Ein Quantor oder Quantifikator die Re Latinisierung des von C S Peirce eingefuhrten Ausdrucks quantifier 1 ist ein Operator der Pradikatenlogik Neben den Junktoren sind die Quantoren Grundzeichen der Pradikatenlogik Allen Quantoren gemeinsam ist dass sie Variablen binden Die beiden gebrauchlichsten Quantoren sind der Existenzquantor in naturlicher Sprache zum Beispiel als mindestens ein ausgedruckt und der Allquantor in naturlicher Sprache zum Beispiel als alle oder jede r s ausgedruckt Andere Arten von Quantoren sind Anzahlquantoren wie ein oder zwei die sich auf Existenz beziehungsweise Allquantor zuruckfuhren lassen und Quantoren wie manche einige oder viele die auf Grund ihrer Unbestimmtheit im Gegensatz etwa zu alle oder kein e 2 in der klassischen Logik nicht verwendet werden Inhaltsverzeichnis 1 Existenz und Allquantor 1 1 Schreib und Sprechweise 1 2 Wahrheitsbedingungen 1 3 Beispiele fur Formalisierungen 1 3 1 Beispiele fur einstellige Pradikate 1 3 2 Beispiele fur komplexe Satze 1 4 Beispiele fur quantorenlogische Satzformeln 1 4 1 Einfach quantifizierte Satzformeln 1 4 2 Mehrfach quantifizierte Satzformeln 1 4 3 Komplexe Beispiele 1 5 Wechselseitige Definierbarkeit der Quantoren 1 6 Moderne Quantoren und aristotelische Syllogistik 2 Anzahlquantoren 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise 5 WeblinksExistenz und Allquantor Bearbeiten nbsp Quantoren und Buchstaben Ǝ Ɐ E A in Schriftart Cambria MathSchreib und Sprechweise Bearbeiten Der Existenzquantor wird durch das Zeichen ein horizontal gespiegeltes zumeist serifenloses E oder durch das Zeichen displaystyle bigvee nbsp dargestellt manchmal vor allem in maschinengeschriebenen Texten als geklammertes gewohnliches E Der Allquantor wird durch das Zeichen ein auf den Kopf gestelltes zumeist serifenloses A oder das Zeichen displaystyle bigwedge nbsp oder einfach durch eine in Klammern gesetzte Variable dargestellt Schreibweise Variante 1 Variante 2 Sprechweise Gebrauchliche Bezeichnungen x displaystyle exists x nbsp x displaystyle bigvee x nbsp E x displaystyle Ex nbsp Fur mindestens ein einige manche x gilt bzw Es existiert gibt mindestens ein x fur das gilt Existenzquantor Existenzialquantifikator Partikularisator Einsquantor Manchquantor x displaystyle forall x nbsp x displaystyle bigwedge x nbsp x displaystyle x nbsp Fur alle jedes x gilt Allquantor Universalquantor Universalquantifikator GeneralisatorDie Schreibweise displaystyle exists nbsp nicht den Existenzquantor selbst fuhrte Giuseppe Peano 1897 im ersten Band seines Formulaire de mathematiques ein 3 verbreitet wurde sie durch ihre Verwendung in den Principia Mathematica dem ab 1910 erschienenen Grundlagenwerk Russells und Whiteheads Die Schreibweise displaystyle forall nbsp nicht den Allquantor selbst fuhrte Gerhard Gentzen 1934 ein 4 Die Schreibweise des Allquantors in Variante 1 geschieht in Anlehnung an das logische Und gilt eine Aussage fur alle x displaystyle x nbsp so gilt es fur x 1 und x 2 und displaystyle x 1 text und x 2 text und dots nbsp ebenso wie die Schreibweise des Existenzquantors in Variante 1 an das logische Oder angelehnt ist existiert ein x displaystyle x nbsp fur das die Aussage gilt so gilt die Aussage fur x 1 oder x 2 oder displaystyle x 1 text oder x 2 text oder dots nbsp Aus dieser Analogie kann man die Regeln fur die Verneinung einer Aussage welche einen Allquantor oder einen Existenzquantor enthalt unter Verwendung der De Morganschen Gesetze erhalten Manche Autoren verstehen einen subtilen Unterschied zwischen der Schreibweise displaystyle exists nbsp displaystyle forall nbsp und Variante 1 der allerdings nur im Currying besteht also nicht im Ergebnis sondern in der Reihenfolge wie die Quantoren auf ihre Argumente wirken Um Eindeutigkeit herzustellen muss bei beiden Schreibweisen daher ggf unterschiedlich geklammert werden Die Menge der betrachteten Elemente x displaystyle x nbsp wird als Individuenbereich bezeichnet Wahrheitsbedingungen Bearbeiten Die Aussage x F x displaystyle exists xF x nbsp ist wahr wenn es mindestens ein x gibt das die Eigenschaft F hat Die Aussage ist also auch dann wahr wenn alle x F sind und die Grundmenge uber die quantifiziert wird nicht leer ist Die Aussage x F x displaystyle forall xF x nbsp ist wahr wenn alle x F sind sonst falsch Es erscheint naheliegend den Existenzquantor als Verkettung von Disjunktionen oder und den Allquantor als Verkettung von Konjunktionen und aufzufassen Gehen wir davon aus dass x als Wert eine naturliche Zahl annehmen kann so ist man versucht zu schreiben x A x A 0 A 1 A 2 displaystyle exists xA x Leftrightarrow A 0 lor A 1 lor A 2 lor dots nbsp x A x A 0 A 1 A 2 displaystyle forall xA x Leftrightarrow A 0 land A 1 land A 2 land dots nbsp Der entscheidende Unterschied ist aber dass die Variable des Quantors bei unendlich grossem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann wahrend eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw Disjunktion mit Punkten fur usw behelfen Beispiele fur Formalisierungen Bearbeiten Beispiele fur einstellige Pradikate Bearbeiten Wenn die Leerstelle eines einstelligen Pradikats durch einen Quantor gebunden wird entsteht bereits eine fertige Aussage Es gibt daher nur zwei Moglichkeiten ein einstelliges Pradikat mittels eines Quantors in eine Aussage zu uberfuhren Allquantifizierung und Existenzquantifizierung Am Beispiel des einstelligen Pradikats ist rosa das hier als F formalisiert werden soll Allquantifizierung Alles ist rosa Fur jedes Ding gilt dass es rosa ist Fur jedes x gilt x ist rosa x F x displaystyle forall xF x nbsp Existenzquantifizierung Etwas mindestens ein Ding ist rosa Es gibt mindestens ein Ding das rosa ist Es gibt mindestens ein x fur das gilt x ist rosa x F x displaystyle exists xF x nbsp Beispiele fur komplexe Satze Bearbeiten Beim Formalisieren sprachlicher Ausserungen verbindet sich der Existenzquantor auf naturliche Weise mit dem und Konjunktion und der Allquantor mit dem wenn dann materiale Implikation Existenzquantor Wollen wir den Satz formalisieren Ein Mann raucht dd so ist dieser zunachst aufzufassen als Es gibt jemanden der Mann ist und raucht dd beziehungsweise wenn man wie in der Formalisierung die Koreferenz des relativen Anschlusses jemand der durch die Verwendung einer Variable ausdruckt Es gibt mindestens ein x fur das gilt x ist ein Mann und x raucht dd man beachte das und und dann folgendermassen zu formalisieren x M x R x displaystyle exists x M x land R x nbsp dd wobei M x fur x ist Mann und R x fur x raucht steht Allquantor Formalisieren wir dagegen Alle Manner rauchen dd so formen wir dies zunachst um in Fur jedes Ding gilt Wenn es ein Mann ist dann raucht es dd beziehungsweise Fur jedes x gilt Wenn x ein Mann ist dann raucht x dd wo wir das wenn dann verwenden und formalisieren dann x M x R x displaystyle forall x M x rightarrow R x nbsp dd Nichtexistenz Der naturlichsprachliche Quantor kein lasst sich auf verschiedene Weisen formalisieren Kein Mann raucht dd lasst sich umschreiben als Es stimmt nicht dass es mindestens ein Ding gibt das Mann ist und das raucht dd beziehungsweise Es stimmt nicht dass es mindestens ein x gibt fur das gilt x ist ein Mann und x raucht dd dd worauf man es wie folgt formalisieren kann x M x R x displaystyle lnot exists x M x land R x nbsp dd Eine andere Formalisierung erreicht man wenn man die Aussage Kein Mann raucht auffasst als Fur alle x gilt wenn x ein Mann ist raucht x nicht Beispiele fur quantorenlogische Satzformeln Bearbeiten Einfach quantifizierte Satzformeln Bearbeiten x S x R x displaystyle forall x S x rightarrow R x nbsp Fur alle Dinge x gilt wenn das Pradikat S auf x zutrifft so trifft auch das Pradikat R auf x zu Oder Alle S sind R x S x R x displaystyle forall x S x rightarrow lnot R x nbsp Fur alle Dinge x gilt wenn das Pradikat S auf x zutrifft so trifft das Pradikat R auf x nicht zu Oder Alle S sind nicht R Oder Kein S ist ein R x S x R x displaystyle exists x S x wedge R x nbsp Es gibt mindestens ein Ding x fur das gilt das Pradikat S trifft auf x zu und das Pradikat R trifft auf x zu Oder Einige S sind R x S x R x displaystyle exists x S x wedge lnot R x nbsp Es gibt mindestens ein Ding x fur das gilt das Pradikat S trifft auf x zu und das Pradikat R trifft auf x nicht zu Oder Einige S sind nicht R x S x R x displaystyle forall x S x wedge R x nbsp Fur alle Dinge x gilt das Pradikat S trifft auf x zu und das Pradikat R trifft auf x zu Oder Alles ist S und R x S x R x displaystyle exists x S x rightarrow R x nbsp Es gibt mindestens ein Ding x fur das gilt wenn das Pradikat S auf x zutrifft so trifft das Pradikat R auf x zu Oder Nicht alle x sind S und nicht R x S c h w e i n x R o s a x displaystyle forall x mathit Schwein x rightarrow mathit Rosa x nbsp Alle Schweine sind rosa wortlich Fur jedes Ding gilt Wenn es ein Schwein ist dann ist es auch rosa x S c h w e i n x R o s a x displaystyle forall x mathit Schwein x rightarrow lnot mathit Rosa x nbsp Kein Schwein ist rosa wortlich Fur jedes Ding gilt Wenn es ein Schwein ist dann ist es nicht rosa x S c h w e i n x R o s a x displaystyle exists x mathit Schwein x wedge mathit Rosa x nbsp Es gibt mindestens ein rosa Schwein wortlich Es gibt mindestens ein Ding das sowohl Schwein als auch rosa ist x S c h w e i n x R o s a x displaystyle exists x mathit Schwein x wedge lnot mathit Rosa x nbsp Es gibt mindestens ein nichtrosa Schwein wortlich Es gibt mindestens ein Ding das sowohl Schwein als auch nichtrosa ist x S c h w e i n x R o s a x displaystyle forall x mathit Schwein x wedge mathit Rosa x nbsp Alles ist ein rosa Schwein wortlich Fur jedes Ding gilt dass es sowohl ein Schwein als auch rosa ist x S c h w e i n x R o s a x displaystyle exists x mathit Schwein x rightarrow mathit Rosa x nbsp Diese selten gebrauchte Aussage deren wortliche Ubersetzung Es gibt mindestens ein Ding das unter der Voraussetzung dass es ein Schwein ist auch rosa ist lautet trifft die Feststellung dass nicht alle Dinge nichtrosa Schweine sind Mehrfach quantifizierte Satzformeln Bearbeiten x y L i e b t x y displaystyle exists x exists y mathit Liebt x y nbsp y x L i e b t x y displaystyle exists y exists x mathit Liebt x y nbsp Die beiden Aussagen Mindestens eine r liebt mindestens eine n und Mindestens eine r wird von mindestens einer m geliebt sind synonym x y L i e b t x y displaystyle forall x forall y mathit Liebt x y nbsp y x L i e b t x y displaystyle forall y forall x mathit Liebt x y nbsp Die beiden Aussagen Jede r liebt jede n und Jede r wird von jeder m geliebt sind synonym x y L i e b t x y displaystyle exists x forall y mathit Liebt x y nbsp Es gibt jemanden der die alle liebt wortlich Es gibt ein Ding sodass fur alle Dinge gilt dass ersteres letzteres liebt kurzer Jemand liebt alle y x L i e b t x y displaystyle exists y forall x mathit Liebt x y nbsp Es gibt jemanden der die von allen geliebt wird wortlich Es gibt ein Ding sodass fur alle Dinge gilt dass letzteres ersteres liebt kurzer Jemand wird von allen geliebt d h alle lieben denselben bzw dieselbe n x y L i e b t x y displaystyle forall x exists y mathit Liebt x y nbsp Fur jeden gibt es jemanden sodass erstere r letztere n liebt wortlich Fur jedes Ding gibt es ein Ding sodass ersteres letzteres liebt kurzer Jede r liebt irgendjemanden d h jeder liebt aber es muss nicht jeder denselben dieselbe n lieben y x L i e b t x y displaystyle forall y exists x mathit Liebt x y nbsp Fur jede n gibt es jemanden der die ihn oder sie liebt wortlich Fur jedes Ding gibt es ein Ding sodass letzteres ersteres liebt kurzer Niemand ist ungeliebt Komplexe Beispiele Bearbeiten x F x y F y x y displaystyle exists x F x wedge forall y F y rightarrow x y nbsp Es gibt genau ein F wortlicher Es gibt mindestens ein Ding das einerseits F ist und fur das gilt dass alle anderen F mit diesem identisch sind x F x x y F x F y x y displaystyle exists xF x wedge forall x forall y F x wedge F y rightarrow x y nbsp Ein Synonym zum vorgenannten Satz wortlich Es gibt mindestens ein F und fur alle Dinge x und alle Dinge y gilt Wenn sowohl x als auch y F sind dann sind x und y identisch Wechselseitige Definierbarkeit der Quantoren Bearbeiten In der klassischen Logik lasst sich jeder der beiden Quantoren durch den jeweils anderen ausdrucken Die Allaussage x f x displaystyle forall x varphi x nbsp alle x sind f displaystyle varphi nbsp ist aquivalent mit einer verneinten Existenzaussage x f x displaystyle lnot exists x lnot varphi x nbsp es gibt kein x das nicht f displaystyle varphi nbsp ist dabei ist f x displaystyle varphi x nbsp eine Aussageform in der die Variable x frei vorkommen darf aber nicht muss Die Existenzaussage x f x displaystyle exists x varphi x nbsp mindestens ein x ist f displaystyle varphi nbsp ist aquivalent mit einer verneinten Allaussage x f x displaystyle lnot forall x lnot varphi x nbsp Es ist nicht der Fall dass alle x nicht f displaystyle varphi nbsp sind Auf Grund obiger Aquivalenzen kann man sich damit begnugen in einer formalen Sprache fur die klassische Pradikatenlogik nur einen der beiden Quantoren als Grundzeichen zu verwenden und den anderen Quantor gegebenenfalls durch diesen zu definieren Beispiel fur 1 Wenn alles verganglich ist so ist nichts unverganglich Umgekehrt Ist nichts unverganglich so sind alle Dinge verganglich Beispiel fur 2 Wenn es etwas Grunes gibt so sind nicht alle Dinge nicht grun Umgekehrt Sind nicht alle Dinge nicht grun muss es etwas Grunes geben Moderne Quantoren und aristotelische Syllogistik Bearbeiten Bei der Formalisierung einer Allaussage ist zu beachten dass gemass den Bedeutungsfestlegungen von Allquantor und Implikation eine Aussage Fur alle x Wenn A x dann B x bereits wahr ist wenn es keine A gibt Demnach ist also beispielsweise die Aussage Alle eckigen Kreise sind golden wahr weil es keine eckigen Kreise gibt Dies fuhrt dazu dass manche Schlussfolgerungen der aristotelischen Syllogistik nicht gultig sind wenn man deren Allaussagen mit den modernen Quantoren identifiziert Als Beispiel sei der so genannte Modus Barbari aufgefuhrt Alle Munchner sind Bayern Formalschreibweise mit Quantoren x M x B x displaystyle forall x M x rightarrow B x nbsp alle Schwabinger sind Munchner formal x S x M x displaystyle forall x S x rightarrow M x nbsp es folgt einige Schwabinger sind Bayern formal x S x B x displaystyle exists x S x land B x nbsp Nach moderner Auffassung waren die Pramissen beide wahr wenn es uberhaupt keine Schwabinger und Munchner gabe Dann ware aber die Konklusion falsch Da es keine Schwabinger gabe konnten dann auch nicht einige Schwabinger Bayern sein Die Pramissen konnten also wahr sein und die Konklusion dennoch falsch d h es handelte sich nicht um einen gultigen Schluss Aristoteles hat wohl bei einer Aussage Alle A sind B immer die Existenz von As vorausgesetzt sodass die einfache Ubersetzung x M x B x displaystyle forall x M x rightarrow B x nbsp seinen Absichten nicht gerecht wird Welches die adaquate Interpretation und Ubersetzung der syllogistischen Allaussagen ist ist bis heute Gegenstand der Forschung Informationen und Literaturhinweise gibt der Artikel Syllogismus Auch bei der einfachen Ubersetzung als allquantifizierte Implikation gultig ist jedoch beispielsweise der so genannte Modus Barbara nach dem aus den obigen Pramissen folgt Alle Schwabinger sind Bayern formal x S x B x displaystyle forall x S x rightarrow B x nbsp Diese Aussage folgt weil sie nach moderner Auffassung auch dann wahr ware wenn es gar keine Schwabinger gabe Anzahlquantoren BearbeitenNeben All und Existenzquantor werden in der Logik gelegentlich Anzahlquantoren gebraucht So lasst sich ausdrucken dass es genau ein genau zwei Dinge gibt fur die irgendetwas gilt Im Unterschied zum Existenzquantor der besagt dass es mindestens ein x displaystyle x nbsp gibt fur das etwas gilt bedeutet der Eindeutigkeitsquantor oder Einzigkeitsquantor dass es genau ein solches x displaystyle x nbsp gibt nicht mehr und nicht weniger Fur ihn schreibt man x displaystyle exists x nbsp oder auch x displaystyle textstyle bigvee x bullet nbsp Man kann diesen Quantor vermittels des All und Existenzquantors sowie des Identitatszeichens wie folgt definieren x B x x B x y B y y x displaystyle exists xB x exists x bigl B x land forall y B y rightarrow y x bigr nbsp in Worten Es gibt genau ein x displaystyle x nbsp fur das B x displaystyle B x nbsp gilt ist gleichbedeutend damit dass ein x displaystyle x nbsp existiert fur das B x displaystyle B x nbsp gilt und fur alle y displaystyle y nbsp gilt wenn B y displaystyle B y nbsp gilt dann ist y displaystyle y nbsp identisch mit x displaystyle x nbsp Allgemein lassen sich analog zum Einzigkeitsquantor fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp auch Quantoren n x displaystyle exists n x nbsp bzw x n displaystyle textstyle bigvee x n nbsp definieren die besagen dass es genau n displaystyle n nbsp verschiedene x displaystyle x nbsp gibt Insbesondere ist 1 x displaystyle exists 1 x nbsp aquivalent zu x displaystyle exists x nbsp 0 x displaystyle exists 0 x nbsp definiert man entsprechend als x displaystyle lnot exists x nbsp wofur manchmal auch der Quantor displaystyle nexists nbsp benutzt wird Es gibt kein x displaystyle x nbsp mit Weitere Quantoren wie die meisten x displaystyle x nbsp werden in der Logik nur selten behandelt Ein Anwendungsgebiet fur solche Quantoren ist die Semantik naturlicher Sprachen Siehe auch BearbeitenMeta Ontologie QuantorenunvertraglichkeitEinzelnachweise Bearbeiten Quantor in Historisches Worterbuch der Philosophie Band 7 S 1830 Vgl dazu George A Miller Worter Streifzuge durch die Psycholinguistik Herausgegeben und aus dem Amerikanischen ubersetzt von Joachim Grabowski und Christiane Fellbaum Spektrum der Wissenschaft Heidelberg 1993 Lizenzausgabe Zweitausendeins Frankfurt am Main 1995 2 Auflage ebenda 1996 ISBN 3 86150 115 5 S 238 Quantifikatoren Florian Cajori A History of Mathematical Notations Volume II Notations Mainly in Higher Mathematics Open Court Chicago 1929 nachgedruckt als ein Band bei Dover ISBN 0 486 67766 4 Gentzen Untersuchung uber das logische Schliessen In Mathematische Zeitschrift 39 1934 176 210 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Quantor Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Quantor Lern und Lehrmaterialien Normdaten Sachbegriff GND 4128275 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quantor amp oldid 236548422
