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Mittelsenkrechte Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene einer Strecke Mittellotebene S In der

Mittelsenkrechte

Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene einer Strecke.

Mittelsenkrechte
Mittellotebene

Anwendungen:

Mittelsenkrechten tragen oft zur Lösung von geometrischen Problemen bei, z. B.

  1. bei der zeichnerischen Bestimmung des Mittelpunktes einer Strecke, um einen Thaleskreis zu konstruieren,
  2. bei der Bestimmung des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks,
  3. bei der zeichnerischen Rekonstruktion des Mittelpunktes eines Kreises, wenn 3 Punkte des Kreises gegeben sind,
  4. bei der Bestimmung einer Geraden oder Ebene, um durch Spiegeln an dieser einen Punkt auf einen Punkt abzubilden.
  5. In Voronoi-Diagrammen spielen sie eine Rolle als Begrenzungen.

Weitere Definitionen Bearbeiten

In der Ebene Bearbeiten

Zur Definition (S) in der Einleitung sind die folgenden Definitionen (D) und (M2) äquivalent:

Der Beweis (siehe Bild im nächsten Abschnitt) folgt aus der Eigenschaft des Mittelpunktes und dem Satz des Pythagoras:

Die Gleichung lässt sich auch so interpretieren: ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch und geht. Damit gibt es die weitere Definition:

Im Raum Bearbeiten

Geht man von Punkten im 3-dimensionalen Raum aus, so definiert man (analog zum ebenen Fall):

Der Nachweis der Äquivalenz zur Definition in der Einleitung verläuft analog zum ebenen Fall.

Konstruktion der Mittelsenkrechten und des Mittelpunktes Bearbeiten

Konstruktion der Mittelsenkrechten

Aufgrund der Definition (D) der Mittelsenkrechten und der Tatsache, dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, genügt es, zwei Punkte zu finden mit der Eigenschaft :

Man konstruiert die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten und , indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen die Mittelsenkrechte der Strecke .

Da die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Mittelpunktes auskommt, kann man den Mittelpunkt als Schnitt der so konstruierten Mittelsenkrechten mit der Strecke bestimmen.

Gleichungen Bearbeiten

Sind und die Ortsvektoren der Punkte und , so ist der Mittelpunkt von und ein Normalenvektor der Mittelsenkrechten. Eine Normalenform der Mittelsenkrechten ist dann . Ersetzen von durch und Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Mittelsenkrechten in Vektorform:

Mit und erhält man die Koordinatenform:

Falls , kann man zur expliziten Form (siehe Orthogonalität und Punktsteigungsform)

mit , und übergehen.

Die Vektordarstellung der Mittellotebene ist wörtlich gleich mit (V). Die Koordinatendarstellung ist um eine Koordinate erweitert:

Beispiele Bearbeiten

Für jede Position der Strecke (grün) auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden (blau) gilt für die Mittelsenkrechte (rot) die Geradengleichung

In der Ebene Bearbeiten

(grün) sei die Strecke mit den Endpunkten und . Dann ist und

Setzt man diese Werte in die obige Koordinatengleichung (K2) ein, so ergibt sich für die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

Im Raum Bearbeiten

Für und ergibt sich aus der obigen Gleichung (K3) die Koordinatengleichung der Mittellotebene

Die Mittellotebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke (grün) durch deren Mittelpunkt (rot)

Mittelsenkrechten im Dreieck Bearbeiten

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende; der Scheitel liegt außerhalb der Zeichenebene
Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Rolf Baumann: Geometrie. Mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
  • Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden-Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Mittelsenkrechte – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Dieter Neßelmann: Axiomatische Geometrie. 22. Februar 2010, 5. Ergänzungen, S. 143, Definition 5.5.3 (online [PDF; 6,5 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  2. Karl Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. In: Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Band 12. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, II. Parallelprojektion und perspektive Affinität, S. 18 (online [PDF; 12,6 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  3. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.3. Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal, S. 37, Abbildung 44. Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
  4. Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks, S. 40 (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene einer Strecke MittelsenkrechteMittellotebene S In der ebenen Geometrie ist die Mittelsenkrechte oder das Mittellot 1 oder osterreichisch die Streckensymmetrale 2 diejenige Gerade durch den Mittelpunkt einer Strecke die auf der Strecke senkrecht steht Anwendungen Mittelsenkrechten tragen oft zur Losung von geometrischen Problemen bei z B bei der zeichnerischen Bestimmung des Mittelpunktes einer Strecke um einen Thaleskreis zu konstruieren bei der Bestimmung des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks bei der zeichnerischen Rekonstruktion des Mittelpunktes eines Kreises wenn 3 Punkte des Kreises gegeben sind bei der Bestimmung einer Geraden oder Ebene um durch Spiegeln an dieser einen Punkt A displaystyle A auf einen Punkt B displaystyle B abzubilden In Voronoi Diagrammen spielen sie eine Rolle als Begrenzungen Inhaltsverzeichnis 1 Weitere Definitionen 1 1 In der Ebene 1 2 Im Raum 2 Konstruktion der Mittelsenkrechten und des Mittelpunktes 3 Gleichungen 4 Beispiele 4 1 In der Ebene 4 2 Im Raum 5 Mittelsenkrechten im Dreieck 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseWeitere Definitionen BearbeitenIn der Ebene Bearbeiten Zur Definition S in der Einleitung sind die folgenden Definitionen D und M2 aquivalent D Die Mittelsenkrechte einer Strecke A B displaystyle AB nbsp ist die Menge aller Punkte X displaystyle X nbsp mit der Eigenschaft X A X B displaystyle XA XB nbsp Der Beweis siehe Bild im nachsten Abschnitt folgt aus der Eigenschaft M A M B displaystyle MA MB nbsp des Mittelpunktes M displaystyle M nbsp und dem Satz des Pythagoras X A 2 X M 2 M A 2 X M 2 M B 2 X B 2 displaystyle XA 2 XM 2 MA 2 XM 2 MB 2 XB 2 nbsp Die Gleichung X A X B displaystyle XA XB nbsp lasst sich auch so interpretieren X displaystyle X nbsp ist der Mittelpunkt eines Kreises der durch A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp geht Damit gibt es die weitere Definition M2 Die Mittelsenkrechte einer Strecke A B displaystyle AB nbsp ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise die durch A B displaystyle A B nbsp gehen Im Raum Bearbeiten Geht man von Punkten A B displaystyle A B nbsp im 3 dimensionalen Raum aus so definiert man analog zum ebenen Fall D Die Mittellotebene einer Strecke A B displaystyle AB nbsp ist die Menge aller Punkte X displaystyle X nbsp mit der Eigenschaft X A X B displaystyle XA XB nbsp Der Nachweis der Aquivalenz zur Definition in der Einleitung verlauft analog zum ebenen Fall Konstruktion der Mittelsenkrechten und des Mittelpunktes Bearbeiten nbsp Konstruktion der MittelsenkrechtenAufgrund der Definition D der Mittelsenkrechten und der Tatsache dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist genugt es zwei Punkte X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp zu finden mit der Eigenschaft X i A X i B displaystyle X i A X i B nbsp MittelsenkrechteMan konstruiert die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbogen zeichnet mit gleichem Radius der grosser als die halbe Lange der Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss Die zwei Schnittpunkte X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp dieser beiden Kreislinien bestimmen die Mittelsenkrechte der Strecke A B displaystyle AB nbsp 3 MittelpunktDa die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Mittelpunktes M displaystyle M nbsp auskommt kann man den Mittelpunkt als Schnitt der so konstruierten Mittelsenkrechten mit der Strecke A B displaystyle AB nbsp bestimmen Gleichungen BearbeitenSind a b displaystyle vec a vec b nbsp und m a b 2 displaystyle vec m tfrac vec a vec b 2 nbsp die Ortsvektoren der Punkte A B displaystyle A B nbsp und M displaystyle M nbsp so ist M displaystyle M nbsp der Mittelpunkt von A B displaystyle A B nbsp und a b displaystyle vec a vec b nbsp ein Normalenvektor der Mittelsenkrechten Eine Normalenform der Mittelsenkrechten ist dann x m a b 0 displaystyle vec x vec m cdot vec a vec b 0 nbsp Ersetzen von m displaystyle vec m nbsp durch a b 2 displaystyle tfrac vec a vec b 2 nbsp und Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Mittelsenkrechten in Vektorform V x a b 1 2 a 2 b 2 displaystyle quad vec x cdot vec a vec b tfrac 1 2 vec a 2 vec b 2 nbsp Mit A a 1 a 2 displaystyle A a 1 a 2 nbsp und B b 1 b 2 displaystyle B b 1 b 2 nbsp erhalt man die Koordinatenform K2 a 1 b 1 x a 2 b 2 y 1 2 a 1 2 b 1 2 a 2 2 b 2 2 displaystyle quad a 1 b 1 x a 2 b 2 y frac 1 2 a 1 2 b 1 2 a 2 2 b 2 2 nbsp Falls b 2 a 2 displaystyle b 2 neq a 2 nbsp kann man zur expliziten Form siehe Orthogonalitat und Punktsteigungsform E2 y m x x 0 y 0 displaystyle quad y m x x 0 y 0 nbsp mit m b 1 a 1 b 2 a 2 displaystyle m tfrac b 1 a 1 b 2 a 2 nbsp x 0 1 2 a 1 b 1 displaystyle x 0 tfrac 1 2 a 1 b 1 nbsp und y 0 1 2 a 2 b 2 displaystyle y 0 tfrac 1 2 a 2 b 2 nbsp ubergehen Die Vektordarstellung der Mittellotebene ist wortlich gleich mit V Die Koordinatendarstellung ist um eine Koordinate erweitert K3 a 1 b 1 x a 2 b 2 y a 3 b 3 z 1 2 a 1 2 b 1 2 a 2 2 b 2 2 a 3 2 b 3 2 displaystyle quad a 1 b 1 x a 2 b 2 y a 3 b 3 z frac 1 2 a 1 2 b 1 2 a 2 2 b 2 2 a 3 2 b 3 2 nbsp Beispiele Bearbeiten nbsp Fur jede Position der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp grun auf der zu ihr rechtwinkligen Geraden g 1 displaystyle g 1 nbsp blau gilt fur die Mittelsenkrechte m s displaystyle m s nbsp rot die Geradengleichung 4 x 8 y 5 displaystyle 4x 8y 5 nbsp In der Ebene Bearbeiten A B displaystyle overline AB nbsp grun sei die Strecke mit den Endpunkten A 2 5 5 displaystyle A 2 5 5 nbsp und B 6 2 displaystyle B 6 2 nbsp Dann ist a 1 2 5 b 1 6 a 2 5 displaystyle a 1 2 5 b 1 6 a 2 5 nbsp und b 2 2 displaystyle b 2 2 nbsp Setzt man diese Werte in die obige Koordinatengleichung K2 ein so ergibt sich fur die Geradengleichung der Mittelsenkrechten 2 5 6 x 5 2 y 2 5 2 6 2 2 5 2 2 2 2 3 5 x 7 y 8 75 2 2 7 x 14 y 17 5 2 4 7 4 x 8 y 5 displaystyle begin aligned 2 5 6 x 5 2 y amp frac 2 5 2 6 2 2 frac 5 2 2 2 2 3 5x 7y amp frac 8 75 2 bigg cdot 2 7x 14y amp frac 17 5 2 bigg cdot frac 4 7 4x 8y amp 5 end aligned nbsp Im Raum Bearbeiten Fur A 2 1 5 1 displaystyle A 2 1 5 1 nbsp und B 1 2 5 5 displaystyle B 1 2 5 5 nbsp ergibt sich aus der obigen Gleichung K3 die Koordinatengleichung der Mittellotebene x y 4 z 12 5 2 x 2 y 8 z 25 displaystyle begin aligned x y 4z amp 12 5 Leftrightarrow 2x 2y 8z amp 25 end aligned nbsp nbsp Die Mittellotebene blau verlauft rechtwinklig zur Strecke A B displaystyle overline AB nbsp grun durch deren Mittelpunkt M displaystyle M nbsp rot Mittelsenkrechten im Dreieck BearbeitenDie Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt namlich im Umkreismittelpunkt des Dreiecks Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks siehe dazu auch Ausgezeichnete Punkte im Dreieck 4 Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte fur den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfullen Dies ist insbesondere dann vorteilhaft wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt nbsp Mittelsenkrechte im gleichschenkligen Dreieck quasi als Winkelhalbierende der Scheitel liegt ausserhalb der Zeichenebene nbsp Dreieck mit Mittelsenkrechten und UmkreisSiehe auch BearbeitenSymmetraleLiteratur BearbeitenRolf Baumann Geometrie Mit Ubungen und Losungen Mentor Munchen 2002 Kapitel 3 1 Cornelia Niederdrenk Felgner Lambacher Schweizer Lehrbuch der Mathematik fur die 7 Klasse G9 an Gymnasien Baden Wurttemberg Klett Stuttgart 1994 ISBN 3 12 731370 5 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Mittelsenkrechte Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Dieter Nesselmann Axiomatische Geometrie 22 Februar 2010 5 Erganzungen S 143 Definition 5 5 3 online PDF 6 5 MB abgerufen am 24 April 2021 Karl Strubecker Vorlesungen uber Darstellende Geometrie In Studia Mathematica Mathematische Lehrbucher Band 12 Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1967 II Parallelprojektion und perspektive Affinitat S 18 online PDF 12 6 MB abgerufen am 24 April 2021 Stefan Friedl Elementargeometrie 2017 3 3 Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal S 37 Abbildung 44 Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke A B displaystyle overline AB nbsp online PDF 13 1 MB abgerufen am 24 April 2021 Stefan Friedl Elementargeometrie 2017 3 5 Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks S 40 online PDF 13 1 MB abgerufen am 24 April 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mittelsenkrechte amp oldid 238518844