Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik Er beschreibt das Verhaltnis der Veranderung einer Grosse zu der Veranderung einer anderen wobei die erste Grosse von der zweiten abhangt In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten um die Ableitung einer Funktion zu definieren In der numerischen Mathematik werden sie zum Losen von Differentialgleichungen und fur die naherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion numerische Differentiation benutzt Das gilt auch fur Ubertragungsfunktionen G s displaystyle G s der Systemtheorie der Steuerungs und Regelungstechnik fur dynamische Systeme mit dem Ausgangs Eingangsverhaltnis der Laplace transformierten gewohnlichen Differenzialgleichungen mit Storfunktion Sie werden mit der inversen Laplace Transformation auf gewohnliche Differenzialgleichungen zuruckgefuhrt und konnen mit Hilfe des Differenzenquotienten naherungsweise numerisch gelost werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Differentialquotient 3 Definition der Varianten von Differenzenquotienten erster Ableitungsordnung 3 1 Begriffsklarungen 3 2 Differenzenquotient 3 3 Numerische Behandlung einer Differenzialgleichung mit Hilfe des Differenzenquotienten 4 Gewohnliche Differenzenquotienten hoherer Ableitungs und Fehlerordnung 4 1 Rekursionsgleichung 4 2 Summendarstellung 4 3 Produktdarstellung 4 4 Gewohnliche Differenzenquotienten hoherer Ableitungs und Fehlerordnung 4 4 1 Zentrale Differenzenquotienten 4 4 2 Differenzenquotienten zu beliebigen Stutzstellen 5 Literatur 6 Weblinks 7 Siehe auch 8 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Die rote Kurve stellt die Funktion f displaystyle f nbsp dar Die blaue Linie verbindet die beiden Funktionswerte bei x x 0 displaystyle x x 0 nbsp und x x 1 displaystyle x x 1 nbsp Der Differenzenquotient entspricht dann der Steigung der blauen Geraden Ist f D f R displaystyle f colon D f to mathbb R nbsp eine reellwertige Funktion die im Bereich D f R displaystyle D f subset mathbb R nbsp definiert ist und ist x 0 x 1 D f displaystyle x 0 x 1 subset D f nbsp so nennt man den Quotienten f x 1 x 0 f x 1 f x 0 x 1 x 0 displaystyle varphi x 1 x 0 frac f x 1 f x 0 x 1 x 0 nbsp Differenzenquotient von f displaystyle f nbsp im Intervall x 0 x 1 displaystyle x 0 x 1 nbsp 1 2 3 Schreibt man D x x 1 x 0 displaystyle Delta x x 1 x 0 nbsp und D y f x 1 f x 0 displaystyle Delta y f left x 1 right f left x 0 right nbsp dann ergibt sich die alternative Schreibweise D y D x f x 1 f x 0 x 1 x 0 displaystyle frac Delta y Delta x frac f x 1 f x 0 x 1 x 0 nbsp Setzt man h x 1 x 0 displaystyle h x 1 x 0 nbsp also x 1 x 0 h displaystyle x 1 x 0 h nbsp so erhalt man die Schreibweise f x 0 h f x 0 h displaystyle frac f x 0 h f x 0 h nbsp Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von f displaystyle f nbsp durch die Punkte x 0 f x 0 displaystyle x 0 f x 0 nbsp und x 1 f x 1 displaystyle x 1 f x 1 nbsp Fur x 1 x 0 displaystyle x 1 rightarrow x 0 nbsp bzw h 0 displaystyle h rightarrow 0 nbsp wird aus der Sekante eine Tangente an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp Differentialquotient Bearbeiten Hauptartikel Differentialquotient Differenzenquotienten bilden zusammen mit dem Grenzwertbegriff eine Grundlage der Differentialrechnung Den Grenzwert des Differenzenquotienten fur x 1 x 0 displaystyle displaystyle x 1 rightarrow x 0 nbsp bezeichnet man als Differentialquotienten oder Ableitung der Funktion an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp sofern dieser Grenzwert existiert Die Tabelle zeigt die Ableitungen einiger Funktionen Dabei stimmt der Differenzenquotient jeweils nur fur x 1 x 0 displaystyle x 1 neq x 0 nbsp Funktion f x displaystyle displaystyle f x nbsp Differenzenquotient f x 1 f x 0 x 1 x 0 displaystyle tfrac f x 1 f x 0 x 1 x 0 nbsp Differentialquotient lim x 1 x 0 f x 1 f x 0 x 1 x 0 displaystyle lim x 1 rightarrow x 0 tfrac f x 1 f x 0 x 1 x 0 nbsp Konstante Funktion c displaystyle displaystyle c nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp Lineare Funktion a x displaystyle displaystyle a cdot x nbsp a displaystyle displaystyle a nbsp a displaystyle displaystyle a nbsp Quadratfunktion x 2 displaystyle displaystyle x 2 nbsp x 1 x 0 displaystyle displaystyle x 1 x 0 nbsp 2 x 0 displaystyle displaystyle 2 cdot x 0 nbsp Kubikfunktion x 3 displaystyle displaystyle x 3 nbsp x 1 2 x 1 x 0 x 0 2 displaystyle displaystyle x 1 2 x 1 cdot x 0 x 0 2 nbsp 3 x 0 2 displaystyle displaystyle 3 cdot x 0 2 nbsp Allgemeine Potenz x n displaystyle displaystyle x n nbsp i 0 n 1 x 1 i x 0 n 1 i displaystyle displaystyle sum i 0 n 1 x 1 i cdot x 0 n 1 i nbsp n x 0 n 1 displaystyle displaystyle n cdot x 0 n 1 nbsp Exponentialfunktion exp x displaystyle displaystyle exp x nbsp exp x 0 exp x 1 x 0 1 x 1 x 0 displaystyle displaystyle exp x 0 cdot frac exp x 1 x 0 1 x 1 x 0 nbsp exp x 0 displaystyle displaystyle exp x 0 nbsp Definition der Varianten von Differenzenquotienten erster Ableitungsordnung BearbeitenIn der numerischen Mathematik werden zur Behandlung und Losung von meist gewohnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten die kontinuierlichen Funktionswerte mit Hilfe einer Differenzengleichung in Abhangigkeit von konstanten Intervallen D x displaystyle Delta x nbsp D t displaystyle Delta t nbsp h hintereinander berechnet Die numerische Losung einer gewohnlichen Differenzengleichung erfolgt rekursiv uber viele Berechnungsfolgen und stellt sich meist als eine tabellarisch geordnete Aufstellung von System Ausgangsfolgen y k displaystyle y k nbsp Stutzstellen Knoten in Abhangigkeit von der unabhangigen Variablen x k displaystyle x k nbsp oder bei zeitabhangigen Systemen t k displaystyle t k nbsp dar Begriffsklarungen Bearbeiten Gewohnliche Differenzialgleichung mit konstanten KoeffizientenDifferenzialgleichungen beschreiben dynamische Vorgange unserer Umwelt wie Technik Natur Wirtschaft Eine Differentialgleichung enthalt ausser der gesuchten Funktion z B y t displaystyle y t nbsp auch eine Ableitung der gesuchten Funktion y t displaystyle y t nbsp Eine Differentialgleichung nennt man gewohnlich wenn die gesuchte Funktion nur von einer Veranderlichen Variable abhangt displaystyle to nbsp siehe Gewohnliche Differenzialgleichung Begriffsdefinitionen der Differenzialgleichungen DGL DifferenzengleichungNumerische Berechnungen von gewohnlichen Differenzialgleichungen erfolgen uber Differenzengleichungen Dabei entsteht anstelle der kontinuierlichen Funktion eine endliche Anzahl von nummerierten Folgegliedern Wertefolgen Jede Folge bezieht sich bei einer Differenzengleichung 1 Ordnung rekursiv auf eine zuruckliegende Folge Fur die numerische Losung von Differenzialgleichungen existieren zahlreiche Varianten von Differenzengleichungen Mit steigender Komplexitat der Differenzengleichungen wird erreicht dass fur eine gleiche Approximation an den analytischen Verlauf der Ausgangsgrosse y x displaystyle y x nbsp die Zahl der Folgeglieder k max displaystyle k text max nbsp erheblich reduziert wird Mathematische FolgeBei der Losung einer Differenzialgleichung mit Differenzengleichungen handelt es sich um eine rekursive Folge von nummerierten Elementen also um eine Aufzahlung von meist Funktionen oder auch von Zahlen Je nach Art der gewohnlichen Differenzialgleichung und der zugehorigen Differenzengleichung erhalten die Eingangs und Ausgangsfolgeglieder der Differenzengleichung fur die Nummerierung die Indizierung k displaystyle k nbsp k 0 1 2 3 k max displaystyle k 0 1 2 3 dotsc k text max nbsp dd Arithmetische Folge Der gegebene Folgewert wachst oder sinkt mit jedem Folgeglied um einen festen Betrag Beispiel Sparschwein Exponentielle Folge Der gegebene Folgewert wachst oder sinkt mit jedem Folgeglied um einen gleichen Prozentsatz bzw um den gleichen relativen Anteil Beispiel Zinseszins Indizierung der FolgenDie abhangige Variable y k 1 displaystyle y k 1 nbsp entspricht dem nachsten beliebig nummerierten Folgeglied y k displaystyle y k nbsp nach einem Rechenschritt D x h displaystyle Delta x h nbsp Die abhangige Variable y k 1 displaystyle y k 1 nbsp entspricht einem zuruckliegenden beliebig nummeriertem Folgeglied y k displaystyle y k nbsp vor einem Rechenschritt D x h displaystyle Delta x h nbsp DifferenzenverfahrenDas Ergebnis der Losung einer gewohnlichen Differenzialgleichung ergibt eine kontinuierliche Funktion Durch Uberfuhrung der Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung ergibt die Losung eine diskrete Funktion Mit Hilfe des Differenzenverfahrens lassen sich haufig mit geringem Aufwand Differenzengleichungen aufstellen die je nach der gewahlten Schrittweite D x displaystyle Delta x nbsp eine mehr oder weniger gute diskrete Annaherung an die analytische Losung bilden Gewohnliche lineare Differenzialgleichungen die z B ein dynamisches System 1 Ordnung beschreiben a 1 y t a 0 y t b 0 u t displaystyle a 1 cdot y t a 0 cdot y t b 0 cdot u t nbsp dd konnen nach dem Differenzenverfahren relativ einfach in eine Differenzengleichung uberfuhrt werden Dies geschieht dadurch dass die Differenzialquotienten der Differenzialgleichung direkt durch die verschiedenen Formen der Differenzenquotienten ausgetauscht werden Damit entsteht automatisch die rekursive Differenzengleichung 4 5 Das klassische Verfahren der Losung von Differentialgleichungen mit Differenzengleichungen ist das eulersche Streckenzugverfahren zur numerischen Losung eines Anfangswertproblems 6 Differenzenquotient Bearbeiten In der Numerik versteht man unter einem Differenzenquotienten die zeitdiskrete Form des Differentialquotienten einer gewohnlichen Differentialgleichung Die Differenzenquotienten mit der abhangigen Variablen y x displaystyle y x nbsp und der unabhangigen Variablen x displaystyle x nbsp bzw bei zeitabhangigen Funktionen der Variable t displaystyle t nbsp unterscheiden folgende Methoden 7 nbsp Darstellung der Differenzenquotienten 1 Ordnung Der Vorwarts Differenzenquotient fur eine Funktion y f x y displaystyle y f x y nbsp bezieht sich auf die linke Intervallgrenze laut Diagramm x k displaystyle x k nbsp nach x k 1 displaystyle x k 1 nbsp mit dem Intervall h displaystyle h nbsp y D y D x y x h y x x h x y k 1 y k h displaystyle y approx frac Delta y Delta x frac y x h y x x h x frac y k 1 y k h nbsp Der Ruckwarts Differenzenquotient bezieht sich auf die rechte Intervallgrenze ruckwarts nach dem Intervall h displaystyle h nbsp von x k displaystyle x k nbsp nach x k 1 displaystyle x k 1 nbsp y D y D x y x y x h x x h y k y k 1 h displaystyle y approx frac Delta y Delta x frac y x y x h x x h frac y k y k 1 h nbsp Der zentrale Differenzenquotient bezieht sich auf die rechte und linke Intervallgrenze y k 1 nach y k 1 mit 2 h displaystyle y k 1 text nach y k 1 text mit 2 cdot h nbsp y D y D x y x h y x h x h x h y k 1 y k 1 2 h displaystyle y approx frac Delta y Delta x frac y x h y x h x h x h frac y k 1 y k 1 2 cdot h nbsp Wird der zentrale Differenzenquotient in eine Differenzialgleichung eingesetzt handelt es sich nicht um einen arithmetischen Mittelwert zweier Verfahren Die hohe Genauigkeit der Annaherung an eine analytische Funktion steigt nicht mit fallendem Wert von h displaystyle h nbsp sondern mit dem Quadrat des fallenden Wertes von h displaystyle h nbsp Numerische Behandlung einer Differenzialgleichung mit Hilfe des Differenzenquotienten Bearbeiten Folgende einfache Differenzialgleichung ist gegeben y x y x e x displaystyle y x y x e x nbsp dd Die Losung einer gewohnlichen Differenzialgleichung 1 Ordnung ergibt in der Regel eine allgemeine Losung in Form einer Funktionenschar mit unendlich vielen Losungen mit ahnlichem Verhalten Anfangswertproblem der Differenzialgleichung Die Losung eines Anfangswertproblems ist die Losung einer Differenzialgleichung unter Berucksichtigung eines vorgegebenen Anfangswertes Der Anfangswert y 0 displaystyle y 0 nbsp fur x 0 displaystyle x 0 nbsp wird stets vorgegeben Analytische Funktion falls zu Vergleichszwecken benotigt Fur eine geschlossene Losung einer gegebenen Differenzialgleichung wird die Stammfunktion Integration f x d x F x C displaystyle int f x dx F x C nbsp dd gebildet Fur die Bestimmung der analytischen Funktion wird die Integrationskonstante C displaystyle C nbsp berechnet indem in die Gleichung der Stammfunktion anstelle der Grosse y x displaystyle y x nbsp der Anfangswert y 0 displaystyle y 0 nbsp gesetzt wird Bei komplizierteren Differenzialgleichungen kann nicht immer die analytische Funktion durch Integration bestimmt werden Die Konstante C displaystyle C nbsp tritt haufig in der gesuchten Losung nicht immer additiv sondern auch faktoriell auf Differenzengleichung mit dem Vorwarts Differenzenquotient Mit Hilfe von Differenzengleichungen kann die Differentialgleichung gelost werden Wird die Ableitung einer gewohnlichen Differenzialgleichung y x f x y displaystyle y x f x y nbsp durch den Vorwarts Differenzenquotienten ersetzt y x lim x 0 D y D x y x h y x x h x y k 1 y k h displaystyle y x lim x to 0 frac Delta y Delta x approx frac y x h y x x h x frac y k 1 y k h nbsp dd entsteht die explizite Differenzengleichungy k 1 y k h f x k y k displaystyle frac y k 1 y k h f x k y k nbsp dd Allgemeine Form der Differenzengleichung 1 O nach dem Vorwarts Differenzenquotienten entspricht Euler Vorwarts Entwicklung der Differenzengleichung fur die oben gegebene Differenzialgleichung y k 1 y k h y k e x k displaystyle frac y k 1 y k h y k e x k nbsp dd Differenzengleichung y k 1 y k h y k e x k displaystyle y k 1 y k h cdot y k e x k nbsp Der gewunschte Anfangswert wird in der nummerierten Tabelle fur y 0 displaystyle y 0 nbsp bei k 0 displaystyle k 0 nbsp eingegeben displaystyle to nbsp siehe auch Anwendung Differenzengleichung Differenzenverfahren displaystyle to nbsp siehe auch Artikel Explizites Euler VerfahrenGewohnliche Differenzenquotienten hoherer Ableitungs und Fehlerordnung BearbeitenNeben der Approximation der Ableitung erster Ordnung existieren auch Differenzenquotienten zur numerischen Berechnung hoherer Ableitungen Dazu werden in diesem Abschnitt ausschliesslich zentrale Differenzenquotienten betrachtet Analoge Uberlegungen existieren auch fur den Vorwarts und der Ruckwartsdifferenzenquotienten 8 Die Grundlage zur Herleitung solcher Differenzenquotienten ist die Taylor Reihe Weiterhin existieren auch Differenzenquotienten mit einer hoheren Fehlerordnung Fur die zweite Ableitung kann zum Beispiel der Zusammenhang D 2 y D x 2 y i 1 2 y i y i 1 D x 2 f x D x 2 f x f x D x D x 2 f x O D x 2 displaystyle frac Delta 2 y Delta x 2 frac y i 1 2y i y i 1 Delta x 2 frac f x Delta x 2f x f x Delta x Delta x 2 f x mathcal O Delta x 2 nbsp verwendet werden Die hinter der O displaystyle mathcal O nbsp Notation stehende Wert kann dabei von x displaystyle x nbsp abhangig sein In der nachfolgenden Tabelle sind einige gewohnliche zentrale Differenzenquotienten hoherer Ableitungsordnung angegeben Die Tatsache dass bei ungerader Ableitungsordnung der Funktionswert y i displaystyle y i nbsp nicht vorhanden ist geht auf das Prinzip der zentralen Differenzenquotienten zuruck bei welchem durch Mittelwertbildung die Fehlerordnung erhoht ist Die Differenzenquotienten mit gerader Ableitungsordnung sind hier mit der minimalen Fehlerordnung angegeben Diese lasst sich durch hinzunahme weiterer Funktionswerte erhohen Gewohnliche Zentrale Differenzenquotienten hoherer Ableitungsordnung Ableitungsordnung Formel des Differenzenquotienten1 displaystyle 1 nbsp y i 1 y i 1 2 D x displaystyle frac y i 1 y i 1 2 Delta x nbsp 2 displaystyle 2 nbsp y i 1 2 y i y i 1 D x 2 displaystyle frac y i 1 2y i y i 1 Delta x 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp y i 2 2 y i 1 2 y i 1 y i 2 2 D x 3 displaystyle frac y i 2 2y i 1 2y i 1 y i 2 2 Delta x 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp y i 2 4 y i 1 6 y i 4 y i 1 y i 2 D x 4 displaystyle frac y i 2 4y i 1 6y i 4y i 1 y i 2 Delta x 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp y i 3 4 y i 2 5 y i 1 5 y i 1 4 y i 2 y i 3 2 D x 5 displaystyle frac y i 3 4y i 2 5y i 1 5y i 1 4y i 2 y i 3 2 Delta x 5 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp y i 3 6 y i 2 15 y i 1 20 y i 15 y i 1 6 y i 2 y i 3 D x 6 displaystyle frac y i 3 6y i 2 15y i 1 20y i 15y i 1 6y i 2 y i 3 Delta x 6 nbsp Rekursionsgleichung Bearbeiten Die Berechnung der hoheren gewohnlichen zentralen Differenzenquotienten kann mit Hilfe der nachfolgenden Rekursionsgleichung durchgefuhrt werden Dabei reprasentiert i displaystyle i nbsp den Index der Ortskoordinate x i displaystyle x i nbsp und n displaystyle n nbsp den Index der aktuellen Ableitungsordnung Gestartet wird mit n 1 displaystyle n 1 nbsp und folglich mit der Rekursionsgleichung fur ungerade n displaystyle n nbsp d n y d x n x x i y i n y i 1 n 1 y i 1 n 1 2 D x n ungerade y i 1 n 2 2 y i n 2 y i 1 n 2 D x 2 n gerade mit n N n gt 0 displaystyle left frac mathrm d n y mathrm d x n right x x i approx y i n begin cases displaystyle frac y i 1 n 1 y i 1 n 1 2 Delta x amp n text ungerade displaystyle frac y i 1 n 2 2y i n 2 y i 1 n 2 Delta x 2 amp n text gerade end cases quad text mit quad n in mathbb N n gt 0 nbsp Summendarstellung Bearbeiten Die gewohnlichen zentralen Differenzenquotienten konnen weiterhin mit einer endlichen Summe dargestellt werden Die Struktur dieser Formel besitzt eine direkte Verbindung zum pascalschen Dreieck beziehungsweise den Binomialkoeffizienten Die Summendarstellung lasst sich mittels der obigen Rekursionsgleichung herleiten Der Index i displaystyle i nbsp reprasentiert die Ortskoordinate zu welcher der Differenzenquotient ausgewertet wird Die Summendarstellung von Ableitungen ungerader Ordnung n displaystyle n nbsp beinhaltet die Methode des zentralen Differenzenquozentien daher der Vorfaktor 1 2 displaystyle 1 2 nbsp d n y d x n x x i y i n 1 D x n k 0 n 1 k n k y i k n 2 n ist gerade 1 2 k 0 n 1 1 k n 1 k y i k 1 n 1 2 y i k 1 n 1 2 n ist ungerade displaystyle left frac mathrm d n y mathrm d x n right x x i approx y i n frac 1 Delta x n cdot begin cases displaystyle sum k 0 n left 1 k begin pmatrix n k end pmatrix cdot y i k n 2 right amp quad n text ist gerade displaystyle frac 1 2 sum k 0 n 1 left 1 k begin pmatrix n 1 k end pmatrix cdot left y i k 1 n 1 2 y i k 1 n 1 2 right right amp quad n text ist ungerade end cases nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp und n k n k n k displaystyle begin pmatrix n k end pmatrix frac n k cdot n k nbsp Produktdarstellung Bearbeiten Ausgehend von der obigen Rekursionsgleichung zur Berechnung von gewohnlichen zentralen Differenzenquotienten lasst sich eine Matrix Produkt Darstellung herleiten Im ersten Schritt ist dazu eine Produktgleichung fur die geradzahligen Ableitungen zu bestimmen da in diesem Fall die zugehorige Rekursionsgleichung im Gegensatz zu den ungeraden Ableitungen eine geschlossene Kette bildet Die Elemente der Matrizen A l displaystyle A l nbsp sind wie folgt definiert und von der Dimension 2 l 1 2 l 3 displaystyle 2l 1 times 2l 3 nbsp Die Matrizen A l displaystyle A l nbsp entsprechen genau der Signatur der obigen Rekursionsgleichung fur gerade n displaystyle n nbsp A i j l 1 i j n n n n 2 1 n 2 l 1 2 i j n n 1 1 n 2 l 1 0 sonst displaystyle A ij l begin cases 1 amp i j in left nu nu lor nu nu 2 1 leq nu leq 2l 1 right 2 amp i j in left nu nu 1 1 leq nu leq 2l 1 right 0 amp text sonst end cases nbsp Der nachfolgende Vektor y k displaystyle underline y k nbsp beinhaltet die Funktionswerte y m y x i m D x displaystyle y m y x i m cdot Delta x nbsp y k y i k y i y i k T displaystyle underline y k begin bmatrix y i k amp cdots amp y i amp cdots amp y i k end bmatrix T nbsp Damit lasst sich die Naherung der 2 k displaystyle 2k nbsp ten Ableitung im Punkt x x i displaystyle x x i nbsp wie folgt darstellen d 2 k y d x 2 k x x i 1 D x 2 k l 0 k 1 A l y k k N displaystyle left frac text d 2k y text d x 2k right x x i approx frac 1 Delta x 2k prod l 0 k 1 A l cdot underline y k quad k in mathbb N nbsp Mit Hilfe der Matrizen B k displaystyle B k nbsp mit der Dimension 2 k 1 2 k 1 displaystyle 2k 1 times 2k 1 nbsp findet sich ebenfalls eine Produktdarstellung fur ungerade Ableitungsordnungen Die Matrizen B k displaystyle B k nbsp entsprechen genau der Signatur der obigen Rekursionsgleichung fur ungerade n displaystyle n nbsp B i j k 1 i j n n 1 n 2 k 1 1 i j n n 2 1 n 2 k 1 0 sonst displaystyle B ij k begin cases 1 amp i j in left nu nu 1 leq nu leq 2k 1 right 1 amp i j in left nu nu 2 1 leq nu leq 2k 1 right 0 amp text sonst end cases nbsp d 2 k 1 y d x 2 k 1 x x i 1 2 D x 2 k 1 l 0 k 2 A l B k y k displaystyle left frac text d 2k 1 y text d x 2k 1 right x x i approx frac 1 2 Delta x 2k 1 prod l 0 k 2 A l cdot B k cdot underline y k nbsp Gewohnliche Differenzenquotienten hoherer Ableitungs und Fehlerordnung Bearbeiten Zentrale Differenzenquotienten Bearbeiten Durch geschickte Anwendung der Taylor Reihe bzw Taylor Polynome findet sich eine Matrizen Gleichung zur Berechnung von Differenzenquotienten Als Ansatz dient dazu die folgende Taylor Approximation einer 2 N displaystyle 2N nbsp fach differenzierbaren Funktion y x displaystyle y x nbsp Die Verwendung der oberen Grenze 2 N displaystyle 2N nbsp der Summe bietet sich aufgrund der grosseren Symmetrie an y x n 0 2 N x x n d n y d x n x displaystyle y x approx sum n 0 2N frac x x n cdot frac text d n y text d x n x nbsp Ausgehend von dieser Naherung von y x displaystyle y x nbsp sind die Substitutionen x x i x x i n D x displaystyle x x i quad x x i nu cdot Delta x nbsp durchzufuhren Dies hat wie in der nachfolgenden Gleichung zu sehen zur Folge dass die gesuchten Ableitungen der Funktion y x displaystyle y x nbsp am Ort x i displaystyle x i nbsp vorhanden sind Weiterhin ist hier zur Verkurzung die Index Notation y i n y x i n D x y i n d n y d x n x i displaystyle y i nu y x i nu cdot Delta x quad y i n tfrac text d n y text d x n x i nbsp verwendet y i n n 0 2 N n D x n n y i n displaystyle y i nu approx sum n 0 2N frac nu cdot Delta x n n cdot y i n nbsp Durch Verschiebung des Index n displaystyle nu nbsp findet sich schlussendlich das nachfolgende lineare Gleichungssystem zur Berechnung der Differenzenquotienten bis zur Ableitungsordnung 2 N displaystyle 2N nbsp Interessant ist dabei die enge Verwandtschaft der System Matrix zur Vandermonde Matrix welche z B von der Polynominterpolation bekannt ist y i N y i N N D x 0 0 N D x 2 N 2 N N D x 0 0 N D x 2 N 2 N y i 0 y i 2 N displaystyle begin bmatrix y i N vdots y i N end bmatrix begin bmatrix frac N cdot Delta x 0 0 amp cdots amp frac N cdot Delta x 2N 2N vdots amp amp vdots frac N cdot Delta x 0 0 amp cdots amp frac N cdot Delta x 2N 2N end bmatrix cdot begin bmatrix y i 0 vdots y i 2N end bmatrix nbsp In der nachfolgenden Tabelle sind einige Losungen dieses Gleichungssystems angegeben Zu beachten ist dass fur grosse N displaystyle N nbsp die Matrix singular wird und folglich die Matrix Inversion am Rechner nicht mehr durchfuhrbar ist Neben den hier angegebenen Differenzenquotienten welche in die Klasse der zentralen DZQ s einzuordnen sind existieren auch andere Varianten 9 10 Gewohnliche zentrale Differenzenquotienten hoherer Ableitungs und Fehlerordnung N 1 displaystyle N 1 nbsp N 2 displaystyle N 2 nbsp N 3 displaystyle N 3 nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp y i 1 y i 1 2 D x displaystyle frac y i 1 y i 1 2 Delta x nbsp y i 2 8 y i 1 8 y i 1 y i 2 12 D x displaystyle frac y i 2 8y i 1 8y i 1 y i 2 12 Delta x nbsp y i 3 9 y i 2 45 y i 1 45 y i 1 9 y i 2 y i 3 60 D x displaystyle frac y i 3 9y i 2 45y i 1 45y i 1 9y i 2 y i 3 60 Delta x nbsp n 2 displaystyle n 2 nbsp y i 1 2 y i y i 1 D x 2 displaystyle frac y i 1 2y i y i 1 Delta x 2 nbsp y i 2 16 y i 1 30 y i 16 y i 1 y i 2 12 D x 2 displaystyle frac y i 2 16y i 1 30y i 16y i 1 y i 2 12 Delta x 2 nbsp 2 y i 3 27 y i 2 270 y i 1 490 y i 270 y i 1 27 y i 2 2 y i 3 180 D x 2 displaystyle frac 2y i 3 27y i 2 270y i 1 490y i 270y i 1 27y i 2 2y i 3 180 Delta x 2 nbsp n 3 displaystyle n 3 nbsp y i 2 2 y i 1 2 y i 1 y i 2 2 D x 3 displaystyle frac y i 2 2y i 1 2y i 1 y i 2 2 Delta x 3 nbsp y i 3 8 y i 2 13 y i 1 13 y i 1 8 y i 2 y i 3 8 D x 3 displaystyle frac y i 3 8y i 2 13y i 1 13y i 1 8y i 2 y i 3 8 Delta x 3 nbsp n 4 displaystyle n 4 nbsp y i 2 4 y i 1 6 y i 4 y i 1 y i 2 D x 4 displaystyle frac y i 2 4y i 1 6y i 4y i 1 y i 2 Delta x 4 nbsp y i 3 12 y i 2 39 y i 1 56 y i 39 y i 1 12 y i 2 y i 3 6 D x 4 displaystyle frac y i 3 12y i 2 39y i 1 56y i 39y i 1 12y i 2 y i 3 6 Delta x 4 nbsp n 5 displaystyle n 5 nbsp y i 3 4 y i 2 5 y i 1 5 y i 1 4 y i 2 y i 3 2 D x 5 displaystyle frac y i 3 4y i 2 5y i 1 5y i 1 4y i 2 y i 3 2 Delta x 5 nbsp n 6 displaystyle n 6 nbsp y i 3 6 y i 2 15 y i 1 20 y i 15 y i 1 6 y i 2 y i 3 D x 6 displaystyle frac y i 3 6y i 2 15y i 1 20y i 15y i 1 6y i 2 y i 3 Delta x 6 nbsp Differenzenquotienten zu beliebigen Stutzstellen Bearbeiten Weiterhin besteht die Moglichkeit Differenzenquotienten mit beliebige Stutzstellen zu berechnen Generell lasst sich ein Differenzenquotient mit der nachfolgenden Summe darstellen Die Konstanten s n R s i s j displaystyle s n in mathbb R s i neq s j nbsp entsprechen dabei den Stutzstellen mit Verschiebung um x i R displaystyle x i in mathbb R nbsp Der Index m displaystyle m nbsp entspricht der Ableitungsordnung Die kleinste Genauigkeit ergibt sich bei N m 1 displaystyle N equiv m 1 nbsp Durch Hinzunahme weiterer Stutzstellen kann die Genauigkeit erhoht werden Die weiter oben angegebenen zentralen Differenzenquotienten sind ein Spezialfall der hiesigen Betrachtung 10 d m y d x m x x i n 0 N 1 C n m N y x i s n N gt m displaystyle left frac text d m y text d x m right x x i approx sum n 0 N 1 C n m N cdot y x i s n quad N gt m nbsp Die Koeffizienten C n m N displaystyle C n m N nbsp berechnen sich durch Losung des folgenden linearen Gleichungssystems wobei d i j displaystyle delta i j nbsp das Kronecker Delta reprasentiert s 1 0 s N 0 s 1 N 1 s N N 1 C 0 m N C N 1 m N m d 0 m d N 1 m displaystyle begin bmatrix s 1 0 amp cdots amp s N 0 vdots amp amp vdots s 1 N 1 amp cdots amp s N N 1 end bmatrix cdot begin bmatrix C 0 m N vdots C N 1 m N end bmatrix m cdot begin bmatrix delta 0 m vdots delta N 1 m end bmatrix nbsp Werden aquidistante Stutzstellen s n k n D x k n Z displaystyle s n k n cdot Delta x k n in mathbb Z nbsp gewahlt so stellt sich das lineare Gleichungssystem wie folgt dar k 1 0 k N 0 k 1 N 1 k N N 1 C 0 m N C N 1 m N m D x m d 0 m d N 1 m displaystyle begin bmatrix k 1 0 amp cdots amp k N 0 vdots amp amp vdots k 1 N 1 amp cdots amp k N N 1 end bmatrix cdot begin bmatrix C 0 m N vdots C N 1 m N end bmatrix frac m Delta x m cdot begin bmatrix delta 0 m vdots delta N 1 m end bmatrix nbsp Literatur BearbeitenJurgen Koch Martin Stample Mathematik fur das Ingenieurstudium Karl Hanser Munchen 2018 ISBN 978 3 446 45166 7 Richardson C H 1954 An Introduction to the Calculus of Finite Differences Van Nostrand 1954 Mickens R E 1991 Difference Equations Theory and Applications Chapman and Hall CRC PLATO Robert Numerische Mathematik kompakt Vieweg Teubner Verlag 2000 Weblinks Bearbeitenhttps web media mit edu crtaylor calculator htmlSiehe auch BearbeitenKoeffizienten fur DifferenzenquotientenEinzelnachweise Bearbeiten Herbert Amann Joachim Escher Analysis 1 Dritte Auflage Birkhauser S 319 Jurgen Koch Martin Stample Mathematik fur das Ingenieurstudium Kapitel Differenzialrechnung Steigung und Ableitungsfunktion Thomas Westerman Mathematik fur Ingenieure Kapitel Differenzialrechnung Differenzenquotient Autor HS Karlsruhe Skript 2 Das Differenzenverfahren 24 Seiten Autor Jurgen Dankert Fachbuchreihe Numerische Methoden der Mechanik Einzelfachbuch Das Differenzenverfahren Springer Vieweg Berlin Auszug Ubersicht Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin die Differenzialquotienten in Differenzialgleichungen und Randbedingungen durch Differenzenquotienten zu ersetzen Jurgen Dankert Numerische Integration von Anfangswertproblemen Skript HAW Hamburg 39 Seiten Prof Dr Christian Clemen HS Augsburg Skript Mathematik II Kapitel Numerische Differentiation Numerische Integration Numerische Losung von gewohnlichen Differenzialgleichungen die Methoden von Euler Heun und Runge Kutta verbesserte Euler Verfahren Hans Rudolf Schwarz amp Norbert Kockler Numerische Mathematik 6 Auflage Vieweg Teubner Verlag 2006 ISBN 978 3 8351 9064 1 S 103 104 H B Keller V Pereyra Symbolic generation of finite difference formulas In Mathematics of Computation Band 32 Nr 144 1978 ISSN 0025 5718 S 955 955 doi 10 1090 s0025 5718 1978 0494848 1 a b Bengt Fornberg Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids In Mathematics of Computation Band 51 Nr 184 1988 ISSN 0025 5718 S 699 699 doi 10 1090 s0025 5718 1988 0935077 0 Normdaten Sachbegriff GND 4149799 5 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenzenquotient amp oldid 237653919
