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Ähnlichkeitssätze Die sind Sätze die hinreichende Bedingungen stellen dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind Viele A

Ähnlichkeitssätze

Die Ähnlichkeitssätze sind Sätze, die hinreichende Bedingungen stellen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Bearbeiten

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

Siehe auch: Kongruenzsätze

In den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’ – anschaulich gesprochen – „ineinander geschachtelt“.

Dann ist jedes Seitenlängenpaar in ABC quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlängenpaar in A’B’C’.

Beispiele Bearbeiten

Ähnliche Dreiecke (grün) im Pythagorasbaum

Beziehungen zwischen ähnlichen Dreiecken Bearbeiten

Planfigur

Gegeben seien ein Punkt innerhalb eines Dreiecks mit , und sowie die Parallelen durch zu den Dreiecksseiten. Diese Parallelen teilen jede Dreiecksseite in drei Abschnitte auf (siehe Planfigur).

Sind , und die Längen der jeweils mittleren Streckenabschnitte, so gilt:

Der Beweis resultiert aus der Ähnlichkeit der drei grauen Dreiecke zum Dreieck . Hieraus ergibt sich zunächst

und danach durch Umformung

Daraus folgt schließlich

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 56
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Veröffentlichungsdatum:
Die Ahnlichkeitssatze sind Satze die hinreichende Bedingungen stellen dass zwei Dreiecke zueinander ahnlich sind Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ahnlichkeit von Dreiecken beweisen Inhaltsverzeichnis 1 Die vier Ahnlichkeitssatze fur Dreiecke 2 Beispiele 3 Beziehungen zwischen ahnlichen Dreiecken 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDie vier Ahnlichkeitssatze fur Dreiecke BearbeitenDie vier Ahnlichkeitssatze fur Dreiecke lauten Zwei Dreiecke sind zueinander ahnlich wenn sie in zwei und somit in drei Winkeln ubereinstimmen W W W Satz Zwei Dreiecke sind zueinander ahnlich wenn sie in allen Verhaltnissen entsprechender Seiten ubereinstimmen S S S Satz Zwei Dreiecke sind zueinander ahnlich wenn sie in einem Winkel und im Verhaltnis der anliegenden Seiten ubereinstimmen S W S Satz Zwei Dreiecke sind zueinander ahnlich wenn sie im Verhaltnis zweier Seiten und in dem der grosseren Seite gegenuberliegenden Winkel ubereinstimmen S S W Satz Siehe auch KongruenzsatzeIn den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ahnliche Dreiecke ABC und A B C anschaulich gesprochen ineinander geschachtelt Dann ist jedes Seitenlangenpaar in ABC quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlangenpaar in A B C nbsp W W W Satzdrei Winkel stimmen uberein nbsp S S S Satza a b b b c c c nbsp S W S Satza a b b b die eingeschlossenen Winkel g g stimmen uberein nbsp S S W Satza a b b b die den grosseren Seiten gegenuberliegenden Winkel b b stimmen ubereinBeispiele Bearbeiten nbsp Ahnliche Dreiecke grun im PythagorasbaumAlle gleichseitigen Dreiecke sind nach dem S S S Satz zueinander ahnlich Alle gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecke sind nach dem S W S Satz zueinander ahnlich Alle Dreiecke im Pythagoras Baum sind zueinander ahnlich Beziehungen zwischen ahnlichen Dreiecken Bearbeiten nbsp PlanfigurGegeben seien ein Punkt P displaystyle P nbsp innerhalb eines Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp mit a B C displaystyle a BC nbsp b A C displaystyle b AC nbsp und c A B displaystyle c AB nbsp sowie die Parallelen durch P displaystyle P nbsp zu den Dreiecksseiten Diese Parallelen teilen jede Dreiecksseite in drei Abschnitte auf siehe Planfigur Sind a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp die Langen der jeweils mittleren Streckenabschnitte so gilt a a b b c c 1 displaystyle frac a a frac b b frac c c 1 nbsp Der Beweis resultiert aus der Ahnlichkeit der drei grauen Dreiecke zum Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp Hieraus ergibt sich zunachst b s b c displaystyle frac b s frac b c nbsp und a t a c displaystyle frac a t frac a c nbsp und danach durch Umformung b b s c displaystyle frac b b frac s c nbsp und a a t c displaystyle frac a a frac t c nbsp Daraus folgt schliesslich a a b b c c t c s c c c 1 displaystyle frac a a frac b b frac c c frac t c frac s c frac c c 1 nbsp 1 Literatur BearbeitenHans Schupp Elementargeometrie UTB Stuttgart 1977 ISBN 3 506 99189 2 S 144 Elke Warmuth Strahlensatze und Ahnliches Vorlesung Sommersemester 2018 an der Humboldt Universitat zu Berlin Steckbrief PDF Dokument abgerufen am 9 Dezember 2022 Joseph D E Konhauser Dan Velleman Stan Wagon Which Way Did the Bicycle Go Mathematical Association of America Washington 1996 Einzelnachweise Bearbeiten Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seite 56 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ahnlichkeitssatze amp oldid 230720882