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Epsilontik Die ist ein Begriff aus der Analysis Sie wird verwendet um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisc

Epsilontik

Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis. Sie wird verwendet, um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren. Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die -Umgebung, also das offene Intervall um eine reelle Zahl a.

Eine Epsilon- bzw. ε-Umgebung um die Zahl a,
eingezeichnet auf der Zahlengeraden

Anwendungen Bearbeiten

Die Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet:

Historisches Bearbeiten

Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die -Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat. Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert – „strebt gegen“ oder „wird beliebig klein“ –, so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und Beweise ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

Beispiel Bearbeiten

Das Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis für eine konkrete Folge gezeigt werden.

Definition Bearbeiten

Eine Folge reeller Zahlen konvergiert gegen den Grenzwert , wenn es zu jeder Zahl mit eine Zahl gibt, so dass für jeden Index gilt: .

Oder in den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen den Grenzwert , wenn

1
2
zu lesen als: Für alle Epsilon größer null existiert ein , für das gilt, dass für alle gilt: Betrag von fn minus g ist kleiner als Epsilon.

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl einen Index gibt – der im Allgemeinen von abhängt –, so dass alle weiteren Folgenglieder in der -Umgebung des Grenzwertes liegen.

Satz Bearbeiten

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert .

Beweis Bearbeiten

Es sei > 0, d. h. eine -Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben. Der Ausdruck

soll nun für kleiner als werden. Dies wird erreicht, wenn man so wählt, dass ist. Denn dann ist für alle

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Begriff der -Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der -Umgebung in metrischen Räumen verallgemeiner werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der offenen Menge in einem topologischen Raum dar.

Anmerkungen Bearbeiten

  • Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.
  2. Epsilontik. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

Literatur Bearbeiten

  • K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
  • K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.
  • B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1976, ISBN 3-540-06417-6.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis Sie wird verwendet um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon e displaystyle varepsilon ab der fur eine kleine positive reelle Zahl steht Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die e displaystyle varepsilon Umgebung also das offene Intervall a e a e displaystyle a varepsilon a varepsilon um eine reelle Zahl a Eine Epsilon bzw e Umgebung um die Zahl a eingezeichnet auf der Zahlengeraden Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen 2 Historisches 3 Beispiel 3 1 Definition 3 2 Satz 3 3 Beweis 4 Verallgemeinerungen 5 Anmerkungen 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 LiteraturAnwendungen BearbeitenDie Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet Konvergenz einer Zahlenfolge gegen einen Grenzwert Cauchy Folge Grenzwert von Funktionen Stetigkeit und gleichmassige Stetigkeit einer FunktionHistorisches BearbeitenDie Epsilontik geht auf Karl Weierstrass zuruck der erstmals die e displaystyle varepsilon nbsp Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingefuhrt hat 1 Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert strebt gegen oder wird beliebig klein so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament das exakte Definitionen und Beweise ermoglicht Dies war ein wichtiger Beitrag fur die gesamte Analysis fur die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist Beispiel BearbeitenDas Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition fur die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis fur eine konkrete Folge gezeigt werden Definition Bearbeiten Eine Folge reeller Zahlen f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp konvergiert gegen den Grenzwert g displaystyle g nbsp wenn es zu jeder Zahl e R displaystyle varepsilon in mathbb R nbsp mit e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine Zahl n 0 N displaystyle n 0 in mathbb N nbsp gibt so dass fur jeden Index n gt n 0 displaystyle n gt n 0 nbsp gilt f n g lt e displaystyle f n g lt varepsilon nbsp Oder in den beiden gebrauchlichen Quantoren Schreibweisen Eine Folge reeller Zahlen f n displaystyle f n nbsp konvergiert genau dann gegen den Grenzwert g displaystyle g nbsp wenn 1 e gt 0 displaystyle bigwedge varepsilon gt 0 nbsp n 0 N displaystyle bigvee n 0 in mathbb N nbsp n gt n 0 displaystyle bigwedge n gt n 0 nbsp f n g lt e displaystyle left f n g right lt varepsilon nbsp 2 e gt 0 displaystyle forall varepsilon gt 0 nbsp n 0 N displaystyle exists n 0 in mathbb N nbsp n gt n 0 displaystyle forall n gt n 0 nbsp f n g lt e displaystyle left f n g right lt varepsilon nbsp zu lesen als Fur alle Epsilon grosser null existiert ein n 0 displaystyle n 0 nbsp fur das gilt dass fur alle n gt n 0 displaystyle n gt n 0 nbsp gilt Betrag von fn minus g ist kleiner als Epsilon Das bedeutet dass es fur jede noch so kleine positive Zahl e displaystyle varepsilon nbsp einen Index n 0 displaystyle n 0 nbsp gibt der im Allgemeinen von e displaystyle varepsilon nbsp abhangt so dass alle weiteren Folgenglieder in der e displaystyle varepsilon nbsp Umgebung des Grenzwertes liegen Satz Bearbeiten Die Folge f n n N 1 n n N displaystyle f n n in mathbb N tfrac 1 n n in mathbb N nbsp konvergiert gegen den Grenzwert g 0 displaystyle g 0 nbsp Beweis Bearbeiten Es sei e displaystyle varepsilon nbsp gt 0 d h eine e displaystyle varepsilon nbsp Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben Der Ausdruck f n g 1 n displaystyle f n g frac 1 n nbsp soll nun fur n gt n 0 displaystyle n gt n 0 nbsp kleiner als e displaystyle varepsilon nbsp werden Dies wird erreicht wenn man n 0 displaystyle n 0 nbsp so wahlt dass n 0 gt 1 e displaystyle n 0 gt tfrac 1 varepsilon nbsp ist Denn dann ist fur alle n gt n 0 displaystyle n gt n 0 nbsp f n g 1 n lt 1 n 0 lt e displaystyle f n g frac 1 n lt frac 1 n 0 lt varepsilon nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDer Begriff der e displaystyle varepsilon nbsp Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden kann auf die kreisformige offene Umgebung in der Ebene die kugelformige im Raum oder allgemein zum Begriff der e displaystyle varepsilon nbsp Umgebung in metrischen Raumen verallgemeiner werden Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der offenen Menge in einem topologischen Raum dar Anmerkungen BearbeitenVereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll 2 Siehe auch BearbeitenFilter FilterkonvergenzEinzelnachweise Bearbeiten Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 2 B G Teubner Stuttgart 1990 ISBN 3 519 42222 0 S 696 f Epsilontik In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Literatur BearbeitenK Endl W Luh Analysis Band 1 Akademische Verlagsgesellschaft 1972 ISBN 3 400 00185 6 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 B v Querenburg Mengentheoretische Topologie Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1976 ISBN 3 540 06417 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Epsilontik amp oldid 238312963