiedenen Arten von Polyominos gibt es rep 4 k displaystyle 4 k nbsp Figuren und rep 16 k displaystyle 16 k nbsp Figuren Figuren 10 11 und 12 1 2 nbsp Figur 1 nbsp Figur 2 nbsp Figur 3 nbsp Figur 4 nbsp Figur 5 nbsp Figur 6 nbsp Figur 7 nbsp Figur 8 nbsp Figur 9 nbsp Figur 10 nbsp Figur 11 nbsp Figur 12Ahnlichkeit in der fraktalen Geometrie Bearbeiten nbsp Ausschnitt aus der Mandelbrot MengeSkaleninvariante Ahnlichkeit in gebrochenen fraktalen Dimensionen ist Gegenstand der fraktalen Geometrie Die Ahnlichkeit ist dabei das Ergebnis der Rekursion nichtlinearer Algorithmen Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot Menge deren Grenzlinie an jeder Stelle Ahnlichkeit mit den angrenzenden Abschnitten in allen Grossenordnungen aufweist Einzelnachweise Bearbeiten Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin Heidelberg 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 51 bis 54 George E Martin Polyominoes A Guide to Puzzles and Problems in Tiling AMS MAA Washington 1991 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ahnlichkeit Geometrie amp oldid 235585065