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Gleichschenkliges Dreieck Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten Folglic

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an der Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schließt die Spitze den Winkel oder ein, wird es Goldenes Dreieck erster bzw. zweiter Art genannt.

Berechnung und Konstruktion Bearbeiten

Mathematische Formeln zum gleichschenkligen Dreieck
Flächeninhalt

Umfang
Seitenlängen
Winkel
Höhe
Inkreisradius
Umkreisradius

Basiswinkelsatz Bearbeiten

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Zwei Seiten Bearbeiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel Bearbeiten

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Ausgezeichnete Punkte Bearbeiten

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Gleichschenkliges Dreieck mit
  • Symmetrieachse
  • Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
  • Seitenhalbierende und Schwerpunkt
  • Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Sehnenvielecke Bearbeiten

Ein Sehnenvieleck wird von den Radien seines Umkreises in gleichschenklige Dreiecke zerlegt.

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und Brahmaguptas Formel für Sehnenvierecke.

Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken Bearbeiten

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser, Basel [u. a.] 1963 (Deutsche Übersetzung von: Introduction to Geometry. Wiley, 1961).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Gleichschenkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Jürgen Köller: Gleichschenkliges Dreieck. Höhe und Radius des Inkreises. Abgerufen am 8. Juni 2019.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten Folglich sind auch die beiden Winkel gleich gross die den gleich langen Seiten gegenuberliegen Zur vollstandigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstucke benotigt davon zumindest eine Seite Die beiden gleich langen Seiten heissen Schenkel die dritte Seite heisst Basis Der der Basis gegenuberliegende Eckpunkt heisst Spitze Die an der Basis anliegenden Winkel heissen Basiswinkel Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch Es kann spitzwinklig rechtwinklig oder stumpfwinklig sein Schliesst die Spitze den Winkel 36 displaystyle 36 circ oder 108 displaystyle 108 circ ein wird es Goldenes Dreieck erster bzw zweiter Art genannt Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung und Konstruktion 1 1 Basiswinkelsatz 1 2 Zwei Seiten 1 3 Eine Seite und ein Winkel 2 Ausgezeichnete Punkte 3 Sehnenvielecke 4 Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseBerechnung und Konstruktion BearbeitenMathematische Formeln zum gleichschenkligen DreieckFlacheninhalt A c h c 2 c 4 4 a 2 c 2 displaystyle A frac c cdot h c 2 frac c 4 cdot sqrt 4 cdot a 2 c 2 nbsp nbsp A a 2 sin g 2 displaystyle A frac a 2 cdot sin gamma 2 nbsp Umfang U 2 a c displaystyle U 2 cdot a c nbsp Seitenlangen a b displaystyle a b nbsp c 2 a sin g 2 2 a 2 1 cos g displaystyle c 2 cdot a cdot sin left frac gamma 2 right sqrt 2 cdot a 2 cdot 1 cos gamma nbsp Winkel a b arcsin h c a displaystyle alpha beta arcsin left frac h c a right nbsp g 180 2 a 2 arcsin c 2 a arccos 1 c 2 2 a 2 displaystyle gamma 180 circ 2 cdot alpha 2 cdot arcsin left frac c 2 cdot a right arccos left 1 frac c 2 2 cdot a 2 right nbsp Hohe 1 h a c 2 a 4 a 2 c 2 displaystyle h a frac c 2 cdot a cdot sqrt 4 cdot a 2 c 2 nbsp h b c 2 b 4 a 2 c 2 displaystyle h b frac c 2 cdot b cdot sqrt 4 cdot a 2 c 2 nbsp h c 1 2 4 a 2 c 2 displaystyle h c frac 1 2 cdot sqrt 4 cdot a 2 c 2 nbsp Inkreisradius 1 r i c h c 2 a c c 4 a 2 c 2 4 a 2 c displaystyle r i frac c cdot h c 2 cdot a c frac c cdot sqrt 4 cdot a 2 c 2 4 cdot a 2 cdot c nbsp Umkreisradius r u a 2 sin a b 2 sin b c 2 sin g a 2 4 a 2 c 2 displaystyle r u frac a 2 cdot sin alpha frac b 2 cdot sin beta frac c 2 cdot sin gamma frac a 2 sqrt 4 cdot a 2 c 2 nbsp Basiswinkelsatz Bearbeiten Der Basiswinkelsatz besagt dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel also die Winkel die den gleich langen Seiten gegenuberliegen gleich gross sind Umgekehrt gilt auch Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich gross so sind auch die beiden gegenuberliegenden Seiten gleich lang Zwei Seiten Bearbeiten Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt wenn man weiss welche der Seiten die Basis ist Dadurch ergibt sich ein SSS Fall Die Winkel konnen mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden Eine Seite und ein Winkel Bearbeiten Ist ein Winkel gegeben so lassen sich aus der Beziehung 2 a g 180 displaystyle textstyle 2 alpha gamma 180 circ nbsp sofort alle ubrigen Winkel berechnen Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW Fall behandeln Die fehlenden Seiten konnen mit dem Sinussatz berechnet werden Ausgezeichnete Punkte BearbeitenGleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch Die Symmetrieachse stimmt mit der Hohe der Mittelsenkrechten Streckensymmetrale und der Seitenhalbierenden Schwerlinie der Basis und mit der Winkelhalbierenden Winkelsymmetrale des Winkels an der Spitze uberein Der Hohenschnittpunkt der Umkreismittelpunkt der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse In einem gleichschenkligen Dreieck das nicht gleichseitig ist stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse uberein nbsp Gleichschenkliges Dreieck mit Symmetrieachse Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt Seitenhalbierende und Schwerpunkt Winkelhalbierende und InkreismittelpunktSiehe auch Ausgezeichnete Punkte im DreieckSehnenvielecke Bearbeiten nbsp Ein Sehnenvieleck wird von den Radien seines Umkreises in gleichschenklige Dreiecke zerlegt Jedes Sehnenvieleck das den Mittelpunkt seines Umkreises enthalt kann von den Radien dieses Kreises die durch seine Eckpunkte verlaufen in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden Diese Dreiecke sind gleichschenklig weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind Diese Zerlegung kann verwendet werden um eine Formel fur den Flacheninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlangen abzuleiten auch fur Sehnenvielecke die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron fur Dreiecke und Brahmaguptas Formel fur Sehnenvierecke Polyeder mit gleichschenkligen Dreiecken BearbeitenEinige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflachen zum Beispiel regelmassige Pyramiden und regelmassige Doppelpyramiden Die Oberflache einiger catalanischer Korper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch d h sie konnen durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden nbsp Quadratische Pyramide nbsp Regelmassige funfseitige Pyramide nbsp Dreiseitige regelmassige Doppelpyramide nbsp Quadratische Doppelpyramide nbsp Triakistetraeder nbsp Triakisoktaeder nbsp Tetrakishexaeder nbsp Pentakisdodekaeder nbsp TriakisikosaederSiehe auch BearbeitenDreieck Gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Spitzwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck Schenkeltransversalensatz Lehrsatz uber gleichschenklige Dreiecke Literatur BearbeitenH S M Coxeter Unvergangliche Geometrie Birkhauser Basel u a 1963 Deutsche Ubersetzung von Introduction to Geometry Wiley 1961 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Gleichschenkliges Dreieck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Isosceles Triangle In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Jurgen Koller Gleichschenkliges Dreieck Hohe und Radius des Inkreises Abgerufen am 8 Juni 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gleichschenkliges Dreieck amp oldid 237836204