Isolierter Punkt In der Topologie ist ein Element a displaystyle a einer Menge X displaystyle X ein isolierter Punkt wen

In der Topologie ist ein Element einer Menge ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von gibt, in der (außer ) keine weiteren Elemente von liegen. Ein Punkt ist also genau dann isoliert, wenn kein Häufungspunkt von ist.

Ist jeder Punkt eines topologischen Raumes isoliert, nennt man den Raum diskret.

Definition Bearbeiten

Sei ein metrischer Raum und . Ein Punkt heißt isolierter Punkt von A, wenn es gibt mit .

Beispiele Bearbeiten

Die folgenden Beispiele benutzen Teilmengen der reellen Zahlen mit der üblichen Topologie.

In der Menge ist ein isolierter Punkt.
In der Menge ist jedes der Elemente ein isolierter Punkt, aber ist kein isolierter Punkt.
In der Menge der natürlichen Zahlen sind alle Elemente isolierte Punkte. Es handelt sich also um einen diskreten Raum.

Einzelnachweise Bearbeiten

Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.
Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.

[1] Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, § 2.3 Definition.

[2] Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Kap. 2.1, Definition auf Seite 299.