Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik ist der Limes oder Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle der Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert, so konvergiert die Funktion, andernfalls divergiert sie. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert formalisiert. Es ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis.

Formale Definition des Limes einer reellen Funktion

Der Grenzwert der Funktion f für x gegen p ist gleich L dann und nur dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x mit 0 < |x−p| < δ auch |f(x)−L| < ε gilt

Das Symbol , gelesen „Limes f von x für x gegen p“, bezeichnet den Limes der reellen Funktion für den Grenzübergang der Variablen gegen . Dabei muss nicht unbedingt im Definitionsbereich von liegen, aber es muss ein Häufungspunkt von sein. Außerdem kann sowohl eine reelle Zahl sein als auch einer der symbolischen Werte und . Auch der Limes kann eine reelle Zahl oder oder sein (siehe auch Asymptote).

Alle diese Fälle lassen sich einheitlich mit der Definition über Folgengrenzwerte erfassen, siehe den Abschnitt unten.

Üblicher ist die Definition mit Hilfe von Umgebungen. Dann muss man vier Fälle unterscheiden, da sowohl das Argument als auch der Grenzwert endlich oder unendlich sein kann.

Argument endlich, Grenzwert endlich

• Definition: Sei eine Teilmenge von und ein Häufungspunkt von . Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen) ein (im Allgemeinen von abhängiges) gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch gilt.

Qualitativ ausgedrückt bedeutet die Definition: Der Unterschied zwischen dem Funktionswert und dem Limes wird beliebig klein, wenn man genügend nahe bei (aber ungleich ) wählt.

Zu beachten ist, dass es keine Rolle spielt, welchen Wert die Funktion an der Stelle einnimmt; die Funktion braucht nicht einmal an der Stelle definiert zu sein. Entscheidend ist lediglich das Verhalten von in den punktierten Umgebungen von . Manche Autoren verwenden allerdings eine Definition mit Umgebungen, die nicht punktiert sind; siehe dazu den Abschnitt „Neuerer Grenzwertbegriff“.

Im Gegensatz zur von Augustin-Louis Cauchy verwendeten Formulierung, dass sich „die Funktion dem Grenzwert annähert“, ist keine Variable, die „läuft“, sondern einfach nur ein Element einer vorgegebenen Menge. Diese heute verwendete statische --Definition geht im Wesentlichen auf Karl Weierstraß zurück und stellte den Grenzwertbegriff auf ein solides mathematisches Fundament, die sogenannte Epsilontik.

Beispiel:

Argument endlich, Grenzwert unendlich

• Definition: Sei eine Teilmenge von und ein Häufungspunkt von . Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl ein (im Allgemeinen von abhängiges) gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch erfüllt ist.

Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes definiert.

Beispiel:

Argument unendlich, Grenzwert endlich

• Definition: Sei eine Teilmenge von und ein Häufungspunkt von , d. h. ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen) eine (im Allgemeinen von abhängige) reelle Zahl gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch erfüllt ist.

Entsprechend lassen sich Grenzwerte des Typs definieren.

Beispiel:

Argument unendlich, Grenzwert unendlich

• Definition: Sei eine Teilmenge von und ein Häufungspunkt von , d. h. ist nach oben unbeschränkt. Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jeder (noch so großen) reellen Zahl eine (im Allgemeinen von abhängige) reelle Zahl gibt, sodass für beliebige -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch erfüllt ist.

Entsprechend wird der Fall des Grenzwertes und der Grenzwert für definiert.

Beispiel:

Definition mit Hilfe von Folgen

Die unterschiedlichen Fälle lassen sich mit Hilfe von Folgen einheitlich behandeln.

Dazu charakterisiert man zunächst den Begriff des Häufungspunktes einer Teilmenge mittels Folgen:

Ein Punkt ist ein Häufungspunkt von genau dann, wenn es eine Folge mit gibt, die erfüllt. Siehe dazu Grenzwert (Folge).

Mit dieser Eigenschaft lässt sich eine alternative Grenzwertdefinition formulieren:

• Definition: Sei eine Funktion, ein Häufungspunkt von und . Dann definiert man: genau dann, wenn für jede Folge mit und gilt: .

Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zu den oben gegebenen Definitionen ist.

Einseitige Grenzwerte

Definition

Sei eine Teilmenge von und ein Häufungspunkt von . Die Funktion hat für den Limes , wenn es zu jedem (noch so kleinen) ein (im Allgemeinen von abhängiges) gibt, sodass für alle -Werte aus dem Definitionsbereich von , die der Bedingung genügen, auch gilt.

Entsprechend werden Grenzwerte des Typs beziehungsweise für definiert.

Beispiele

Funktion	rechtsseitiger Grenzwert	linksseitiger Grenzwert	beidseitiger Grenzwert
			existiert nicht
			existiert nicht

Notation

rechtsseitiger Grenzwert
linksseitiger Grenzwert

Einseitiger und beidseitiger Grenzwert

Um Verwechslungen zu vermeiden, spricht man im Falle von mitunter auch vom beidseitigen Grenzwert. Falls ein Häufungspunkt von und von ist, so gilt:

existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte und existieren und übereinstimmen. In diesem Falle gilt die Gleichheit .

Und genau dann, wenn im Punkt definiert ist und gilt, ist an der Stelle stetig.

Grenzwertsätze

Sei , und zwei reellwertige Funktionen, deren Grenzwerte und existieren, wobei und ein Häufungspunkt von aus den erweiterten reellen Zahlen ist. Dann existieren auch die folgenden Grenzwerte und lassen sich wie angegeben berechnen:

Ist zusätzlich , so existiert auch , und es gilt

• .

Gilt sowohl als auch , so lässt sich der Grenzwertsatz nicht anwenden. In vielen Fällen kann man den Grenzwert aber mit der Regel von de L’Hospital bestimmen.

• Schachtelungssatz:

Ist und ist , so ist auch .

• Kettenregel:

Aus und mit folgt , falls gilt ( also an der Stelle stetig ist) oder in einer Umgebung von den Wert nicht annimmt.
Beispiel:
Gesucht ist . Für gilt:

Anwenden der Kettenregel mit liefert

Anwendung auf den Differenzenquotienten

Die Anwendung des Grenzwertbegriffs auf Differenzenquotienten hat sich als besonders ergiebig erwiesen. Er bildet die eigentliche Grundlage der Analysis.

Differentialquotient und Differenzierbarkeit Differentialquotienten (auch Ableitungen genannt) sind die Grenzwerte der Differenzenquotienten einer Funktion, also Ausdrücke der Form

mit und . Schreibweisen sind z. B. oder , sofern dieser Grenzwert existiert. Mit den Eigenschaften und der Berechnung von Differentialquotienten befasst sich die Differentialrechnung.

Existiert ein Differentialquotient einer Funktion an der Stelle , dann heißt die Funktion differenzierbar an der Stelle .

Wichtige Grenzwerte

Der bei der Ableitung der Potenzfunktionen mit auftretende Grenzwert lässt sich mit dem binomischen Lehrsatz berechnen:

Der bei der Ableitung der Exponentialfunktionen mit auftretende Grenzwert benötigt die Einführung der eulerschen Zahl und den darauf beruhenden natürlichen Logarithmus:

Die Ableitung der Winkelfunktionen führt letztlich auf den Grenzwert . Für die Berechnung dieses Grenzwerts gibt es unterschiedliche Zugänge, je nachdem, wie die Winkelfunktionen und die Zahl Pi analytisch definiert werden. Misst man den Winkel im Bogenmaß, so erhält man

Neuerer Grenzwertbegriff

In jüngerer Zeit wird auch eine Variante des Grenzwertbegriffs verwendet, der mit Umgebungen arbeitet, die nicht punktiert sind. Unter Verwendung von Folgen definiert diese Variante den Grenzwert folgendermaßen: Sei eine Funktion, ein Element der abgeschlossenen Hülle und . Dann definiert man: genau dann, wenn für jede Folge mit und gilt: .

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt nicht mehr verboten ist, falls . Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von .

Eine äquivalente nichtpunktierte --Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen --Definition braucht nur durch ersetzt zu werden, also ebenfalls der Fall ausdrücklich erlaubt zu werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist stetig in genau dann, wenn der Grenzwert von für existiert und gilt oder wenn ein isolierter Punkt ist. In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung ist damit automatisch erfüllt.

Beispiel:

Diese Funktion ist nicht stetig. Der Grenzwert im nichtpunktierten Sinn existiert nicht. Der Grenzwert im punktierten Sinn existiert allerdings: , da ausdrücklich verlangt wird und für diese Werte gilt. Offensichtlich ist allerdings .

Zur Vermeidung von Missverständnissen empfehlen die Vertreter der nichtpunktierten Variante daher, den punktierten Grenzwert von für folgendermaßen zu bezeichnen:

Die Vertreter der neueren Variante sehen den Vorteil ihrer Variante gegenüber der klassischen punktierten Variante von Weierstraß darin, dass sich Grenzwertsätze mit der neueren Variante leichter formulieren lassen, weil die Sonderfälle, die sich durch die Punktierung ergeben, nicht mehr berücksichtigt werden müssen.

Grenzwert einer Funktion bezüglich eines Filters

→ Hauptartikel: Filterkonvergenz

Sowohl der klassische Grenzwertbegriff von Weierstraß als auch der neuere Grenzwertbegriff lassen sich als Spezialfälle des allgemeinen Grenzwertbegriffs einer Funktion bezüglich eines Filters auffassen:

Sei eine Funktion von nach , wobei mit einer Topologie versehen ist, und ein Filter auf . Ein Punkt heißt Grenzwert der Funktion bezüglich des Filters , wenn der von der Filterbasis erzeugte Filter gegen konvergiert, also wenn der von der Filterbasis erzeugte Filter feiner ist als der Umgebungsfilter von .

Die neuere Definition für den Grenzwert einer Funktion im Punkt entspricht nun dem Spezialfall, dass als der Umgebungsfilter von gewählt wird; die klassische Definition von Weierstraß entspricht dem Spezialfall, dass als der von den punktierten Umgebungen von erzeugte Filter gewählt wird.

Siehe auch

• Stetig hebbare Definitionslücke

Einzelnachweise

1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Definition 38.1.
2. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0. Kapitel 245 Die neue Strenge. S. 697.
3. Daniel Grieser: Analysis I. Springer 2015, ISBN 978-3-658-05946-0. Kapitel 11.1.
4. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 39.1.
5. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Definition 46.1.
6. Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
7. H. Amann, J. Escher: Analysis I. Birkhäuser, Basel 1998, ISBN 3-7643-5974-9. S. 255.
8. G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001. Definition 2.3.27.
9. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 38.2.
10. G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001. Bemerkung 2.3.28, Punkt 1.
11. G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001 Definition 2.3.2, Bemerkung 3.
12. G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1. Wintersemester 2000–2001. Bemerkung 2.3.28 Punkt 5.
13. N. Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7, Définition 3.
14. N. Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7.4.
15. N. Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6. Chapitre I, § 7.5.

Weblinks

Commons: Grenzwert einer Funktion – Sammlung von Bildern

• Eric W. Weisstein: Limit. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Epsilon-Delta Definition. In: MathWorld (englisch).