www.wikidata.de-de.nina.az

Pythagoras Baum Ein ist eine besondere Art eines Fraktals Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines s basiert auf

Pythagoras-Baum

Ein Pythagoras-Baum ist eine besondere Art eines Fraktals. Das ursprüngliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras-Baums basiert auf dem Satz des Pythagoras, in dem auf ein Quadrat zwei weitere, kleinere Quadrate im rechten Winkel angeordnet werden. Durch rekursives Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift wird ein Fraktal erzeugt, das im Grenzfall der Form eines Baumes ähnelt. Durch den rechten Winkel des eingeschlossenen Dreiecks bleibt die Gesamtfläche jeder Ebene gleich, daher ist die Fläche des Grundelementes (Stammes) genau so groß wie die Summe der Fläche aller äußeren Elemente (Blätter).

Pythagoras-Baum
Symmetrischer Pythagoras-Baum

Konstruktion Bearbeiten


Bild 1
Bild 2

Bild 3
Bild 4

Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat konstruiert. Auf diesem Grundelement (Stamm) wird auf der Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet und dieser beliebig geteilt. Der entstehende Punkt wird mit dem Grundelement verbunden (Bild 1), so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Aus den beiden entstandenen Schenkeln des Dreiecks wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert (Bild 2), ein Thaleskreis aufgezeichnet, dieser geteilt, ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Bild 3) und so wieder zu einem Quadrat erweitert (Bild 4). Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt.

Symmetrischer Pythagoras-Baum Bearbeiten

Berechnungen Bearbeiten

Im Folgenden sei die Seitenlänge des ersten Quadrats (dem „Stamm“) gleich . Wenn die Innenwinkel des ersten rechtwinkligen Dreiecks gleich 45°, 45° und 90°, die Seitenlängen also gleich , und sind, ist der Pythagoras-Baum symmetrisch. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Hypotenuse des ersten rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks.

Höhe Bearbeiten

Grundkonstruktion eines Astes

Höhe des ersten Astes beträgt (siehe Abbildung). Um die maximale Höhe zu ermitteln, genügt es Äste der abgebildeten Form aufeinander zu stellen. Jeder Ast hat die halbe Grundseite des vorigen Astes. Damit ist die Höhe des zweiten Astes , die des dritten usw. Die Gesamthöhe beträgt damit:

Also ergibt sich mithilfe der geometrischen Reihe:

Breite Bearbeiten

Der linke Ast entspricht einem querliegenden Baum mit der Grundseite . Ebenso der rechte Ast. In der Mitte bleibt ein Stamm mit der Breite und den beiden Hauptästen mit jeweils der Breite . Die Breite beträgt also

Stammlänge Bearbeiten

Seitenlänge und Länge der Baumkrone

Zur Berechnung der Stammlänge (siehe rote Linien in der Abbildung) müssen die Seitenlängen der Quadrate addiert werden:

  1. Quadrat:
  2. Quadrat:
  3. Quadrat:
  4. Quadrat:

usw.

Es kommt immer der Faktor hinzu. Wenn man die Nummerierung bei 0 beginnt, ist die Seitenlänge des -ten Quadrats gleich . Die Gesamtlänge der roten Linien beträgt also:

Länge der Baumkrone Bearbeiten

Rechts-links-Ast eines Pythagoras-Baumes

Zur Berechnung der Länge der Baumkrone (siehe blaue Linien in der Abbildung) zuerst folgende Überlegungen: In die Ecken des Baumes kommt man, indem man die Äste abwechselnd links und rechts entlanggeht. Um die Länge der oberen horizontalen Linie zu berechnen, wird zuerst die Abweichung von der Stammmittellinie, die durch das Wachstum eines Rechts-links-Astes entsteht, berechnet.

Grundseite Abstand von der
Mittellinie
Erste Rechts-links-Kombination
(Quadrat, Dreieck, Quadrat, Dreieck – in der Abbildung gestrichelt)
Zweite Rechts-links-Kombination
(in der Abbildung gepunktet)
Dritte Rechts-links-Kombination
i-te Rechts-links-Kombination

Der maximale Abstand der letzten Spitze von der ersten Mittellinie ist dann die Summe der einzelnen Abstände:

Ein Links-rechts-Ast hat also den maximalen Abstand von der ersten Mittellinie. Das Gleiche gilt für den gespiegelten Rechts-links-Ast. Die beiden oberen Ecken haben also den maximalen Abstand von . Dies ist die Länge der oberen horizontalen blauen Linie.

Die Längen der anderen blauen Linien kann man leicht berechnen. Die zweite blaue Linie entspricht der oberen horizontalen Line des Hauptbaumes usw.

Grundseite Baum Länge
Erste blaue Linie
Zweite blaue Linie
Dritte blaue Linie
i-te blaue Linie

Jede blaue Linie ist dreimal so lang wie die zugehörige rote Linie. Damit ist auch die Gesamtlänge der blauen Linie das Dreifache der roten Linie:

Umfang Bearbeiten

Wenn man den Baum einmal umrunden möchte, muss man zweimal die blaue und zweimal die rote Linie und die Linie, auf der der Baum steht, entlanggehen. Die obere blaue Linie ist hierbei doppelt, diese muss man also einmal abziehen:

Abstand zum Rasen Bearbeiten

Abstand der Blätter zum Rasen

Damit man mit dem Rasenmäher bis zum Stamm fahren kann, muss man wissen, wie hoch die lichte Höhe unter dem Blattwerk des Baumes ist. Wie groß ist der Abstand der ersten Blätter zum Rasen?

Bei einer Grundseite von ist die Gesamtbreite . Eine Seite des Baumes steht also über den Stamm hinaus (siehe grüne Linie in der Abbildung). Zur Berechnung der gesuchten lichten Höhe betrachtet man den dritten Ast, den ersten horizontal wachsenden Ast (das dritte Quadrat). Die Grundseite dieses Teilbaumes beträgt: . Die Breite dieses Teilastes ist also . Auch bei diesem Ast steht die Krone um den Faktor über, also: . Dieser dritte Teilast hat einen Abstand vom Rasen von . Die lichte Höhe ist dann die Differenz:

Allgemeiner Pythagoras-Baum Bearbeiten

Allgemeiner Pythagoras-Baum

Beim allgemeinen Pythagoras-Baum werden jeweils beliebige, aber kongruente rechtwinklige Dreiecke auf die Quadrate gesetzt. Im Folgenden sei die Länge der Hypotenuse des ersten Quadrats des allgemeinen gleich , die Längen der Katheten gleich und und die gegenüberliegenden Winkel gleich , und .

Flächeninhalt Bearbeiten

Der Flächeninhalt der Quadrate, die bei jedem Iterationsschritt zum Pythagoras-Baum hinzugefügt werden, sind nach dem Satz des Pythagoras gleich groß. Der gesamte Flächeninhalt des Pythagoras-Baums inklusive der Überlappungen ist also unendlich groß. Die Breite und Höhe des Pythagoras-Baums sind endlich, weil sich der Abstand jedes Quadrats zum vorherigen Quadrat um einen konstanten Faktor verkleinert. Der überdeckte Flächeninhalt ohne Überlappungen ist also auch endlich.

Umfang Bearbeiten

Ist der Umfang des Pythagoras-Baums, der Umfang des rechten Teilbaums und der Umfang des linken Teilbaums – jeweils ohne die untere Seite des ersten Quadrats, dann gilt , weil sich der Umfang aus dem Umfang des rechten und linken Teilbaums und der Länge der rechten und linken Seite des ersten Quadrats zusammensetzt. Weil der Pythagoras-Baum ähnlich zum rechten und linken Teilbaum ist, gilt und . Daraus folgt , also . Wegen der Dreiecksungleichung und kann diese Gleichung für endliches nicht gelten. Der Umfang des Pythagoras-Baums ist also unendlich.

Rechter und linker Ast Bearbeiten

Die Ecken der Quadrate des rechten und des linken Astes liegen jeweils auf einer logarithmischen Spirale. Der Endpunkt des rechten Astes hat den Abstand zum Rasen und den Abstand zum Stamm. Der Endpunkt des linken Astes hat den Abstand zum Rasen und den Abstand zum Stamm.

Höhe, Breite und Abstand zum Rasen Bearbeiten

Die folgende Tabelle zeigt die Höhe und Breite des Pythagoras-Baums und den Abstand der ersten Blätter des rechten und linken Teilbaums zum Rasen (siehe Abstand zum Rasen) für bestimmte Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks:

Innenwinkel Höhe Breite Abstand des rechten Teilbaums Abstand des linken Teilbaums
45°
30°
22,5°
15°

Die Höhe und Breite ist desto größer, der Abstand des rechten Teilbaums desto größer und der Abstand des linken Teilbaums desto kleiner, je größer die Differenz der Innenwinkel und ist.

Geschichte Bearbeiten

Der Pythagoras-Baum wurde zuerst von Albert E. Bosman (1891–1961) konstruiert, einem niederländischen Mathematiklehrer, im Jahre 1942.

Weitere Formen Bearbeiten

Da so ein Baum, der streng nach dem Satz des Pythagoras erzeugt wurde, sehr unnatürlich aussieht, kann natürlich auch von der Urform abgewichen werden.



Pythagoras-Baum:
  • Rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben

Fraktal-Baum:
  • Freier Winkel
  • Keine Quadrate


Pythagoras-Baum:
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben

Pythagoras-Baum:
  • Keine rechtwinkligen Dreiecke
  • Verschiedene Farben

Pythagoras-Baum:
  • Zufällige Stammlängen und zufällige Stammteilungsverhältnisse
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben

Pythagoras-Baum:
  • Gleichschenklige Dreiecke
  • Rechtwinklige Dreiecke
  • Verschiedene Farben

Pythagoras-Baum

SW Pythagoras-Baum

Programmierung Bearbeiten

Der Pythagoras-Baum lässt sich rekursiv auf einfache Weise implementieren. Das folgende Beispiel zeigt eine Implementierung in der Programmiersprache C#.

using System.Windows.Forms; public class MainForm : System.Windows.Forms.Form {  private Graphics graphics;    public MainForm()  {  InitializeComponent();  Text = "Pythagoras-Baum";  Width = 800;  Height = 600;  graphics = CreateGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen auf dem Hauptfenster.  Paint += OnPaint; // Verknüpft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters.  }    private void OnPaint(object sender, PaintEventArgs e)  {  float q = (float) Math.Tan(Math.PI / 3);  float minimaleLänge = (float) 0.1;  Color farbe = Color.FromArgb(255, 0, 0);  ZeichnePythagorasBaum(350, 400, 400, 400, q, minimaleLänge, farbe); // Aufruf der Methode mit minimaler Länge 0.1  }    // Diese Methode wird aufgerufen, wenn das Hauptfenster gezeichnet wird. Sie enthält 2 rekursive Aufrufe.  private void ZeichnePythagorasBaum(float x1, float y1, float x2, float y2, float q, float minimaleLänge, Color farbe)  {  // Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht, dann Koordinaten setzen und gleichseitiges Dreiecks ausfüllen  float x = x1 - x2;  float y = y1 - y2;  if (x * x + y * y >= minimaleLänge * minimaleLänge) // Wenn Seitenlänge größer oder gleich minimale Länge, dann Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen  {  float a = q * q;  float b = q * q + 1;  float c = q * q + q + 1;  float x3 = x2 - y1 + y2; // 3. Ecke des Quadrats, 1. Ecke des Dreiecks  float y3 = x1 - x2 + y2;  float x4 = x1 - y1 + y2; // 4. Ecke des Quadrats, 2. Ecke des Dreiecks  float y4 = x1 - x2 + y1;  float x5 = (a * x1 + x2 - c * (y1 - y2)) / b; // 3. Ecke des Dreiecks  float y5 = (c * (x1 - x2) + a * y1 + y2) / b;  // Definiert Farben mit RGB-Werten.  Color rot = Color.FromArgb(255, 0, 0), grün = Color.FromArgb(0, 255, 0), blau = Color.FromArgb(0, 0, 255);  // Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfüllen  PointF[] quadrat = new PointF[]{new PointF(x1, y1), new PointF(x2, y2), new PointF(x3, y3), new PointF(x4, y4)};  graphics.FillPolygon(new SolidBrush(farbe), quadrat);  PointF[] dreieck = new PointF[]{new PointF(x4, y4), new PointF(x3, y3), new PointF(x5, y5)};  graphics.FillPolygon(new SolidBrush(grün), dreieck);  // Rekursive Aufrufe der Methode für den linken und rechten Teilbaum.  ZeichnePythagorasBaum(x4, y4, x5, y5, q, minimaleLänge, rot);  ZeichnePythagorasBaum(x5, y5, x3, y3, q, minimaleLänge, blau);  }  } }

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Pythagoras-Baum – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Larry Riddle, Agnes Scott College: Pythagorean Tree
  2. Larry Riddle, Agnes Scott College: Pythagorean Tree Spirals
  3. http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=32367&j=2005
  4. (Memento vom 18. Januar 2009 im Internet Archive)
  5. (Memento vom 1. Januar 2017 im Internet Archive)
  6. Rosetta Code: Pythagoras tree
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein Pythagoras Baum ist eine besondere Art eines Fraktals Das ursprungliche Verfahren zum Erstellen eines Pythagoras Baums basiert auf dem Satz des Pythagoras in dem auf ein Quadrat zwei weitere kleinere Quadrate im rechten Winkel angeordnet werden Durch rekursives Aufrufen dieser Konstruktionsvorschrift wird ein Fraktal erzeugt das im Grenzfall der Form eines Baumes ahnelt Durch den rechten Winkel des eingeschlossenen Dreiecks bleibt die Gesamtflache jeder Ebene gleich daher ist die Flache des Grundelementes Stammes genau so gross wie die Summe der Flache aller ausseren Elemente Blatter Pythagoras BaumSymmetrischer Pythagoras Baum Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Symmetrischer Pythagoras Baum 2 1 Berechnungen 2 2 Hohe 2 3 Breite 2 4 Stammlange 2 5 Lange der Baumkrone 2 6 Umfang 2 7 Abstand zum Rasen 3 Allgemeiner Pythagoras Baum 3 1 Flacheninhalt 3 2 Umfang 3 3 Rechter und linker Ast 3 4 Hohe Breite und Abstand zum Rasen 4 Geschichte 5 Weitere Formen 6 Programmierung 7 Siehe auch 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseKonstruktion Bearbeiten nbsp Bild 1 nbsp Bild 2 nbsp Bild 3 nbsp Bild 4Aus einer Grundlinie wird ein Quadrat konstruiert Auf diesem Grundelement Stamm wird auf der Oberseite ein Thaleskreis gezeichnet und dieser beliebig geteilt Der entstehende Punkt wird mit dem Grundelement verbunden Bild 1 so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht Aus den beiden entstandenen Schenkeln des Dreiecks wird wieder jeweils ein Quadrat konstruiert Bild 2 ein Thaleskreis aufgezeichnet dieser geteilt ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert Bild 3 und so wieder zu einem Quadrat erweitert Bild 4 Dieser Vorgang wird beliebig oft wiederholt Symmetrischer Pythagoras Baum BearbeitenBerechnungen Bearbeiten Im Folgenden sei die Seitenlange des ersten Quadrats dem Stamm gleich a displaystyle a nbsp Wenn die Innenwinkel des ersten rechtwinkligen Dreiecks gleich 45 45 und 90 die Seitenlangen also gleich 2 2 a displaystyle tfrac sqrt 2 2 cdot a nbsp 2 2 a displaystyle tfrac sqrt 2 2 cdot a nbsp und a displaystyle a nbsp sind ist der Pythagoras Baum symmetrisch Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Hypotenuse des ersten rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks Hohe Bearbeiten nbsp Grundkonstruktion eines AstesHohe des ersten Astes betragt 2 a displaystyle 2 cdot a nbsp siehe Abbildung Um die maximale Hohe zu ermitteln genugt es Aste der abgebildeten Form aufeinander zu stellen Jeder Ast hat die halbe Grundseite des vorigen Astes Damit ist die Hohe des zweiten Astes a displaystyle a nbsp die des dritten a 2 displaystyle tfrac a 2 nbsp usw Die Gesamthohe h displaystyle h nbsp betragt damit h 2 a a a 2 a 4 a 8 2 a 1 1 2 1 4 1 8 displaystyle h 2 cdot a a frac a 2 frac a 4 frac a 8 ldots 2 cdot a left 1 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 ldots right nbsp Also ergibt sich mithilfe der geometrischen Reihe 1 h 2 a i 0 1 2 i 2 a 1 1 1 2 4 a displaystyle h 2 cdot a cdot sum i 0 infty left frac 1 2 right i 2 cdot a cdot frac 1 1 frac 1 2 4 cdot a nbsp Breite Bearbeiten Der linke Ast entspricht einem querliegenden Baum mit der Grundseite a 2 displaystyle frac a 2 nbsp Ebenso der rechte Ast In der Mitte bleibt ein Stamm mit der Breite a displaystyle a nbsp und den beiden Hauptasten mit jeweils der Breite a 2 displaystyle frac a 2 nbsp Die Breite betragt also 1 h 2 Hohe linker querliegender Baum h 2 Hohe rechter querliegender Baum a a 2 a 2 4 a 2 4 a 2 a a 2 a 2 6 a displaystyle underbrace frac h 2 begin array c scriptstyle text Hohe linker scriptstyle text querliegender Baum end array underbrace frac h 2 begin array c scriptstyle text Hohe rechter scriptstyle text querliegender Baum end array a frac a 2 frac a 2 frac 4 cdot a 2 frac 4 cdot a 2 a frac a 2 frac a 2 6 cdot a nbsp Stammlange Bearbeiten nbsp Seitenlange und Lange der BaumkroneZur Berechnung der Stammlange siehe rote Linien in der Abbildung mussen die Seitenlangen der Quadrate addiert werden Quadrat 2 2 0 a a displaystyle left frac sqrt 2 2 right 0 cdot a a nbsp Quadrat 2 2 1 a 2 2 a displaystyle left frac sqrt 2 2 right 1 cdot a frac sqrt 2 2 cdot a nbsp Quadrat 2 2 2 a 1 2 a displaystyle left frac sqrt 2 2 right 2 cdot a frac 1 2 cdot a nbsp Quadrat 2 2 3 a 2 4 a displaystyle left frac sqrt 2 2 right 3 cdot a frac sqrt 2 4 cdot a nbsp usw Es kommt immer der Faktor 2 2 displaystyle tfrac sqrt 2 2 nbsp hinzu Wenn man die Nummerierung bei 0 beginnt ist die Seitenlange des i displaystyle i nbsp ten Quadrats gleich 2 2 i a displaystyle tfrac sqrt 2 2 i cdot a nbsp Die Gesamtlange der roten Linien betragt also a i 0 2 2 i a 1 1 2 2 2 a 2 2 a 2 2 3 414 a displaystyle a cdot sum i 0 infty left frac sqrt 2 2 right i a cdot frac 1 1 frac sqrt 2 2 frac 2 cdot a 2 sqrt 2 a cdot left 2 sqrt 2 right approx 3 414 cdot a nbsp Lange der Baumkrone Bearbeiten nbsp Rechts links Ast eines Pythagoras BaumesZur Berechnung der Lange der Baumkrone siehe blaue Linien in der Abbildung zuerst folgende Uberlegungen In die Ecken des Baumes kommt man indem man die Aste abwechselnd links und rechts entlanggeht Um die Lange der oberen horizontalen Linie zu berechnen wird zuerst die Abweichung von der Stammmittellinie die durch das Wachstum eines Rechts links Astes entsteht berechnet Grundseite Abstand von derMittellinie x i displaystyle x i nbsp Erste Rechts links Kombination Quadrat Dreieck Quadrat Dreieck in der Abbildung gestrichelt a displaystyle a nbsp x 1 a 2 a 4 3 4 a displaystyle x 1 frac a 2 frac a 4 frac 3 4 cdot a nbsp Zweite Rechts links Kombination in der Abbildung gepunktet a 2 displaystyle frac a 2 nbsp x 2 3 4 a 2 displaystyle x 2 frac 3 4 cdot frac a 2 nbsp Dritte Rechts links Kombination a 4 displaystyle frac a 4 nbsp x 3 3 4 a 4 displaystyle x 3 frac 3 4 cdot frac a 4 nbsp i te Rechts links Kombination 1 2 i a displaystyle left frac 1 2 right i cdot a nbsp x i 3 4 1 2 i a displaystyle x i frac 3 4 cdot left frac 1 2 right i cdot a nbsp Der maximale Abstand der letzten Spitze von der ersten Mittellinie ist dann die Summe der einzelnen Abstande i 0 3 4 1 2 i a 3 4 a i 0 1 2 i 3 4 a 1 1 1 2 3 2 a displaystyle sum i 0 infty frac 3 4 cdot left frac 1 2 right i cdot a frac 3 4 cdot a cdot sum i 0 infty left frac 1 2 right i frac 3 4 cdot a cdot frac 1 1 frac 1 2 frac 3 2 cdot a nbsp Ein Links rechts Ast hat also den maximalen Abstand 3 2 a displaystyle tfrac 3 2 cdot a nbsp von der ersten Mittellinie Das Gleiche gilt fur den gespiegelten Rechts links Ast Die beiden oberen Ecken haben also den maximalen Abstand von 2 3 2 a 3 a displaystyle 2 cdot tfrac 3 2 cdot a 3 cdot a nbsp Dies ist die Lange der oberen horizontalen blauen Linie Die Langen der anderen blauen Linien kann man leicht berechnen Die zweite blaue Linie entspricht der oberen horizontalen Line des Hauptbaumes usw Grundseite Baum LangeErste blaue Linie a displaystyle a nbsp 3 a displaystyle 3 cdot a nbsp Zweite blaue Linie 2 2 a displaystyle frac sqrt 2 2 cdot a nbsp 3 2 2 a displaystyle 3 cdot frac sqrt 2 2 cdot a nbsp Dritte blaue Linie 2 2 2 a displaystyle left frac sqrt 2 2 right 2 cdot a nbsp 3 2 2 2 a displaystyle 3 cdot left frac sqrt 2 2 right 2 cdot a nbsp i te blaue Linie 2 2 i a displaystyle left frac sqrt 2 2 right i cdot a nbsp 3 2 2 i a displaystyle 3 cdot left frac sqrt 2 2 right i cdot a nbsp Jede blaue Linie ist dreimal so lang wie die zugehorige rote Linie Damit ist auch die Gesamtlange der blauen Linie das Dreifache der roten Linie 3 a 2 2 displaystyle 3 cdot a cdot left 2 sqrt 2 right nbsp Umfang Bearbeiten Wenn man den Baum einmal umrunden mochte muss man zweimal die blaue und zweimal die rote Linie und die Linie auf der der Baum steht entlanggehen Die obere blaue Linie ist hierbei doppelt diese muss man also einmal abziehen 2 3 a 2 2 blau 3 a doppelt gerechnete obere horizontale Firstlinie 2 a 2 2 rot a Grundlinie 2 a 7 4 2 25 313 a displaystyle 2 cdot underbrace 3 cdot a cdot left 2 sqrt 2 right scriptstyle text blau underbrace 3 cdot a begin array c scriptstyle text doppelt gerechnete scriptstyle text obere horizontale scriptstyle text Firstlinie end array 2 cdot underbrace a cdot left 2 sqrt 2 right scriptstyle text rot underbrace a scriptstyle text Grundlinie 2 cdot a cdot left 7 4 sqrt 2 right approx 25 313 cdot a nbsp Abstand zum Rasen Bearbeiten nbsp Abstand der Blatter zum RasenDamit man mit dem Rasenmaher bis zum Stamm fahren kann muss man wissen wie hoch die lichte Hohe unter dem Blattwerk des Baumes ist Wie gross ist der Abstand der ersten Blatter zum Rasen Bei einer Grundseite von a displaystyle a nbsp ist die Gesamtbreite 6 a displaystyle 6 cdot a nbsp Eine Seite des Baumes steht also 5 2 a displaystyle tfrac 5 2 cdot a nbsp uber den Stamm hinaus siehe grune Linie in der Abbildung Zur Berechnung der gesuchten lichten Hohe betrachtet man den dritten Ast den ersten horizontal wachsenden Ast das dritte Quadrat Die Grundseite dieses Teilbaumes betragt a 2 displaystyle tfrac a 2 nbsp Die Breite dieses Teilastes ist also 6 a 2 3 a displaystyle 6 cdot tfrac a 2 3 cdot a nbsp Auch bei diesem Ast steht die Krone um den Faktor 5 2 displaystyle tfrac 5 2 nbsp uber also 5 2 a 2 5 4 a displaystyle tfrac 5 2 cdot tfrac a 2 tfrac 5 4 cdot a nbsp Dieser dritte Teilast hat einen Abstand vom Rasen von 3 2 a displaystyle tfrac 3 2 cdot a nbsp Die lichte Hohe ist dann die Differenz 3 2 a 5 4 a a 4 displaystyle tfrac 3 2 cdot a tfrac 5 4 cdot a tfrac a 4 nbsp Allgemeiner Pythagoras Baum Bearbeiten nbsp Allgemeiner Pythagoras BaumBeim allgemeinen Pythagoras Baum werden jeweils beliebige aber kongruente rechtwinklige Dreiecke auf die Quadrate gesetzt Im Folgenden sei die Lange der Hypotenuse des ersten Quadrats des allgemeinen gleich a displaystyle a nbsp die Langen der Katheten gleich a 1 displaystyle a 1 nbsp und a 2 displaystyle a 2 nbsp und die gegenuberliegenden Winkel gleich a displaystyle alpha nbsp a 1 displaystyle alpha 1 nbsp und a 2 displaystyle alpha 2 nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt der Quadrate die bei jedem Iterationsschritt zum Pythagoras Baum hinzugefugt werden sind nach dem Satz des Pythagoras gleich gross Der gesamte Flacheninhalt des Pythagoras Baums inklusive der Uberlappungen ist also unendlich gross Die Breite und Hohe des Pythagoras Baums sind endlich weil sich der Abstand jedes Quadrats zum vorherigen Quadrat um einen konstanten Faktor verkleinert Der uberdeckte Flacheninhalt ohne Uberlappungen ist also auch endlich Umfang Bearbeiten Ist U displaystyle U nbsp der Umfang des Pythagoras Baums U 1 displaystyle U 1 nbsp der Umfang des rechten Teilbaums und U 2 displaystyle U 2 nbsp der Umfang des linken Teilbaums jeweils ohne die untere Seite des ersten Quadrats dann gilt U 1 U 2 2 a U displaystyle U 1 U 2 2 cdot a U nbsp weil sich der Umfang aus dem Umfang des rechten und linken Teilbaums und der Lange der rechten und linken Seite des ersten Quadrats zusammensetzt Weil der Pythagoras Baum ahnlich zum rechten und linken Teilbaum ist gilt U 1 a 1 U a displaystyle U 1 tfrac a 1 cdot U a nbsp und U 2 a 2 U a displaystyle U 2 tfrac a 2 cdot U a nbsp Daraus folgt a 1 U a a 2 U a 2 a U displaystyle tfrac a 1 cdot U a tfrac a 2 cdot U a 2 cdot a U nbsp also a 1 a 2 U 2 a 2 a U displaystyle a 1 a 2 cdot U 2 cdot a 2 a cdot U nbsp Wegen der Dreiecksungleichung a 1 a 2 gt a displaystyle a 1 a 2 gt a nbsp und 2 a 2 gt 0 displaystyle 2 cdot a 2 gt 0 nbsp kann diese Gleichung fur endliches U displaystyle U nbsp nicht gelten Der Umfang des Pythagoras Baums ist also unendlich Rechter und linker Ast Bearbeiten Die Ecken der Quadrate des rechten und des linken Astes liegen jeweils auf einer logarithmischen Spirale Der Endpunkt des rechten Astes hat den Abstand a displaystyle a nbsp zum Rasen und den Abstand a 1 a 2 a tan a 1 a displaystyle tfrac a 1 a 2 cdot a tan alpha 1 cdot a nbsp zum Stamm Der Endpunkt des linken Astes hat den Abstand a displaystyle a nbsp zum Rasen und den Abstand a 2 a 1 a tan a 2 a displaystyle tfrac a 2 a 1 cdot a tan alpha 2 cdot a nbsp zum Stamm 2 Hohe Breite und Abstand zum Rasen Bearbeiten Die folgende Tabelle zeigt die Hohe und Breite des Pythagoras Baums und den Abstand der ersten Blatter des rechten und linken Teilbaums zum Rasen siehe Abstand zum Rasen fur bestimmte Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks Innenwinkel a 1 displaystyle alpha 1 nbsp Hohe Breite Abstand des rechten Teilbaums Abstand des linken Teilbaums45 4 a displaystyle 4 cdot a nbsp 6 a displaystyle 6 cdot a nbsp a 4 displaystyle frac a 4 nbsp a 4 displaystyle frac a 4 nbsp 30 17 3 3 5 a 4 439 a displaystyle frac 17 3 cdot sqrt 3 5 cdot a approx 4 439 cdot a nbsp 81 108 3 40 a 6 702 a displaystyle frac 81 108 cdot sqrt 3 40 cdot a approx 6 702 cdot a nbsp 28 3 3 40 a 0 570 a displaystyle frac 28 3 cdot sqrt 3 40 cdot a approx 0 570 cdot a nbsp 4 81 3 320 a 0 451 a displaystyle frac 4 81 cdot sqrt 3 320 cdot a approx 0 451 cdot a nbsp 22 5 140 67 2 47 a 4 995 a displaystyle frac 140 67 cdot sqrt 2 47 cdot a approx 4 995 cdot a nbsp 1439 1065 2 376 a 7 833 a displaystyle frac 1439 1065 cdot sqrt 2 376 cdot a approx 7 833 cdot a nbsp 32 2 11 47 a 0 729 a displaystyle frac 32 cdot sqrt 2 11 47 cdot a approx 0 729 cdot a nbsp 181 2255 2 3008 a 1 120 a displaystyle frac 181 2255 cdot sqrt 2 3008 cdot a approx 1 120 cdot a nbsp 15 11511 4795 3 3201 a 6 191 a displaystyle frac 11511 4795 cdot sqrt 3 3201 cdot a approx 6 191 cdot a nbsp 1087035 587320 3 204864 a 10 272 a displaystyle frac 1087035 587320 cdot sqrt 3 204864 cdot a approx 10 272 cdot a nbsp 45495 20506 3 12804 a 0 779 a displaystyle frac 45495 20506 cdot sqrt 3 12804 cdot a approx 0 779 cdot a nbsp 9335814 12959845 3 13111296 a 2 424 a displaystyle frac 9335814 12959845 cdot sqrt 3 13111296 cdot a approx 2 424 cdot a nbsp Die Hohe und Breite ist desto grosser der Abstand des rechten Teilbaums desto grosser und der Abstand des linken Teilbaums desto kleiner je grosser die Differenz der Innenwinkel a 1 displaystyle alpha 1 nbsp und a 2 displaystyle alpha 2 nbsp ist Geschichte BearbeitenDer Pythagoras Baum wurde zuerst von Albert E Bosman 1891 1961 konstruiert einem niederlandischen Mathematiklehrer im Jahre 1942 3 4 5 Weitere Formen BearbeitenDa so ein Baum der streng nach dem Satz des Pythagoras erzeugt wurde sehr unnaturlich aussieht kann naturlich auch von der Urform abgewichen werden nbsp Pythagoras Baum Rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke Verschiedene Farben nbsp Fraktal Baum Freier Winkel Keine Quadrate nbsp Pythagoras Baum Rechtwinklige Dreiecke Verschiedene Farben nbsp Pythagoras Baum Keine rechtwinkligen Dreiecke Verschiedene Farben nbsp Pythagoras Baum Zufallige Stammlangen und zufallige Stammteilungsverhaltnisse Rechtwinklige Dreiecke Verschiedene Farben nbsp Pythagoras Baum Gleichschenklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Verschiedene Farben nbsp Pythagoras Baum nbsp SW Pythagoras BaumProgrammierung BearbeitenDer Pythagoras Baum lasst sich rekursiv auf einfache Weise implementieren Das folgende Beispiel zeigt eine Implementierung in der Programmiersprache C 6 using System Windows Forms public class MainForm System Windows Forms Form private Graphics graphics public MainForm InitializeComponent Text Pythagoras Baum Width 800 Height 600 graphics CreateGraphics Erzeugt ein Grafikobjekt fur das Zeichnen auf dem Hauptfenster Paint OnPaint Verknupft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters private void OnPaint object sender PaintEventArgs e float q float Math Tan Math PI 3 float minimaleLange float 0 1 Color farbe Color FromArgb 255 0 0 ZeichnePythagorasBaum 350 400 400 400 q minimaleLange farbe Aufruf der Methode mit minimaler Lange 0 1 Diese Methode wird aufgerufen wenn das Hauptfenster gezeichnet wird Sie enthalt 2 rekursive Aufrufe private void ZeichnePythagorasBaum float x1 float y1 float x2 float y2 float q float minimaleLange Color farbe Wenn maximale Rekursionstiefe erreicht dann Koordinaten setzen und gleichseitiges Dreiecks ausfullen float x x1 x2 float y y1 y2 if x x y y gt minimaleLange minimaleLange Wenn Seitenlange grosser oder gleich minimale Lange dann Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfullen float a q q float b q q 1 float c q q q 1 float x3 x2 y1 y2 3 Ecke des Quadrats 1 Ecke des Dreiecks float y3 x1 x2 y2 float x4 x1 y1 y2 4 Ecke des Quadrats 2 Ecke des Dreiecks float y4 x1 x2 y1 float x5 a x1 x2 c y1 y2 b 3 Ecke des Dreiecks float y5 c x1 x2 a y1 y2 b Definiert Farben mit RGB Werten Color rot Color FromArgb 255 0 0 grun Color FromArgb 0 255 0 blau Color FromArgb 0 0 255 Quadrat und rechtwinkliges Dreieck ausfullen PointF quadrat new PointF new PointF x1 y1 new PointF x2 y2 new PointF x3 y3 new PointF x4 y4 graphics FillPolygon new SolidBrush farbe quadrat PointF dreieck new PointF new PointF x4 y4 new PointF x3 y3 new PointF x5 y5 graphics FillPolygon new SolidBrush grun dreieck Rekursive Aufrufe der Methode fur den linken und rechten Teilbaum ZeichnePythagorasBaum x4 y4 x5 y5 q minimaleLange rot ZeichnePythagorasBaum x5 y5 x3 y3 q minimaleLange blau Siehe auch BearbeitenSatz des Pythagoras Rechtwinkliges DreieckWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Pythagoras Baum Album mit Bildern Videos und Audiodateien Java Applet Programmier Beschreibung Besondere Pythagorasbaume Generator mit Code Animation GeneratorEinzelnachweise Bearbeiten a b Larry Riddle Agnes Scott College Pythagorean Tree Larry Riddle Agnes Scott College Pythagorean Tree Spirals http www wisfaq nl show3archive asp id 32367 amp j 2005 Archivierte Kopie Memento vom 18 Januar 2009 im Internet Archive Archivierte Kopie Memento vom 1 Januar 2017 im Internet Archive Rosetta Code Pythagoras tree Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pythagoras Baum amp oldid 236611801