Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist Der Satz beschreibt eine mathematische Formel mit deren Hilfe der Flacheninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlangen berechenbar ist Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw heronische Formel oder auch die Formel von Heron Ein Dreieck mit den Seitenlangen a b und c Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Andere Darstellungen 1 2 Zahlenbeispiel 1 3 Zusammenhang mit Sehnenvierecken 2 Beweis 2 1 Beweis mit dem Satz des Pythagoras 2 2 Beweis mit dem Kosinussatz 2 3 Beweis mit dem Kotangenssatz 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Flacheninhalt A displaystyle A nbsp eines Dreiecks der euklidischen Ebene mit den Seitenlangen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp und halbem Umfang s a b c 2 displaystyle s frac a b c 2 nbsp ist A s s a s b s c displaystyle A sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c nbsp 1 Andere Darstellungen Bearbeiten Diese Formel lasst sich auch so ausdrucken A 1 4 a b c a b c a b c a b c displaystyle A frac 1 4 cdot sqrt a b c cdot a b c cdot a b c cdot a b c nbsp V1 Ausmultipliziert erhalt man A 1 4 2 a 2 b 2 2 b 2 c 2 2 c 2 a 2 a 4 b 4 c 4 displaystyle A frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot a 2 cdot b 2 2 cdot b 2 cdot c 2 2 cdot c 2 cdot a 2 a 4 b 4 c 4 nbsp V2 Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gangig A 1 4 4 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 displaystyle A frac 1 4 cdot sqrt 4 cdot a 2 cdot b 2 a 2 b 2 c 2 2 nbsp V3 2 welche man aus der Version V1 durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt 16 A 2 a b c a b c c a b c a b a b 2 c 2 c 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 c 2 c 2 a 2 2 a b b 2 2 a b a 2 b 2 c 2 2 a b a 2 b 2 c 2 4 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 displaystyle begin aligned 16 cdot A 2 amp bigl a b c cdot a b c bigr cdot bigl c a b cdot c a b bigr amp bigl a b 2 c 2 bigr cdot bigl c 2 a b 2 bigr amp bigl a 2 2 cdot a cdot b b 2 c 2 bigr cdot bigl c 2 a 2 2 cdot a cdot b b 2 bigr amp bigl 2 cdot a cdot b a 2 b 2 c 2 bigr cdot bigl 2 cdot a cdot b a 2 b 2 c 2 bigr amp 4 cdot a 2 cdot b 2 a 2 b 2 c 2 2 end aligned nbsp Aus der Version V3 lasst sich schliesslich eine Darstellung mit einer Determinante ableiten 3 4 A 1 4 det 0 1 1 1 1 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 displaystyle A frac 1 4 cdot sqrt det left begin matrix 0 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 0 amp a 2 amp b 2 1 amp a 2 amp 0 amp c 2 1 amp b 2 amp c 2 amp 0 end matrix right nbsp 5 V4 Dies ist ein Spezialfall der Cayley Menger Determinante mit der man das Volumen eines Simplexes der Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimensionen zum Beispiel ein Tetraeder in drei Dimensionen berechnen kann V4 erhalt man aus V3 unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt 4 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 4 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 2 det 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 2 b 2 det 1 a 2 b 2 0 2 a 2 c 2 a 2 b 2 0 c 2 a 2 b 2 2 b 2 det 1 a 2 b 2 1 a 2 c 2 a 2 1 c 2 b 2 b 2 det 0 1 0 0 1 0 a 2 b 2 1 a 2 a 2 c 2 a 2 1 b 2 c 2 b 2 b 2 det 0 1 1 1 1 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 displaystyle begin aligned 4 cdot a 2 cdot b 2 a 2 b 2 c 2 2 amp 4 cdot a 2 cdot b 2 c 2 a 2 b 2 2 amp det left begin matrix 2 cdot a 2 amp c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 amp 2 cdot b 2 end matrix right amp det left begin matrix 1 amp a 2 amp b 2 0 amp 2 cdot a 2 amp c 2 a 2 b 2 0 amp c 2 a 2 b 2 amp 2 cdot b 2 end matrix right amp det left begin matrix 1 amp a 2 amp b 2 1 amp a 2 amp c 2 a 2 1 amp c 2 b 2 amp b 2 end matrix right amp det left begin matrix 0 amp 1 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp a 2 amp b 2 1 amp a 2 amp a 2 amp c 2 a 2 1 amp b 2 amp c 2 b 2 amp b 2 end matrix right amp det left begin matrix 0 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 0 amp a 2 amp b 2 1 amp a 2 amp 0 amp c 2 1 amp b 2 amp c 2 amp 0 end matrix right end aligned nbsp Zahlenbeispiel Bearbeiten Ein Dreieck mit den Seitenlangen a 4 displaystyle a 4 nbsp b 13 displaystyle b 13 nbsp und c 15 displaystyle c 15 nbsp hat den halben Umfang s a b c 2 4 13 15 2 16 displaystyle s frac a b c 2 frac 4 13 15 2 16 nbsp Eingesetzt in die Formel erhalt man den Flacheninhalt A s s a s b s c displaystyle A sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c nbsp 16 16 4 16 13 16 15 displaystyle sqrt 16 cdot 16 4 cdot 16 13 cdot 16 15 nbsp 16 12 3 1 displaystyle sqrt 16 cdot 12 cdot 3 cdot 1 nbsp 576 24 displaystyle sqrt 576 24 nbsp Eine andere Darstellung der Formel ergibt A 1 4 a b c a b c a b c a b c displaystyle A frac 1 4 cdot sqrt a b c cdot a b c cdot a b c cdot a b c nbsp 1 4 4 13 15 4 13 15 4 13 15 4 13 15 displaystyle frac 1 4 cdot sqrt 4 13 15 cdot 4 13 15 cdot 4 13 15 cdot 4 13 15 nbsp 1 4 32 24 6 2 1 4 9216 1 4 96 24 displaystyle frac 1 4 cdot sqrt 32 cdot 24 cdot 6 cdot 2 frac 1 4 cdot sqrt 9216 frac 1 4 cdot 96 24 nbsp In diesem Beispiel sind die Seitenlangen und der Flacheninhalt ganze Zahlen Deshalb ist ein Dreieck mit den Seitenlangen 4 13 und 15 ein heronisches Dreieck Zusammenhang mit Sehnenvierecken Bearbeiten Die Formel kann als Grenzfall aus der Formel fur den Flacheninhalt eines Sehnenvierecks gewonnen werden wenn zwei der Eckpunkte ineinander ubergehen so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Lange Null annimmt Fur den Flacheninhalt eines Sehnenvierecks gilt namlich nach der Formel von Brahmagupta A s a s b s c s d displaystyle A sqrt s a cdot s b cdot s c cdot s d nbsp wobei hier der halbe Umfang s a b c d 2 displaystyle s frac a b c d 2 nbsp ist Beweis BearbeitenBeweis mit dem Satz des Pythagoras Bearbeiten nbsp Nach dem Satz des Pythagoras gilt b 2 h 2 d 2 displaystyle b 2 h 2 d 2 nbsp und a 2 h 2 c d 2 displaystyle a 2 h 2 c d 2 nbsp siehe Abbildung Subtraktion ergibt a 2 b 2 c 2 2 c d displaystyle a 2 b 2 c 2 2 cdot c cdot d nbsp also d a 2 b 2 c 2 2 c displaystyle d frac a 2 b 2 c 2 2 cdot c nbsp Fur die Hohe h displaystyle h nbsp des Dreiecks gilt h 2 b 2 d 2 displaystyle h 2 b 2 d 2 nbsp Einsetzen der letzten Gleichung liefert h 2 b 2 a 2 b 2 c 2 2 c 2 2 b c 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 c 2 2 b c a 2 b 2 c 2 2 b c a 2 b 2 c 2 4 c 2 b c 2 a 2 a 2 b c 2 4 c 2 b c a b c a a b c a b c 4 c 2 2 s 2 s a 2 s c 2 s b 4 c 2 4 s s a s b s c c 2 displaystyle begin aligned h 2 amp b 2 left frac a 2 b 2 c 2 2 cdot c right 2 amp left frac 2 cdot b cdot c 2 cdot c right 2 left frac a 2 b 2 c 2 2 cdot c right 2 amp frac 2 cdot b cdot c a 2 b 2 c 2 cdot 2 cdot b cdot c a 2 b 2 c 2 4 cdot c 2 amp frac b c 2 a 2 cdot a 2 b c 2 4 cdot c 2 amp frac b c a cdot b c a cdot a b c cdot a b c 4 cdot c 2 amp frac 2 cdot s cdot 2 cdot s a cdot 2 cdot s c cdot 2 cdot s b 4 cdot c 2 amp frac 4 cdot s cdot s a cdot s b cdot s c c 2 end aligned nbsp Anwenden der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt h 2 c s s a s b s c displaystyle h frac 2 c cdot sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c nbsp Daraus folgt fur den Flacheninhalt des Dreiecks A c h 2 c 2 2 c s s a s b s c s s a s b s c displaystyle begin aligned A amp frac c cdot h 2 amp frac c 2 cdot frac 2 c cdot sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c amp sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c end aligned nbsp Beweis mit dem Kosinussatz Bearbeiten Nach dem Kosinussatz gilt cos g a 2 b 2 c 2 2 a b displaystyle cos gamma frac a 2 b 2 c 2 2 cdot a cdot b nbsp Eingesetzt in den trigonometrischen Pythagoras folgt daraus sin g 1 cos 2 g 2 a b 2 a b 2 a 2 b 2 c 2 2 a b 2 1 2 a b 2 a b 2 a 2 b 2 c 2 2 displaystyle sin gamma sqrt 1 cos 2 gamma sqrt left frac 2 cdot a cdot b 2 cdot a cdot b right 2 left frac a 2 b 2 c 2 2 cdot a cdot b right 2 frac 1 2 cdot a cdot b cdot sqrt 2 cdot a cdot b 2 a 2 b 2 c 2 2 nbsp Die Hohe des Dreiecks auf der Seite a displaystyle a nbsp hat die Lange b sin g displaystyle b cdot sin gamma nbsp Einsetzen der letzten Gleichung liefert A a b sin g 2 1 4 2 a b 2 a 2 b 2 c 2 2 1 4 2 a b a 2 b 2 c 2 2 a b a 2 b 2 c 2 1 4 a b 2 c 2 c 2 a b 2 1 4 a b c a b c c a b c a b 1 4 a b c a b c a b c a b c s s a s b s c displaystyle begin aligned A amp frac a cdot b cdot sin gamma 2 amp frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot a cdot b 2 a 2 b 2 c 2 2 amp frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot a cdot b a 2 b 2 c 2 cdot 2 cdot a cdot b a 2 b 2 c 2 amp frac 1 4 cdot sqrt a b 2 c 2 cdot c 2 a b 2 amp frac 1 4 cdot sqrt a b c cdot a b c cdot c a b cdot c a b amp frac 1 4 cdot sqrt a b c cdot a b c cdot a b c cdot a b c amp sqrt s cdot s a cdot s b cdot s c end aligned nbsp Beweis mit dem Kotangenssatz Bearbeiten nbsp Der Inkreisradius des Dreiecks sei r displaystyle r nbsp Mit Hilfe des Kotangenssatz erhalt man fur den Flacheninhalt A r s a s b s c r 2 s a r s b r s c r r 2 cot a 2 cot b 2 cot g 2 displaystyle begin aligned A amp r cdot s a s b s c amp r 2 cdot left frac s a r frac s b r frac s c r right amp r 2 cdot left cot frac alpha 2 cot frac beta 2 cot frac gamma 2 right end aligned nbsp Mit der Gleichung cot a 2 cot b 2 cot g 2 cot a 2 cot b 2 cot g 2 displaystyle cot frac alpha 2 cot frac beta 2 cot frac gamma 2 cot frac alpha 2 cdot cot frac beta 2 cdot cot frac gamma 2 nbsp fur Dreiecke siehe Formelsammlung Trigonometrie folgt daraus A r 2 cot a 2 cot b 2 cot g 2 r 2 s a r s b r s c r s a s b s c r displaystyle begin aligned A amp r 2 cdot left cot frac alpha 2 cdot cot frac beta 2 cdot cot frac gamma 2 right amp r 2 cdot left frac s a r cdot frac s b r cdot frac s c r right amp frac s a cdot s b cdot s c r end aligned nbsp Ausserdem gilt A r a b c 2 r s displaystyle A frac r cdot a b c 2 r cdot s nbsp siehe Abbildung Aus der Multiplikation dieser Gleichungen ergibt sich A 2 s s a s b s c displaystyle A 2 s cdot s a cdot s b cdot s c nbsp und daraus der Satz des Heron Literatur BearbeitenHermann Athen Jorn Bruhn Hrsg Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete Band 2 F K Aulis Verlag Deubner Koln 1977 ISBN 3 7614 0242 2 Anna Maria Fraedrich Die Satzgruppe des Pythagoras Lehrbucher und Monographien zur Didaktik der Mathematik Band 29 B I Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 17321 1 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 49327 3 Theophil Lambacher Wilhelm Schweizer Hrsg Lambacher Schweizer Mathematisches Unterrichtswerk fur hohere Schulen Geometrie Ausgabe E Teil 2 13 Auflage Ernst Klett Verlag Stuttgart 1965 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweisarchiv Geometrie Planimetrie Dreieck Satz des Heron Lern und Lehrmaterialien Eric W Weisstein Satz des Heron In MathWorld englisch Elementarer Beweis Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes deutsch PDF 88 kB Walter Fendt Die heronische Formel fur die Dreiecksflache PDF 82 kB Beweis und FolgerungenEinzelnachweise Bearbeiten Ausfuhrlicher Beweis siehe auch Wikibooks Beweisarchiv Zu beachten ist hierbei dass sich die Rollen der Seitenlangen a b c displaystyle a b c nbsp beliebig vertauschen lassen Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig S 380 381 ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 49327 3 S 111 Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlangen a b c displaystyle a b c nbsp vertauschen was zu einer gleichwertigen aber entsprechend abgewandelten Darstellung fuhrt Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz des Heron amp oldid 236587400
